中考數(shù)學壓軸精品動態(tài)幾何3

1、 動圖中的函數(shù)關系 圖形中引入動點以后 ，隨著點 的移動，便會引起其他相關量的變化，這樣就會出現(xiàn)變量之間的函數(shù)關系；而動點在運動過程中，也會引起相關圖形的變化，這樣就可能產(chǎn)生特定形狀、特定位置或特定關系的圖形。這些問題就需要借助方程來解決。但不管是動點問題引出的函數(shù)。還是由動點引出的方程，卻都需要借助于幾何計算來建立。因此，幾何計算才是圖形動點問題得以解決的真正核心基礎，也即圖形動點問題通過幾何計算（主要是解直角形和三角形的相似關系函數(shù)（變化規(guī)律）方程（特定形狀的圖形、特定位置的圖形、特定關系的圖形） 一、圖形中動點形成的函數(shù)例1 如圖（1），中，點P是AC上的動點（P不與A，C重合）。，點P

2、到AB的距離為。（1）求與的函數(shù)關系式；（2）試討論以P為圓心，半徑為的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的取值范圍。ACBPQACBP（1） （1）【觀察與思考】（1）如圖（1），若于Q，要建立PQ和CP的函數(shù)關系，可以通過和 的相似關系。（2）就是討論P的半徑（即）和圓心P到AB的距離（即）的大小關系。解：（1）過P作于Q，如圖（1），則，易知，化簡得：。（2）令，即解得，此時P與直線AB相切。對應地有：時，P與直線AB相離；時，P與直線AB相交?！菊f明】本題的關鍵就是通過兩直角三角形相似關系構成的比例等式導出函數(shù)關系式，再通過P和AB相切這一特殊情況來判斷P和AB的三種位置關系。AP

3、NBM例2 如圖（1），已知P為的邊上的一點，以P為頂點的的兩邊分別交射線于兩點，且為銳角）。當以點P為旋轉中心，從PM邊與重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（保持不變）時，兩點在射線上同時以不同的速度向右平行移動。設，的面積為。若。（1）當旋轉30（即）時，求點N移動的距離；（2）寫出與之間的關系式；（1）（3）試寫出隨變化的函數(shù)關系式，并確定的取值范圍?！居^察與思考】首先要把題目的背景分析清楚：為銳角，且，得；APBN（M）6060APBN（M）3060旋轉前，PM邊與邊重合，對應的圖形為圖，其中是邊長為2的等邊三角形。 對于問題（1），旋轉30后變?yōu)閳D形，可知此時和都是直角三角形，弄清楚這

4、些特點，問題很容易解決。對于問題（2）和（3），又要回到原題圖，借助直角三角形及相似三角形，通過幾何計算可求出函數(shù)的表達式。解：（1）初始狀態(tài)時，是邊長為2的等邊三角形（如圖），當旋轉30到位置時對應的圖形為圖（）。在中，。點N的移動距離為2。（2）如圖（1）在和中，。，即。，（）過P點作，垂足為D（如圖），在中，。在中，（）由（）和（）式得，即。APNBMD（3）在中，OM邊上的高PD為，（見圖）。即。又的取值范圍是。 （）是的正比例函數(shù)，且比例系數(shù)，即。【說明】、對于運動中變化中的圖形，在題目的圖示中往往只給出一種一般情況下的圖形，但要把題目的全部背景和整個變化過程搞清楚，就需要如本題那樣

5、，仔細研究圖形變動的每種形態(tài)和聯(lián)系。、由本題的解可以看出，要順利建立出函數(shù)關系式，關鍵在于發(fā)現(xiàn)題目中的三角形之相似關系以及恰當?shù)匾煤蜆嬙熘苯侨切?。ABCDPNMFE【練習】1、如圖，在矩形中，P為AC的中點，直線，且分別與AB，BC相交于點E，F(xiàn)。設的面積為，求關于的函數(shù)關系式。 例3 如圖（1），已知直角梯形中，動點BCADCP沿的路線以秒的速度向C運動，動點Q沿線路以秒的速度向C運動，P，Q兩點分別從A，B同時出發(fā)，當其中一點到達C點時，另一點也隨之停止。設運動時間為秒，的面積為。（1）求AD的長及的取值范圍；（2）求關于的函數(shù)關系式，并具體描述在P，Q運動過程中，的面積隨變化而增大或

