靜態(tài)誤差理論及數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)報(bào)告課件

1、靜態(tài)誤差理論及數(shù)據(jù)處理綜合應(yīng)用報(bào)告摘要：誤差理論從產(chǎn)生到發(fā)展，經(jīng)歷了很長(zhǎng)一段時(shí)間。研究誤差的意義在于能夠正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，并且正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果。本文主要針對(duì)靜態(tài)誤差，具體闡述了靜態(tài)誤差理論，以及靜態(tài)誤差理論在實(shí)際數(shù)據(jù)處理中的具體運(yùn)用。關(guān)鍵字：靜態(tài)誤差 數(shù)據(jù)處理一、靜態(tài)誤差理論1. 誤差的基本性質(zhì)1.1誤差的基本概念誤差是評(píng)定測(cè)量精度的尺度，誤差越小表示精度越高。1在測(cè)量中，誤差就是測(cè)量值與真值之差。若某物理量的測(cè)量值為y，真值為Y，則測(cè)量誤差dy = y - Y。雖然真值是客觀存在的，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)它一般無從得知。按照誤差的性質(zhì)，可分為隨機(jī)誤差，系統(tǒng)

2、誤差和粗大誤差三類。隨機(jī)誤差：是同一測(cè)量條件下，重復(fù)測(cè)量中以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量。系統(tǒng)誤差：是同一測(cè)量條件下，重復(fù)測(cè)量中保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量。粗大誤差：指超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。1.2隨機(jī)誤差1.2.1 定義測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。1.2.2 特征在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。 1.2.3 關(guān)于隨機(jī)誤差的正態(tài)分布特征當(dāng)對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量，得到一系列的測(cè)量值，每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有特定的規(guī)律，但就誤差的總體而言，卻有統(tǒng)計(jì)規(guī)律

3、。多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。2分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差可表示為： 式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182。它的數(shù)學(xué)期望為： 它的方差為：由正態(tài)分布函數(shù)公式可知，即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；隨機(jī)誤差只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性；隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的補(bǔ)償性。31.2.4 算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算1.2

4、.4.1 算術(shù)平均值由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，正，負(fù)誤差的絕對(duì)值相等，因此，多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果，能減小隨機(jī)誤差的影響。設(shè)x1,x2,x3, ,xn為n次測(cè)量值,則算術(shù)平均值x為x=1ni=1nxi1.2.4.2 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測(cè)量中各測(cè)得值一般皆不相同，它們圍繞著測(cè)量列的平均值有一定的分散性，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差可用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差表征，由貝賽爾公式計(jì)算。s=1n-1i=1n(xi-x)2應(yīng)當(dāng)指出，標(biāo)準(zhǔn)差不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)得值的隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差的大小說明在一定條件下的等精度測(cè)量隨機(jī)誤差的概率分布情況。標(biāo)準(zhǔn)差大，隨機(jī)誤差的分布范圍

5、寬，精密度低；標(biāo)準(zhǔn)差小，隨機(jī)誤差的分布范圍窄，精密度高。1.2.4.3 算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差如果在相同條件下對(duì)同一量值做多組測(cè)量，每一測(cè)量列都有一算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測(cè)量列的平均值各不相同，它們圍繞著真值有一定的分散性，因此可用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來表征算術(shù)平均值的分散性。sx=sn=1n(n-1)i=1n(xi-x)21.3系統(tǒng)誤差 1.3.1 定義在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。1.3.2 性質(zhì) 在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。1.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

6、方法如何發(fā)現(xiàn)測(cè)量中的系統(tǒng)誤差，是分析和處理系統(tǒng)誤差的首要問題。只有將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素全部找出，才能采取相應(yīng)的措施消除或減弱系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。由于產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素是多方面的，又很復(fù)雜，我們還不能找到一套適用于所有系統(tǒng)誤差的通用方法。但對(duì)于測(cè)量中存在的較為顯著的系統(tǒng)誤差，可以通過一些檢驗(yàn)方法和手段發(fā)現(xiàn)。4 1. 通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差為了驗(yàn)證某一測(cè)量?jī)x器或測(cè)量方法是否存在系差，可用高一級(jí)精度的儀器或測(cè)量方法給出標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)。這種檢定不僅能發(fā)現(xiàn)測(cè)量中是否存在系差，而且能夠確定具體數(shù)值。有時(shí)，由于測(cè)量精度高或被測(cè)參數(shù)復(fù)雜，難以找到高一級(jí)精度的測(cè)量?jī)x器或測(cè)量方法提供的標(biāo)準(zhǔn)量。此時(shí)，可

