初中數(shù)學(xué)——找規(guī)律

1、第一講 找規(guī)律【知識(shí)梳理】 所謂規(guī)律探索題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過(guò)程，要求通過(guò)觀察、分析、推理，探求其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。  常見(jiàn)類(lèi)型有：（1）數(shù)字猜想型（2）數(shù)式規(guī)律型（3）圖像變化猜想型（4）數(shù)形結(jié)合猜想型（5）坐標(biāo)變化型解題策略：綜合運(yùn)用比較、猜想、概括、推理等方法；關(guān)鍵是仔細(xì)審題，歸納規(guī)律，合理推測(cè)，認(rèn)真驗(yàn)證，從而得出問(wèn)題的結(jié)論。知識(shí)點(diǎn)1：循環(huán)規(guī)律：一列數(shù)每隔T項(xiàng)就開(kāi)始循環(huán)，或一列圖形（符號(hào)）每隔T個(gè)就開(kāi)始循環(huán)，T叫做循環(huán)周期。如果一列數(shù)或圖形的循環(huán)周期為T(mén)，則其第kT+1(k=1,2,3.)項(xiàng)與第

2、1項(xiàng)相同；則其第kT+2(k=1,2,3.)項(xiàng)與第2項(xiàng)相同；則其第kT+3(k=1,2,3.)項(xiàng)與第3項(xiàng)相同；以此類(lèi)推. 正整數(shù)的n次冪的循環(huán)規(guī)律： 對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)a，an(n=1,2,3.)的個(gè)位數(shù)字必循環(huán)。例如：2n（n=1,2,3.）的個(gè)位數(shù)字循環(huán)規(guī)律為：2,4,8,6,2,4,8,6，.，循環(huán)周期為4. 知識(shí)點(diǎn)2：不循環(huán)的規(guī)律： 等差數(shù)列：對(duì)于一列數(shù)a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項(xiàng)減去前面一項(xiàng)是一個(gè)固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等差數(shù)列。此時(shí)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值稱(chēng)為公差，通常記為d。對(duì)于等差數(shù)列，其第n項(xiàng)為an=a1+(n-1)d,前n項(xiàng)的和為.特別地， 奇數(shù)列：1,3,5,7,

3、9，.是等差數(shù)列，公差為2，第n項(xiàng)為2n-1，前n項(xiàng)和為n2。 偶數(shù)列：2,4,6,8,10，.是等差數(shù)列，公差為2，第n項(xiàng)為2n，前n項(xiàng)和為n2+n。 等比數(shù)列： 對(duì)于一列數(shù)a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項(xiàng)與前面一項(xiàng)的比值是一個(gè)固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等比數(shù)列。此時(shí)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值稱(chēng)為公比，通常記為q。對(duì)于等比數(shù)列，其第n項(xiàng)為an=a1qn-1.特別地， 數(shù)列 -1,1，-1,1，-1，.是等比數(shù)列，公比為-1，第n項(xiàng)為(-1)n ； 數(shù)列 1，-1,1，-1，.是等比數(shù)列，公比為-1，第n項(xiàng)為(-1)n+1 ； 數(shù)列 1，0，1，0，1，. 第n項(xiàng)為 ； 平方數(shù)列：1,4,9,

4、16,25，.的第n項(xiàng)為n2 ?！纠}講解】1、 （2015朝陽(yáng)一模）一組按規(guī)律排列的式子：，其中第7個(gè)式子是 ，第個(gè)式子是 （用含的式子表示，為正整數(shù)）【鞏固】一組按規(guī)律排列的式子：，其中第n個(gè)式子是 2、（2015燕山一模）定義：對(duì)于任意一個(gè)不為1的有理數(shù)a，把稱(chēng)為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為記，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類(lèi)推，則 ； 3、（2013西城一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一只電子青蛙在點(diǎn)A(1,0)處第一次，它從點(diǎn)A先向右跳躍1個(gè)單位，再向上跳躍1個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)A1；第二次，它從點(diǎn)A1先向左跳躍2個(gè)單位，再向下跳躍2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)A2；第三次，它從點(diǎn)A2

5、先向右跳躍3個(gè)單位，再向上跳躍3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)A3；第四次，它從點(diǎn)A3先向左跳躍4個(gè)單位，再向下跳躍4個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)A4；依此規(guī)律進(jìn)行，點(diǎn)A6的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)An的坐標(biāo)為（2013，2012），則n= 4、（2010北京）下圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A，B，C，D.請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即ABCDCBABC的方式）從A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是_;當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是_；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(shí)（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是_ （用含n的代數(shù)式表示）。2010北京 5、（2012豐臺(tái)）在數(shù)學(xué)校本活動(dòng)課上，張老師設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，讓電