6、減小的情況。ADBCQP【觀察與思考】首先，要把題目的背景搞清楚，如圖（1），將AB平移至DE，易得，即得。其次，要把運動全過程搞清楚：首先從時間上來看，點Q共可運動8秒；點P在AD上運動秒，在DC上運動秒，也是共運動8秒，再看的變（1）動情況：當時，點P在AD上，此階段圖形大致如圖（2），而在時，此階段圖形大致如圖（3）。把這些情況都搞清楚了，問題（1）和問題（2）就容易解決了。ADBCQPADBC1213E1235ADBCEPMQ（1）（2） （3）解：（1）在梯形中，過D作于E點。在中，。點P從出發(fā)到點C共需（秒），點Q從出發(fā)到C共需（秒）。又。（2）當時，點P在AD邊上，P到BC的垂線

7、段長。（）。ADBCEPMQ當時，點P在DC上，（圖（3），。過點P作于M，得。，即又，當時，的面積隨的增大而增大。當時，。當時，的面積隨的增大而（繼續(xù)）增大。當時，的面積隨的增大而減小?！菊f明】本題突現(xiàn)了函數(shù)表達式的分段情況源起于對圖形動點引出的相關圖形不同的變化形態(tài)，足見深入和全面審題的重要。二、圖形中動點形成的方程特定形狀圖形特定位置圖形特定數(shù)量圖形圖形動點幾何計算方程ABCDPQ例1 如圖，（1），在等腰梯形中，點P從點A出發(fā)，以的速度沿AB向終點B運動，點Q從點C出發(fā)，以的速度沿CD，DA向終點A運動。（P，Q兩點中，有一個點運動到終點時，所有運動終止）。設P，Q同時出發(fā)并運動了秒。

8、（1）當PQ將梯形分成兩個直角梯形時，求的值；（2）試問是否存在這樣的，使四邊形的面積是梯形面積的一半？若存在，求出這樣的的值；若不存在，請說明理由。 （1）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：略；第二，搞清楚運動的全過程：從時間上來看，點P共運動4秒鐘，而點Q在CD上運動2秒，在DA上需運動6秒。這樣，它們共同運動的時間為4秒，即點Q在DA上最多運動到處。再從對應的圖形來看，在時，對應圖形如原圖（1），而在時，對應的圖形就像圖（1）。ABCDPQ 有了以上的研究，再來看看相應問題的解決方向和方法：對于問題（1），對應的圖形如圖（1），可通過構造關于的方程來求解。（1）對于問題（2），應計算出

9、來（是關于的代數(shù)式），令它ABCDPQFE等于，從所得方程解出相應的值。但應特別注意，在計算時，需分點Q在CD上還是在DA上兩種情況來討論。解：（1）過D作于E，過C作于F，如圖（1）。（1），若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，有，即。當秒時，PQ將分成兩個直角梯形。（2）在中，（8+2）。當時，ABCDPQHG如圖（1），若點Q在CD上，即，則。，解得（舍去）。如圖（1），若點在上，即。（1）由圖（1）易知，過點作于，其反向延長線交的延長線于，如圖（1），在中，在中，。設，也即，得即。解得（不合題意，舍去），）。存在，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?！菊f明】

10、由本題可以看出：求動點引起的特定形狀（PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形）、特定數(shù)量（四邊形PBCQ的面積為梯形面積的一半）的圖形，都是通過構造相應的方程來解決。ABCPQEF【練習】2、如圖，等邊三角形中，點P是AB邊上的任意一點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作，垂足為E；過點E作，垂足為F；過點F作，垂足為Q。設。（1）寫出與之間的函數(shù)關系式；（2）當BP的長等于多少時，點P與點Q重合。例2 如圖，在中，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動。P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一

11、點也隨之停止運動。在運動過程中，關于直線PQ對稱的圖形是。設運動時間為（秒）。（1）為何值時，四邊形是梯形？（2）是否存在時刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由?！居^察與思考】首先，搞清楚背景圖形（略）；其次，搞清運動全過程，在這里重點是搞清楚四邊形是由和它關于PQ對稱的圖形組成的。對于問題（1），應以，這一特征構造關于的方程來解決。對于問題（2），應像圖（1）那樣，用來反映，并由此構造關于的方程來解決。AB CCC CCQ CCP CCD CCM CCAB CCC CCQ CCP CCD CC(1) （1）解：（1）如圖（1），若是梯形，由于AB與BQ顯然不平行，AB CCC C

12、CQ CCP CCD CC故應以，即。，解得。當秒時，四邊形是梯形。 （1）（2）設存在時刻，使得，延長PD交BC于點M，如圖（1），則，。又，若，即有，則即，解得。當秒時，?！菊f明】在本題，研究動點在運動過程中何時使“四邊形是梯形”變化中成為特定形狀的圖形，能否使“”變化成為特定位置關系的圖形，都是借助構造方程來解決的。三、圖形中動點形成的函數(shù)和方程在更多情況下，是同時研究圖形引入動點形成的函數(shù)及方程問題。例1 如圖，中，點M在邊AB上，且。ACBDM（1）動點D在邊AC上運動，且與點A，C均不重合，設。設與的面積之比為，求與之間的函數(shù)ACBEMD關系式（寫出自變量的取值范圍）。當取何值時，