7、用同精度的其它儀器或測(cè)量方法給出的測(cè)量結(jié)果作對(duì)比，若發(fā)現(xiàn)明顯差別，表明二者之間有系差。2. 通過理論分析判斷系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量器具、測(cè)量原理、方法及數(shù)據(jù)處理等方面進(jìn)行具體分析，能夠找到測(cè)量中的各系差因素。3. 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行直接判斷通過觀察測(cè)量數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，直接發(fā)現(xiàn)測(cè)量中的系統(tǒng)誤差。這一方法較為粗略，但簡(jiǎn)單易行。4. 用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)按隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律做出某種統(tǒng)計(jì)判斷，如果不相符合，則說明包含系統(tǒng)誤差。由于這種判別方法不涉及測(cè)量本身，僅針對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)因而便于使用。但每種統(tǒng)計(jì)方法都不是完美的，其應(yīng)用是有限的，常用的有：殘差校驗(yàn)法、阿貝-赫梅特判別法、殘差總和判別法、標(biāo)準(zhǔn)差比較法等。1.4 粗大誤

8、差1.4.1 粗大誤差的產(chǎn)生原因測(cè)量數(shù)據(jù)中包含隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差是正常的，只要測(cè)量誤差在一定的范圍內(nèi)，測(cè)量結(jié)果就是正確的。但當(dāng)測(cè)量者在測(cè)量時(shí)由于疏忽造成錯(cuò)誤讀取示值，錯(cuò)誤紀(jì)錄測(cè)量值，錯(cuò)誤操作以及使用有缺欠的計(jì)量器具時(shí)，會(huì)出現(xiàn)粗大誤差，此數(shù)據(jù)的誤差分量明顯偏大，即明顯歪曲測(cè)量結(jié)果。任意一測(cè)量數(shù)據(jù)都含有測(cè)量誤差，并服從某一分布，它使測(cè)量結(jié)果具有一定的分散性。因此，任憑直觀判斷，難于區(qū)分含有粗大誤差的異常數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)。1.4.2 粗大誤差的判別方法在測(cè)量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理

9、上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測(cè)量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。在判別某個(gè)測(cè)得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有：準(zhǔn)則；羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則；格羅布斯準(zhǔn)則等2. 測(cè)量不確定度2.1 定義測(cè)量不確定度是指測(cè)量結(jié)果變化的不肯定。5它是表征被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，是測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用來表示被測(cè)量值的分

10、散度。從測(cè)量不確定度的定義中可知，一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果包括：被測(cè)量值的估計(jì)和分散性參數(shù)兩個(gè)部分。即：測(cè)量結(jié)果=被測(cè)量的估計(jì)值+不確定度。2.2 分類不確定度從評(píng)定方法上可分為兩類：A類分量和B類分量。用統(tǒng)計(jì)方法來評(píng)定的不確定度稱為A類不確定度評(píng)定，當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，以標(biāo)準(zhǔn)差表示稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用符號(hào)u表示，u=s。由于標(biāo)準(zhǔn)差所對(duì)應(yīng)的置信概率通常不夠高，正態(tài)分布情況下僅為68.3%，因此還可用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)來表示不確定度，用符號(hào)UA表示。擴(kuò)展不確定度和標(biāo)準(zhǔn)不確定度的關(guān)系為UA=ku，式中k稱為包含因子（或覆蓋因子），是相對(duì)于置信概率p的置信系數(shù)。由于實(shí)際測(cè)量時(shí)一般為小樣本，u的可信程度較低