6、動(dòng)娃娃在邊長(zhǎng)為1的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上依次跳動(dòng)規(guī)定：從頂點(diǎn)A出發(fā)，每跳動(dòng)一步的長(zhǎng)均為1第一次順時(shí)針?lè)较蛱?步到達(dá)頂點(diǎn)D，第二次逆時(shí)針?lè)较蛱?步到達(dá)頂點(diǎn)B，第三次順時(shí)針?lè)较蛱?步到達(dá)頂點(diǎn)C，第四次逆時(shí)針?lè)较蛱?步到達(dá)頂點(diǎn)C， ，以此類(lèi)推，跳動(dòng)第10次到達(dá)的頂點(diǎn)是 ，跳動(dòng)第2012次到達(dá)的頂點(diǎn)是 6、（12石景山二模）如圖所示，圓圈內(nèi)分別標(biāo)有1，2，12，這12個(gè)數(shù)字，電子跳蚤每跳一步，可以從一個(gè)圓圈逆時(shí)針跳到相鄰的圓圈，若電子跳蚤所在圓圈的數(shù)字為，則電子跳蚤連續(xù)跳（）步作為一次跳躍，例如：電子跳蚤從標(biāo)有數(shù)字1的圓圈需跳步到標(biāo)有數(shù)字2的圓圈內(nèi)，完成一次跳躍，第二次則要連續(xù)跳步到達(dá)標(biāo)有數(shù)字6的圓圈，依

7、此規(guī)律，若電子跳蚤從開(kāi)始，那么第3次能跳到的圓圈內(nèi)所標(biāo)的數(shù)字為 ；第2012次電子跳蚤能跳到的圓圈內(nèi)所標(biāo)的數(shù)字為 7、（11北京）在上表中，我們把第i行第j列的數(shù)記為（其中i，j都是不大于5的正整數(shù)），對(duì)于表中的每個(gè)數(shù)，規(guī)定如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。例如：當(dāng)，時(shí)，。按此規(guī)定，_；表中的25個(gè)數(shù)中，共有_個(gè)1；計(jì)算的值為_(kāi)。8、（2013朝陽(yáng)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，在上一次平移的基礎(chǔ)上進(jìn)行下一次平移例如第1次平移后可能到達(dá)的點(diǎn)是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到達(dá)的點(diǎn)是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后

8、可能到達(dá)的點(diǎn)是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此類(lèi)推我們記第1次平移后可能到達(dá)的所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為l1，l1=3；第2次平移后可能到達(dá)的所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為l2，l2=9；第3次平移后可能到達(dá)的所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為l3，l3=18；按照這樣的規(guī)律，l4= ； ln= (用含n的式子表示，n是正整數(shù))9、（2012石景山一模）一個(gè)正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍）： 則第4行中的最后一個(gè)數(shù)是 ，第行中共有 個(gè)數(shù)，第行的第個(gè)數(shù)是 第1行1第2行35第3行79111310、（2013石景山一模）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5

9、 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第5行從左到右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)；第行（3）從左到右的第3個(gè)數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）11、 （2013通州一模）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使得為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取，則： ，若，則第2次“F運(yùn)算”的結(jié)果是 ；若，則第2013次“F運(yùn)算”的結(jié)果是 .12、（2014年海淀一模）在一次數(shù)學(xué)游戲中，老師在三個(gè)盤(pán)子里分別放了一些糖果，糖果數(shù)依次為，記為（，）. 游戲規(guī)則如下： 若三個(gè)盤(pán)子中的糖果數(shù)不完全相同，則從糖果數(shù)最多的一個(gè)盤(pán)子中拿出兩個(gè)，給另外兩個(gè)盤(pán)子各放一個(gè)（若有兩個(gè)盤(pán)子中的

10、糖果數(shù)相同，且都多于第三個(gè)盤(pán)子中的糖果數(shù)，則從這兩個(gè)盤(pán)子字母序在前的盤(pán)子中取糖果），記為一次操作. 若三個(gè)盤(pán)子中的糖果數(shù)都相同，游戲結(jié)束. 次操作后的糖果數(shù)記為（，）（1）若（4，7，10），則第_次操作后游戲結(jié)束；（2）小明發(fā)現(xiàn)：若（4，8，18），則游戲永遠(yuǎn)無(wú)法結(jié)束，那么_13、（2012海淀二模）小東玩一種“挪珠子”游戲，根據(jù)挪動(dòng)珠子的難度不同而得分不同，規(guī)定每次挪動(dòng)珠子的顆數(shù)與所得分?jǐn)?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示：挪動(dòng)珠子數(shù)（顆）23456所得分?jǐn)?shù)（分）511192941按表中規(guī)律，當(dāng)所得分?jǐn)?shù)為71分時(shí)，則挪動(dòng)的珠子數(shù)為 顆; 當(dāng)挪動(dòng)n顆珠子時(shí)（n為大于1的整數(shù)）, 所得分?jǐn)?shù)為 （用含n的代數(shù)

11、式表示）【課堂練習(xí)】1、（2015東城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置，點(diǎn)B,O分別落在點(diǎn)B1,C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去若點(diǎn)A（，0），B（0，4），則點(diǎn)B4的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B2014的坐標(biāo)為2、（2015房山期末）拋物線(xiàn)（其中n是正整數(shù)）與x軸交于An、Bn兩點(diǎn)，若以AnBn表示這兩點(diǎn)間的距離，則; ； (用含n的代數(shù)式表示)3、（2015豐臺(tái)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，其中，我們把點(diǎn) 叫做點(diǎn)P的

