倒立擺實驗預習報告_張曉德

1、控制理論專題實驗倒立擺建模與控制預習報告院系：自動化系班級：自22姓名：張曉德學號：2012011413郵箱：zhangxdqh目錄1 倒立擺數(shù)學建模21.1倒立擺動力學方程21.2傳遞函數(shù)21.3狀態(tài)空間方程31.4 判斷系統(tǒng)的可控性41.5判斷系統(tǒng)的可觀性71.5 特征值規(guī)范型和可控規(guī)范型72 實驗一 根軌跡方法控制實驗92.1根軌跡分析92.2根軌跡校正器理論設計92.3根軌跡校正器進一步設計123 實驗二：頻域響應方法控制實驗124 實驗三 極點配置控制方法實驗164.1 方法一：采用規(guī)范型的方法。164.2 方法二：采用改進算法17倒立擺建模與控制預習報告自動化系 自22 張曉德 2

2、0120114131 倒立擺數(shù)學建模1.1倒立擺動力學方程在忽略了空氣流動和各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成導軌、小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，其受力分析圖如下所示倒立擺本體主要由小車和擺桿組成。運用牛頓力學原理，得到兩部分的微分方程模型如下： （1）1.2傳遞函數(shù)我們需要將非線性的倒立擺模型在其工作點附近進行線性化。倒立擺的工作點就是它的平衡點，即 =0。當很小時（如 5°），我們可以作如下的近似處理：sin , cos 1, 2 0 , 2 0對公式（1）進行化簡可得 （2）假設模型的初始狀態(tài)為零，對線性化后的微分方程（2）進行拉普拉斯變換得： （3）對上式進行推導，得到傳遞函數(shù)的表

3、達式如下，其中A(s)為小車加速度（I）（II）（III）將已知數(shù)據(jù)（指導書12頁）代入以上各式可得（I）（II）（III）1.3狀態(tài)空間方程選定外力F 給小車施加的加速度a 為控制信號，而選取小車的位置 x 和倒立擺的角度 為輸出變量，即，請根據(jù)線性化后的微分方程，建立倒立擺本體的狀態(tài)空間方程其中結合（2）式可以得到如下的狀態(tài)方程組 （4）將其寫成矩陣的形式 （5）代入具體數(shù)值可得：1.4 判斷系統(tǒng)的可控性 方法一：利用狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控的充分必要條件是，系統(tǒng)的可控性矩陣的秩為所以系統(tǒng)可控。方法二：對角線規(guī)范型判據(jù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是對角規(guī)范型的輸入系數(shù)沒有全

4、零行。求狀態(tài)轉移矩陣沒有全零行，所以可控。方法三：線性定常系統(tǒng)可控的充要條件是狀態(tài)系數(shù)矩陣A的任意特征值都滿足對每個特征值進行判斷 可以看出系統(tǒng)可控。1.5判斷系統(tǒng)的可觀性方法一：代數(shù)判據(jù)：線性定常系統(tǒng)完全可觀的充要條件是：系統(tǒng)可觀矩陣的秩為n，即所以系統(tǒng)可觀。方法二：系統(tǒng)完全可觀的充要條件是：不存在全零列，所以可控方法三：模態(tài)判據(jù)：線性定常系統(tǒng)完全可觀的充要條件是：狀態(tài)系數(shù)矩陣A的任意特征值都滿足所以系統(tǒng)可觀1.5 特征值規(guī)范型和可控規(guī)范型通過坐標變換的方法將上述的狀態(tài)空間方程轉化為特征值規(guī)范型和可控規(guī)范型，并給出相應的變換矩陣。特征值規(guī)范型由上述可知，特征值規(guī)范型為變換矩陣為：可控規(guī)范型關

5、鍵代碼如下求得，第一可控規(guī)范型為第二可控規(guī)范型是2 實驗一 根軌跡方法控制實驗2.1根軌跡分析當?shù)沽[系統(tǒng)的輸入為小車的加速度a(t) = x(t)，輸出為擺桿的角度(t)時，倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：用MATLAB做出其根軌跡圖該系統(tǒng)有兩個極點為，根軌跡如下：系統(tǒng)有兩個實極點，并且有一個極點為正，有一條根軌跡從該點出發(fā)跑到坐標原點，又從原點跑到正無窮。所以，不管增益如何改變，右半平面總會存在根軌跡，即系統(tǒng)不可能通過調整開環(huán)增益使系統(tǒng)穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定并且改善動態(tài)性能，需要使根軌跡左移，即需要超前校正。2.2根軌跡校正器理論設計設計控制器，使得校正后系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足在擺桿角度施加弧度信號時調