13、是等腰三角形？寫出你的理由。（2）如圖，以圖中的BC，CA為一組鄰邊的矩形中，D在矩形邊上運動一周，能使是以為頂角的等腰三角形共有多少個？（直接寫出結果，不要求說明理由。）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形，如在圖中，；第二，搞清楚運動全過程，在（1）中，點D在AC上運動，的邊DA的長隨之變化，但該邊上的高不變，邊AM也是不變的；在（2）中，點D可以運動至矩形上的任意一點，所以的形狀也相應地變化著，但AM這條邊是不變的。ACBDMH解：（1），又。過點M作于H。（如圖），得。（其中）。要使為等腰三角形，只有以下三種可能：、，此時。、，即在圖中應有，而，也即。、（如圖）。若過D作于點E，易知，且

14、。ACBDME即，得。綜上可知：當時，都可以是等腰三角形。ACBEM（2）注意到要求為等腰三角形，且以為頂角，也就是要求，那么A和D都應以點M為圓心，以MA的長為半徑的圓周上，為此，作草圖如圖，該圓與矩形的邊共有5個交點（包括點A），這些點中和M，A構以M為頂角頂點的等腰三角形共有4個，如圖中的?！菊f明】在本題中，（1）中的是轉化為函數(shù)，（1）中的是轉化為方程。而對于（2），則主要通過分析圖形的幾何性質與畫草圖來解決。ABCDEFHG例2 已知，如圖（1），正方形的邊長為6，菱形的三個頂點分別在正方形邊AB，CD，DA上，連結CF。（1）當時，求的面積；（2）設，用含的代數(shù)式表示的面積；（1）

15、（3）判斷的面積能否等于1，并說明理由?！居^察與思考】首先應當清楚，當點G在DC邊上運動時， 菱形的形狀、大小從而點F的位置都是變化的。對于（1），應先搞清楚時菱形的形狀和點F的位置。對于（2），關鍵是求中邊CF上的高。ABCDEFHG對于（3），可借助于方程或函數(shù)的性質幫助作出判斷。解：（1）正方形中，。又，即菱形的邊長為。在和中， 。，。 ，即這時菱形是正方形。（1）同理可以證明。ABCDEFHGM即點F在BC邊上，如圖（1），同時可得。（2）作，M為垂足，連結GE，如圖（1）。，（1）。在和中，又有。，即無論菱形如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2。（3）若，由，得，此時在中，。相

16、應地，在中，即點E已經(jīng)不在邊AB上。故不可能有。 三、課堂小結：1. 圖形引入動點后，大都會形成變動圖形邊長或面積的函數(shù)問題；2. 這類函數(shù)關系的建立，核心基礎是“幾何計算”，注意恰當運用與構建直角三角形及相似三角形；3. 解法的思考要特別注意從支背景圖形和“變化過程”的全面研究入手。4. 圖形引入動點后形成的函數(shù)和方程問題，切入點在于深入，全面地研究“變動著的圖形”， 解決的關鍵在于運用好“幾何計算”。4、 作業(yè)布置：1、如圖（1），在梯形中，ADCB（1）如圖（2），動點P，Q同時以每秒的速度從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止。點Q沿BC運動到 點C停止，設P，Q同時從點B出

17、發(fā)秒時，的面積為，求關于（秒）的函數(shù)關系式。ADCBQPADCBEP（1）（2） （3）（2）如圖（3），動點P以每秒的速度從點B出發(fā)沿BA運動，點E在線段CD上隨之運動，且。設點P從點B出發(fā)秒時，四邊形PADE的面積，求關于（秒）的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍。2、如圖，已知矩形的邊長某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以的速度向A點勻速運動 問：（1）經(jīng)過多少時間，的面積等于矩形面積的？（2）是否存在時刻，使以A，M，N為頂點的三角形與相似？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。ABDCNM3、如圖，在矩形中，。設P，Q分別為BD，BC上的動點，在點P自點D沿DB方向勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度均為，設P，Q移動的時間為（）。（1）寫出的面積與時間之間的函數(shù)表達式，當為何值時，S有最大值？最大值是多少？（2）當為何值時，為等腰三角形？（3）能否成為等邊三角形？若能，求的值；若不能，說明理由。ABCDPQ4、如圖，正方形的邊長為，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連結AP，過點P作交DC于點Q，設BP的長為，CQ的長為。ABCDQP（1）求點P在BC上運動的過程中的最大值；（2）當時，求的值。5、如圖，