12、衍生點(diǎn).已知點(diǎn)的衍生點(diǎn)為，點(diǎn)的衍生點(diǎn)為，點(diǎn)的衍生點(diǎn)為，這樣依次得到點(diǎn)，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，那么_4、（2015海淀期末）對(duì)于正整數(shù)，定義，其中表示的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和例如：，規(guī)定，（為正整數(shù)）例如：，（1） 求：_，_；（2） 若，則正整數(shù)m的最小值是_5、（2015懷柔期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如右圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第1個(gè)正方形的面積為 ；第n個(gè)正方形的面積為

13、 6、（2015門(mén)頭溝）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD頂點(diǎn)A（1，1）、B（3，1） 我們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個(gè)單位”為一次變換（1）如果正方形ABCD經(jīng)過(guò)1次這樣的變換得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐標(biāo)是 （2）如果正方形ABCD經(jīng)過(guò)2014次這樣的變換得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐標(biāo)是 7、（2015密云期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形 放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn) 重合，點(diǎn)在軸上.將正方形沿軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)第一次落在軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是_,點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是_；當(dāng)點(diǎn)第2014次落

14、在軸上時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度是_.8、 （2015平谷期末）在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度為1cm，整點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，作向上或向右運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s當(dāng)整點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)1秒時(shí)，可到達(dá)整點(diǎn)（1,0）或（0,1）；當(dāng)整點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)2秒時(shí)，可到達(dá)整點(diǎn)（2,0）、（0,2）或 ；當(dāng)整點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)4秒時(shí)，可以得到的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)當(dāng)整點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)n秒時(shí)，可到達(dá)整點(diǎn)（x,y），則x、y和n的關(guān)系為 9、（2015石景山期末）二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3An在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象

15、上，點(diǎn)C1，C2，C3，Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3，四邊形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=120°.則A1的坐標(biāo)為 ；菱形An-1BnAnCn的邊長(zhǎng)為 .10、（2015通州期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（0，1），有一組拋物線(xiàn)Ln,它們的頂點(diǎn)Cn（Xn，Yn）在直線(xiàn)AB上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（Xn+1，0）,當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，Xn=2,3,5,8,13，根據(jù)上述規(guī)律，寫(xiě)出拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式為 ，拋物線(xiàn)L6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，拋物

16、線(xiàn)L6與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 11、（2015延慶期末）如圖，AD是O的直徑(1)如圖1，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則B1的度數(shù)是，B2的度數(shù)是；(2)如圖2，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，則B3的度數(shù)是；(3)如圖3，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3 C3，BnCn把圓周2n等分，則Bn的度數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示Bn的度數(shù)） 圖1 圖2 圖312、（2015燕山期末）在函數(shù)的圖象上有點(diǎn)P1，P2，P3，Pn，Pn+1，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，n，n+1過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，Pn，Pn+1分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)段，構(gòu)成如圖所示

17、的若干個(gè)矩形，將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為 ； ； （用含n的代數(shù)式表示）【課后作業(yè)】1、一組按規(guī)律排列的式子：，其中第6個(gè)式子是 ，第個(gè)式子是 （為正整數(shù)）2、（09東城一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第9個(gè)數(shù)是_3、（12西城一模）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)邊長(zhǎng)為1、且頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn)正方形如圖，在菱形ABCD中，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（8,0），（0,4），（8,0），（0，4），則菱形ABCD能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是 個(gè)；若菱形AnBnCn D n的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2n,0），（0, n），（2

18、n，0），（0，n）（n為正整數(shù)），則菱形AnBnCn D n能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)為 （用含有n的式子表示）xy8-8-44OABCD4、（2014東城一模）如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙由點(diǎn)A（2，0）同時(shí)出發(fā)，沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，物體甲按逆時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位/秒勻速運(yùn)動(dòng)，物體乙按順時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位/秒勻速運(yùn)動(dòng)，則兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)后的第2次相遇地點(diǎn)坐標(biāo)是 ；第2014次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)是 5、（2013石景山一模）小涵設(shè)計(jì)了一個(gè)走棋游戲：在平面直角坐標(biāo)系中，棋子從點(diǎn)出發(fā)，第1步向上走1個(gè)單位，第2步向上走2個(gè)單位，第3步向右走1個(gè)單位，第4步向上走1個(gè)單位，第5步向上走2個(gè)單位，第6步向右走1個(gè)單位，第7步向上走1個(gè)單位依此規(guī)律走棋（1）當(dāng)走完第8步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)為_(kāi)；（2）當(dāng)走完第100步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)為_(kāi)6、（2013西城一模）如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A的初始位置表示的數(shù)為1，現(xiàn)點(diǎn)A做如下移動(dòng)：第1次點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第2次從點(diǎn)向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第3次從點(diǎn)向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，按照這