6、整時間（的誤差），超調量的瞬態(tài)性能指標。確定希望的閉環(huán)主導極點根據(jù)超調量 得 ，取根據(jù)調整時間 得 ，取所以希望的主導極點為計算出的閉環(huán)主導極點在未校正系統(tǒng)根軌跡的左側，這也進一步說明應該進行超前校正。系統(tǒng)超前校正后，根軌跡向左方移動，可以使閉環(huán)系統(tǒng)有更高的穩(wěn)定裕度以及更快的響應時間。計算所需的超前角設校正前的傳遞函數(shù)為，校正裝置的傳遞函數(shù)為上述角度應增加才能滿足幅角條件，即需要超前角選擇超前校正裝置傳遞函數(shù)的極點、零點以及增益采用做角平分線的方法求得 所以校正裝置的傳遞函數(shù)形式應當為按照根軌跡的幅值條件可得 得出 閉環(huán)系統(tǒng)特性數(shù)據(jù)檢驗求出開環(huán)極點并作出根軌跡如下所示 可以看出根軌跡左移，雖然

7、右側也有一段根軌跡，但是只要有合適的增益，就能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。求出系統(tǒng)的階躍響應如下所示系統(tǒng)的超調量為，調整時間，可見超調量偏大，還需進一步校正。2.3根軌跡校正器進一步設計下面采用自動控制原理（第2版）（上冊）493頁介紹的對消極點的方法進行校正考慮消去校正前系統(tǒng)的極點，所以設校正裝置的傳遞函數(shù)為計算超前校正裝置傳遞函數(shù)的極點、零點以及增益由前面分析可知，希望的主導極點需要提供的超前角為 用作圖的方法可以確定極點 按照根軌跡的幅值條件可得 得出 閉環(huán)系統(tǒng)特性數(shù)據(jù)檢驗做出根軌跡圖和階躍響應如下圖所示（說明：此處MATLAB程序和上面基本一樣，所以不再重復給出）可以看出，根軌跡相比未校正的系統(tǒng)左

8、移，雖然右側也有一段根軌跡，但是只要有合適的增益，就能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。從階躍響應來看，超調量，調整時間，均符合要求。3 實驗二：頻域響應方法控制實驗根據(jù)前面得到的倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：在MATLAB中輸入代碼繪制出伯德圖（Bode Plots）和奈奎斯特圖（Nyquist Plots）如下所示根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當從連續(xù)地變化到時，開環(huán)傳遞函數(shù)的軌跡逆時針包圍復平面上的-1+j0點q周，其中q為右半平面的極點數(shù)。傳遞函數(shù)在右半平面有一個極點，但是奈奎斯特圖并沒有包圍-1+j0點1周，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。需要超前校正滿足靜態(tài)位置誤差常數(shù)KP的要求設超前校正裝置的傳

9、遞函數(shù)為 在之前的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基礎上增加比例系數(shù)則校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為 取則 做出的波特圖滿足相角穩(wěn)定裕量的要求從的波特圖可以看出，系統(tǒng)的相角裕量為0，設計要求的相角裕量50°，所以需要提供的超前角為，為了留有余地，最大提前量暫取，則 從圖上可以看出剪切頻率 考慮到超前校正帶來的增益所以取 由 得 所以 得出校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗證是否符合要求做出校正后系統(tǒng)的波特圖如下所示：可以看出，系統(tǒng)的相角裕量約為57°，滿足設計要求從奈奎斯特圖可以看出，傳遞函數(shù)的曲線逆時針繞點-1+j0一圈，說明校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定。4 實驗三 極點配置控制方法實驗根據(jù)倒立擺的狀態(tài)空間方程，要求采用兩種不同的方法，設計狀態(tài)反饋矩陣，配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)過渡過程時間，的誤差，阻尼系數(shù)。要求阻尼系數(shù)，取，根據(jù)得出 ，取則希望的主導極點的位置為取 得出閉環(huán)系統(tǒng)的期望