11、，所以應(yīng)按t分布確定k值，t分布系數(shù)由附錄中查找。不能由統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度稱為B類不確定度評(píng)定，A類以外的不確定度均屬B類不確定度。進(jìn)行B類不確定度評(píng)定時(shí)，須分析實(shí)際情況，利用生產(chǎn)部門或研究部門提供的技術(shù)說明文件，以及對(duì)測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)測(cè)量值B類不確定度做出評(píng)定。要求評(píng)定者有一定的分析能力和經(jīng)驗(yàn)，能根據(jù)不同的信息資料做出相應(yīng)的處理。如當(dāng)測(cè)量?jī)x器檢定證書上給出準(zhǔn)確度等別時(shí)，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的不確定度大小，按規(guī)定的分布（正態(tài)分布或t分布等）求出B類不確定度。當(dāng)量?jī)x器檢定證書上給出準(zhǔn)確度等級(jí)時(shí)，可按平均分布利用儀器規(guī)定的最大儀器誤差進(jìn)行評(píng)定。2.3 直接測(cè)量不確定

12、度的評(píng)定直接測(cè)量就是用測(cè)量?jī)x器直接獲得被測(cè)量的量值的方法，分為等精度和不等精度直接測(cè)量。2.3.1 等精度直接測(cè)量的不確定度評(píng)定等精度測(cè)量是指參與測(cè)量的要素均不發(fā)生改變的條件下進(jìn)行的多次重復(fù)測(cè)量。等精度測(cè)量是一個(gè)理想的條件。對(duì)等精度測(cè)量進(jìn)行不確定度評(píng)定，首先要判定是否存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，對(duì)系統(tǒng)誤差設(shè)法消除或加以修正，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行粗大誤差的判別，確定為粗大誤差的應(yīng)予以刪除，不能夠消除的系統(tǒng)誤差應(yīng)進(jìn)行不確定度的B類評(píng)定。不確定度的A類評(píng)定:計(jì)算測(cè)量列的算術(shù)平均值x：x= 1ni=1nxi計(jì)算殘余誤差vi：vi=xi-x計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差sx， 及標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=sx=1n(n-1)i=

13、1nvi2確定包含因子kp包含因子kp與測(cè)量列的分布特征，自由度及置信水準(zhǔn)p有關(guān)。計(jì)算擴(kuò)展不確定度UAUA=kpu 或UA=tpu不確定度的B類評(píng)定：已知置信水準(zhǔn)和包含因子根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)信息資料，由置信區(qū)間a和相應(yīng)的包含因子k按照公式求出標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=ak已知擴(kuò)展不確定度和包含因子如果儀器制造部門的說明書中明確給出擴(kuò)展不確定度U和包含因子K，則可求出標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=Uk已知使用儀器的等級(jí)如果儀器制造部門的說明書中明確給出測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度等級(jí)，可按最大允許誤差A(yù)來求標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=A3已知重復(fù)性限和重復(fù)性限求不確定度如果儀器制造部門的說明書中明確給出重復(fù)性限r(nóng)和復(fù)現(xiàn)性限R，則

14、標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度為：u=r2.83 或 u=R2.83考慮到包含因子，總的B類不確定度為：UB=kpu總的不確定度：U=UA2+UB2測(cè)量結(jié)果的表達(dá)X=x±U 并標(biāo)明置信水準(zhǔn)2.3.2 不等精度直接測(cè)量的不確定度評(píng)定計(jì)算不確定度時(shí)B類不確定度的求法與等精度測(cè)量相同，A類不確定度的計(jì)算如下：權(quán)值的確定不等精度測(cè)量是指在測(cè)量過程中，除被測(cè)對(duì)象不改變，其他的要素發(fā)生改變的測(cè)量。如儀器、測(cè)量方法、測(cè)量環(huán)境以及測(cè)量人員中任何一項(xiàng)發(fā)生改變，都可認(rèn)為是不等精度測(cè)量。不等精度測(cè)量中不確定度計(jì)算涉及權(quán)w，即測(cè)量的可信賴程度，權(quán)值越大可靠程度越高。在其他測(cè)量條件相同的情況下，測(cè)量次數(shù)越多，則測(cè)量結(jié)果越可

