對(duì)泰勒級(jí)數(shù)積分型余項(xiàng)的幾類(lèi)估計(jì)

1、對(duì)泰勒級(jí)數(shù)積分型余項(xiàng)的幾類(lèi)估計(jì)丁仰峰(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 紹興 312000)摘要：利用有關(guān)N-函數(shù)的Holder不等式,對(duì)泰勒級(jí)數(shù)的積分型余項(xiàng)作出了如下新的估計(jì)：設(shè) 滿足在a,b上絕對(duì)連續(xù)，M(u)與N(u)互為N-函數(shù)，則對(duì)于一切，Taylor公式中的余項(xiàng)滿足估計(jì)式,其中,其中和,其中關(guān)鍵詞：Holder不等式; Taylor級(jí)數(shù); 積分型余項(xiàng)1 引 言在數(shù)學(xué)分析中,對(duì)于Taylor級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)占據(jù)重要的地位,數(shù)學(xué)家們則對(duì)它的余項(xiàng)有了許多經(jīng)典的估計(jì)結(jié)果, 如拉格朗日型余項(xiàng)、Piano余項(xiàng)Taylor定理.泰勒定理: 函數(shù) f: a, b àR, n是確定的正整數(shù),

2、函數(shù)f滿足在a, b上絕對(duì)連續(xù)，x0.那么對(duì)于一切x，有 f(x)= (1.1)這里Tn(f;x0;x)是在點(diǎn)的n階的泰勒多項(xiàng)式展開(kāi)式Tn(f;x0;x)= , (1.2) (其中 f(0)=f ， 0!=1).上述泰勒多項(xiàng)式展開(kāi)的拉格朗日型的余項(xiàng)可表示為:Rn(f;x0;x)= , (,=0). (1.3)當(dāng)Rn(f;x0;x)=時(shí),我們稱(chēng)其為Piano余項(xiàng).一般的，積分型余項(xiàng)可以表示為：. (1.4)定義函數(shù)的平均范數(shù): , p1,那么, G.A.Anastassion 的最近考慮了對(duì)余項(xiàng)的估計(jì)，并證明:定理A 設(shè) 滿足在a,b上絕對(duì)連續(xù)，則對(duì)于一切，(1.1)中的余項(xiàng)滿足估計(jì)式 . (1

3、.5)其中. 定理B 在定理A 的條件下， ， (1.6)其中.定理C 在定理A的條件下 (1.7) 其中.顯然，上述不等式估計(jì)主要是借助空間中的范數(shù)和Holder不等式. 眾所周知，關(guān)于Holder不等式有許多推廣，其中一種重要的推廣是向Orlicz范數(shù)方向。N函數(shù)：設(shè)函數(shù)為非負(fù)偶函數(shù)，且滿足：及則稱(chēng)其為一個(gè)N-函數(shù)（見(jiàn)2）. Orlicz空間：設(shè)為有界閉集，M(u)為N-函數(shù)，則由M(u) 而生成的Orlicz空間定義為此空間上的范數(shù)可以定義為由2知道，當(dāng)N-函數(shù)M(u)=時(shí)所生成的Orlicz空間便為空間，且對(duì)于中的函數(shù)，還可以定義Luxemburg范數(shù)設(shè)M(u)為N-函數(shù)，則關(guān)于M(u

4、)的余N函數(shù)N(v)定義為由2知道，如上所定義的N(v)仍為N-函數(shù)且可以類(lèi)似定義Orlicz空間，Orlicz范數(shù)以及Luxemburg范數(shù).本文將建立Taylor余項(xiàng)在Orlicz范數(shù)下的估計(jì)。由于Orlicz空間推廣了空間，因此，本文的結(jié)果是有意義的。本文的目的是對(duì)余項(xiàng)做下界估計(jì),從而更好地反映余項(xiàng)的范圍,得到了以下的結(jié)論:定理1. 設(shè) 滿足在a,b上絕對(duì)連續(xù)，M(u)與N(u)互為N-函數(shù)，則對(duì)于一切，(1.1)中的余項(xiàng)滿足估計(jì)式 其中.定理2. 設(shè) 滿足在a,b上絕對(duì)連續(xù)，M(u)與N(u)互為N-函數(shù)，則對(duì)于一切，(1.1)中的余項(xiàng)滿足估計(jì)式 其中定理3. 設(shè) 滿足在a,b上絕對(duì)連

5、續(xù)，M(u)與N(u)互為N-函數(shù)，則對(duì)于一切，(1.1)中的余項(xiàng)滿足估計(jì)式其中 2. 一些引理引理 設(shè) ，M(u)和N(u)互為N-函數(shù)，則有下列的強(qiáng)Holer不等式(2.1).引理 假設(shè)映射f :a,bR滿足在a,b上絕對(duì)連續(xù),(a,b),那么對(duì)于所有的x(a,b) , (1.1)中的余項(xiàng)可以表示為: = n1. (2.2)引理 設(shè)k為常數(shù)，M(u)為N-函數(shù)，則 3. 定理的證明定理1的證明: 由引理1,引理3和,我們有:= 定理2的證明: 由引理2,有 = :=M.如果,那么根據(jù)引理1,有定理3的證明: 因?yàn)樵赼 ,b絕對(duì)連續(xù)的,所以有:由引理2:=,所以: .當(dāng)時(shí),根據(jù)引理1,有 綜

6、合以上的推理過(guò)程,有 4.對(duì)于多元泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)的估計(jì)引理 設(shè)Q為中的緊凸子集， f :QR使得所有的(n-1)階的偏導(dǎo)的函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的,即,f(x)的每個(gè)n階偏導(dǎo)可以寫(xiě)作其中 考慮函 則: 對(duì)所有的j=0,1,2,n-1都成立.如: 令 n=k=2. 那么.及進(jìn)一步 .引理 有了以上概念，則: 其中 或者 . 定理4. 如果則. 定理4的證明: 根據(jù)引理1-引理5,我們有: 參考文獻(xiàn). On some estimates of the remainder in Taylors formula.J. Journal of Mathematical Analysis and Applicati

7、on 2001,243: 246-2632 王庭輔等.Orlicz空間幾何理論M.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1986.3 Hillel Garchman.Some integral inequalities involving Taylors remainderJ.Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2003,4(1): 113-115. New estimation of the remainder in Taylors formula using Grosss type inequalities and Applica

8、tionsJ.Math.Ineq. and Appli. 1999,2(7):183-193. Refinements of some inequalities for isotonic functionsJ.Anal.Num. Theor.Approx. 1989,11:61-65On Some Estimates of the Remainder in Taylors FormulaDing Yangfeng(Dept.of Math, Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing, Zhejiang, 312000)Abstract Using the strong Holder inequality the remainder of Taylors formula. is estimated by following form:Let satisfies is absolutely on a,b，M(u) and N(u)are conjugate N-