15、靠，其權(quán)值也越大，故可用測(cè)量次數(shù)來確定權(quán)值，即w=n。假定同一個(gè)被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一個(gè)系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因?yàn)閱未螠y(cè)量精度都相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為s，則算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為Si=Sni i=1,2,3, ,m由此得到n1s12=n2s22=nmsm2=s2，因?yàn)閣=n， 又可寫成w1s12=n2s22=nmsm2=s2或表示成 w1:w2: :wn=1s12:1s22:1sn2即測(cè)量結(jié)果的權(quán)值wi與其相應(yīng)的方差成反比測(cè)量列的算術(shù)平均值x：x=i=1nwixii=1nwi算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差sx：sx=1i=1n1si2上式是已

16、知si時(shí)的不確定度計(jì)算，如果權(quán)值已知，當(dāng)然也可根據(jù)權(quán)值計(jì)算不確定度，見下式：sx=i=1nwivi2(n-1)i=1nwi計(jì)算擴(kuò)展不確定度UAUA=kpu包含因子kp與測(cè)量列的分布特征、自由度及置信水準(zhǔn)P有關(guān)最后合成總不確定度U=UA2+UB2 并寫出結(jié)果表達(dá)式2.4 提高測(cè)量精度的途徑在擬定或設(shè)計(jì)測(cè)量方法時(shí)，需要確定測(cè)量的不確定度。測(cè)量的總不確定度應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的精度要求恰當(dāng)?shù)慕o以規(guī)定。反過來，要想提高測(cè)量的精度，就應(yīng)盡可能的減小最后結(jié)果的總不確定度。根據(jù)不確定度的合成關(guān)系，可從下面幾方面著手。控制測(cè)量的誤差因素控制各誤差因素來減小各不確定度分量，這是提高測(cè)量精度的最基本方法。首先從根源上消除

17、或減小誤差的影響。對(duì)測(cè)量的環(huán)節(jié)進(jìn)行具體分析，找出產(chǎn)生誤差的原因，采取恰當(dāng)?shù)拇胧p小或消除。例如嚴(yán)格控制環(huán)境溫度，保證穩(wěn)定的測(cè)量環(huán)境，選擇好的測(cè)量?jī)x器，提高儀器的測(cè)量精度等。再次選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，能避免某些誤差因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。例如：對(duì)稱測(cè)量可消除線性變化的誤差，對(duì)于周期性的系差采用一定的方法（半周期法）可減小或消除。選擇有利的測(cè)量方案在間接測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果往往與很多因素有關(guān)，測(cè)量方案的選擇有多種，最佳的方案就是使測(cè)量結(jié)果的不確定度達(dá)到最小的方案。要做到這一點(diǎn)，應(yīng)從兩方面入手，首先選擇最佳的測(cè)量公式。一般說來，間接測(cè)量的函數(shù)公式可能不止一種，在間接測(cè)量的函數(shù)公式中，不確定度分量的個(gè)數(shù)越少，合成

18、的總不確定度就會(huì)越小。因此如果可由函數(shù)公式所涉及的直接測(cè)量的個(gè)數(shù)最少來確定函數(shù)公式，既確定測(cè)量方程的最佳形式。另外，間接測(cè)量的不確定度還與靈敏系數(shù)有關(guān)，應(yīng)遵循靈敏系數(shù)最小原則。根據(jù)不確定度的傳播公式，顯然，若靈敏系數(shù)越小，則相應(yīng)的直接測(cè)量量的不確定度分量與靈敏系數(shù)的乘積就越小。因此，若能使不確定度分量的靈敏系數(shù)最小，就可減小其對(duì)間接測(cè)量的總不確定度的貢獻(xiàn)?？刂普`差的最大分盤與微小誤差相反，在測(cè)量中，一個(gè)或幾個(gè)大的誤差對(duì)測(cè)量精度的影響舉足輕重。若能適當(dāng)減小這一個(gè)或幾個(gè)直接測(cè)量量的不確定度，就可大大減小最后測(cè)量的總不確定度，從而提高測(cè)量的精度。因此，為了有效的提高測(cè)量精度，還應(yīng)從大的誤差分量下手，

19、適當(dāng)控制最大誤差分量。3. 回歸分析在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要尋求相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)或多個(gè)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)測(cè)量得到的若干組兩個(gè)或多個(gè)變量的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，求表示這些變量間關(guān)系的解析式的過程稱為回歸。6最簡(jiǎn)單的回歸分析就是線性回歸，又以兩個(gè)變量的線性回歸最簡(jiǎn)單。3.1 直線擬合最小二乘法假定所研究的變量x和y之間存在線性關(guān)系，則函數(shù)形式可寫成y=a+bx由于自變量只有一個(gè)，故稱為一元線性回歸。利用測(cè)量的一組數(shù)據(jù)xi，yi，（i=1,2,n）來確定系數(shù)a和b。由于測(cè)得的xi，yi，不可能完全落在同一直線上，因此，對(duì)應(yīng)于每個(gè)xi，觀測(cè)值yi，和最佳經(jīng)驗(yàn)公式的y之間存在一個(gè)偏差，我們稱它為觀測(cè)值yi的殘差e

20、。7殘差的正負(fù)和大小表示了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)點(diǎn)在回歸法求得的直線兩側(cè)的分散程度。為了使殘差的正負(fù)不抵消，且考慮所有實(shí)驗(yàn)值的影響，我們計(jì)算殘差的平方和RSS。如果a和b的取值使殘差的平方和RSS最小，a和b即為所求值。3.2 直線擬合最小一乘法一元線性回歸是處理兩變量關(guān)系的最簡(jiǎn)單的模型。當(dāng)樣本中存在異常值時(shí),經(jīng)最小二乘法擬合的直線會(huì)偏離真實(shí)直線，出現(xiàn)偏差。這是因?yàn)樽钚《朔〝M合時(shí)，是利用殘差平方和最小進(jìn)行線性擬合，當(dāng)有異常值時(shí)，其殘差較大，殘差平方和會(huì)進(jìn)一步放大，為了使殘差平方和最小，必然把擬合直線拉向異常值，從而偏離真實(shí)直線。8但最小一乘法在線性擬合時(shí)，是利用偏離直線的絕對(duì)值之和最小為依據(jù)，因此異常值的

21、影響沒有最小二乘法那么顯著，是一種穩(wěn)健性的線性擬合方法。但在計(jì)算上，不像最小二乘法那樣，有明確的計(jì)算公式，并且會(huì)出現(xiàn)擬合直線不唯一的情況。由于最小一乘法的計(jì)算量大，它的使用不像最小二乘法那么普及。一些文獻(xiàn)中的最小一乘法是利用坐標(biāo)軸平移，把擬合直線的一般形式，變成無截距的形式，每個(gè)樣本點(diǎn)處找到過樣本點(diǎn)(帶約束)的最優(yōu)直線，在所有樣本點(diǎn)的最優(yōu)直線中比較它們的最小絕對(duì)值之和，找出最小的值，它所對(duì)應(yīng)的那條直線即為所求直線。當(dāng)為最優(yōu)直線時(shí)，每個(gè)樣本點(diǎn)處偏離直線的絕對(duì)值之和位于一折線凸函數(shù)的最低點(diǎn)上，在此最低點(diǎn)左側(cè)折線的斜率小于零，右側(cè)折線的斜率大于等于零。9利用此性質(zhì)，確定每個(gè)樣本點(diǎn)的最優(yōu)直線。本算法則

22、是利用最小一乘法的特點(diǎn)，最優(yōu)直線過其中的兩個(gè)樣本點(diǎn)，只要找到這兩個(gè)樣本點(diǎn)就可以確定直線方程，把直線確定轉(zhuǎn)化為樣本點(diǎn)的確定。二、數(shù)據(jù)處理綜合應(yīng)用1. 誤差的基本性質(zhì)與處理實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：對(duì)某一軸徑等精度測(cè)量8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測(cè)量結(jié)果。序號(hào)1234567824.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674假定該測(cè)量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測(cè)量結(jié)果。1、算術(shù)平均值2、求殘余誤差3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差4、判斷系統(tǒng)誤差5、求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差6、寫出最后測(cè)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)過程：算術(shù)平均值根據(jù)：可得：x=i=18li8=24.674125求

23、殘余誤差根據(jù)：-計(jì)算可得：li24.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674vi-0.000130.000875-0.001130.001875-0.003130.003875-0.00212-0.00013校核算術(shù)平均值及其殘余誤差殘差和：=0.000375 殘余誤差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差=0.000843644=0.0022320712判別系統(tǒng)誤差對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.

24、1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：按貝塞爾公式 按別捷爾斯法 由 得 所以測(cè)量列中無系統(tǒng)誤差存在。3. 判別粗大誤差在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過程中，一般不需判斷測(cè)量的原始數(shù)據(jù)是否正確，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)含有粗大誤差時(shí)，對(duì)測(cè)量結(jié)果將造成歪曲并影響不確定度的大小。在此，以鋼絲楊氏模量直徑測(cè)量數(shù)據(jù)為例，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)中含有粗大誤差時(shí)，用兩種數(shù)據(jù)處理方法分別求最佳值和不確定度并進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)如下表：測(cè)量次數(shù)n12345678直徑 D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893直接計(jì)算平均值及測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差D=i=1nDi8=0.909(mm)SD=I=

25、18(Di-D)28-1=0.035855(mm)進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)的分析判斷粗大誤差的判別方法很多，由于狄可遜準(zhǔn)則不需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，可以快速的判別異常數(shù)據(jù)。因此此處利用狄可遜準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。首先將測(cè)量數(shù)據(jù)按順序排序，排序如下：0.8890.8930.8930.8950.8960.8970.9120.996由于最后一個(gè)數(shù)據(jù)和它前一數(shù)據(jù)比較，出入較大，因此有理由懷疑最后一個(gè)是可疑數(shù)據(jù)。確定檢出水平a=0.05，剔除水平a*=0.01經(jīng)查表得到測(cè)量次數(shù)為8次時(shí)的狄可遜統(tǒng)計(jì)量r08,0.01=0.683r08,0.05=0.554當(dāng)測(cè)量次數(shù)為8時(shí)，用下式計(jì)算狄可遜統(tǒng)計(jì)量。r(n)=x(n)-x(n-1)xn-

26、x(2)得到：r8=0.996-0.9120.996-0.893=0.816由于r8>r0(8,0.01),可以確定測(cè)量數(shù)據(jù)中的0.996含有粗大誤差，為異常數(shù)據(jù)而且應(yīng)剔除并應(yīng)在原始數(shù)據(jù)中進(jìn)行標(biāo)識(shí)。原始數(shù)據(jù)整理為：測(cè)量測(cè)試n12345678直徑D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893剔除異常數(shù)據(jù)后，對(duì)剩下的原始數(shù)據(jù)重新分析判斷，發(fā)現(xiàn)已不存在粗大誤差。這時(shí)對(duì)剩下的原始數(shù)據(jù)計(jì)算最佳值及測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算如下：D=I=18DI-0.9967=0.896(mm)SD=I=18(DI-D)2-(0.996-0.896)26=0.0073(mm)4

27、. 不確定度的計(jì)算某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得r±r =(3.132±0.005)cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為： 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：UKu3.25×0.03140.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度圓球體積為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度

28、為UKu3.25×0.6162.0025. 最小二乘法的應(yīng)用以液體旋光率實(shí)驗(yàn)為例，進(jìn)行葡萄糖溶液濃度的反預(yù)測(cè)，計(jì)算葡萄糖溶液濃度的反預(yù)測(cè)值及其不確定度計(jì)算。葡萄糖溶液濃度及旋光度測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.1750.2000.250未知零點(diǎn)誤差旋光度(*)左9.7012.3514.9017.1520.3025.3012.60-0.10右9.6512.3514.8517.1020.2025.2512.550測(cè)量條件：T=18.3 =589.3nm L=20cm經(jīng)過計(jì)算旋光度和濃度關(guān)系對(duì)應(yīng)如下：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.175

29、0.2000.250未知旋光度(。)9.7212.4014.9217.1820.3025.3212.62 直接預(yù)測(cè)不求不確定度 以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關(guān)系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得：旋光率的計(jì)算斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=100.18則 旋光率為：=50.09ºmlg.dm濃度反預(yù)測(cè)點(diǎn)的計(jì)算x=yb=12.62100.18=0.126 g/ml有不確定計(jì)算的預(yù)測(cè)旋光率的計(jì)算以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關(guān)系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得：斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=1