多邊形內(nèi)角和及外角和講義

1、多邊形內(nèi)角和及外角和講義第一講三角形內(nèi)角和及外角和、謎語導(dǎo)入：形狀似座山，穩(wěn)定性能堅。三竿首尾連，學(xué)問不簡單。大家都知道，我們幾何都是由線段組成的各種圖形， 最簡單的也就是 三條線段圍成的閉合圖形，但是我們謎面上卻說 學(xué)問不簡單”好, 那么它到底多神秘？我們先從三角形內(nèi)外角和講起。、基礎(chǔ)知識回顧:第一部分：三角形內(nèi)角和 180° （只知道兩角的三角形碎紙可以 求出另一角么？）證法1,把三個角剪下來拼湊成一個平角 180°這是我們小學(xué)法。 證法2,利用平行線法，這是初中生應(yīng)該掌握的。三角形ABC中，過點A做EF平行于BC-/EF/BC/-ZABC=ZEAB , ZACB=zF

2、AC azEAB + zBAC +zCAF=180a 故三角形內(nèi)毎和為方法很多種，就靠我們自己去發(fā)現(xiàn)，去掉 EA這段，延長BA至E， 同樣可利用平行線法證出內(nèi)角和180°。后面方法很多，同學(xué)們自己去 發(fā)現(xiàn)，去探討。法3:利用平行線把三角形做成一個平行四邊形，即兩個ABC的內(nèi)角和（四邊形內(nèi)角和360°,故三角形ABC內(nèi)角和180°。這也是證 明四邊形內(nèi)角和的主要方法。（同學(xué)們可以借鑒此法推斷其它多邊形 內(nèi)角和。）由三角形內(nèi)角和180°可知兩個特殊的三角形:直角三角形，直角外的兩角互補。正三角形的三個角都為60°第二部分：三角形的外角和三角形 一條

3、邊 與另一 條邊的 延長線 組成的 角叫外 角性質(zhì)1一個外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和性質(zhì)2外角與相鄰內(nèi)角互補性質(zhì)3三角形的外角大于不相鄰的任內(nèi)角性質(zhì)4三角形的外角和為360°由逆反思維提出三角形的外角和怎么證明呢？由定義三角形ABC中/ A的外角二/ B+ / C / B 的外角二 / A+ / C > =>外角和=2(/A+ / B+ / C)=360°/ C的外角二/ A+ / B /多邊形外角和都是360°，請同學(xué)們思考我們?nèi)绾蔚贸鰜淼?？三、實?zhàn)秒殺計詳解：例 1、三角形 ABC 中，/ A: / B: / C=2: 3: 4，那么/ A、/ B、/

4、C對應(yīng)的外角度數(shù)比如何？內(nèi)角和法：設(shè)每份 X，得出2X+3X+4X=180，得X=20°=> / A=40° / B=60° / C=80°=>對應(yīng)外角140° 120° 100°故比為7:6:5。外角和法：設(shè)每份X，由三角形外角和360°得出有：180° 2X+180° -3X+1800 4X=360° ,得 X=20°=對應(yīng)外角140° 120° 100°故比為7:6:5。提高法：設(shè)每份X，三角形 / A、/ B、/ C對應(yīng)為2X

5、、3X、4X , 那么他們對應(yīng)的外角應(yīng)為(3X+4X )、(2X+4X )、(2X+3X ),我們不 用解直接得到比為7:6:5。這種類型的題主要鍛煉我們的例2、如圖，求五個角的度數(shù)和。解：標(biāo)出/ 6,2 7/ 6=2 1 + 2 3,2 7= 2 2+2 5故 2 4+2 6+2 7=180°即 2 1 + 2 2+2 3+2 4+2 5=180°同理，我們也能分出其他三角形解出。識圖、分圖能力 例 3、如圖示，2 1=80° 2 2=70°,求2 CEA, 2 BDA 的度數(shù)我們觀察出，題中三角形可以還原成一個完整的三角形，如下圖。2 ADE= 2

6、A'DE 2 仁80°2 AED= 2 A'ED 2 2=70°2 BDA=180 80° >2=20°2 CEA= 180 70° 疋=40°提高點：關(guān)于這類型的題我們都可以推本溯源找到其母體所在，再分析問題就簡單多了。模型一：已知2 ADE、2 AED，猜想2 CEA和2 BDA與2 A的關(guān)系同理，把三角形母體示意出來，如圖/ BDA=180 2/ 1/ CEA=180 2 /2/ A=180° (/ 1 + / 20)=> / BDA+ / CEA=2 / A模型二：如圖，已知/ ADE、/

7、 AED，猜想/ CEA和/ BDA與/ A的關(guān)系把三角形母體圖示意如右/ CED=180 /AED / CEA= / AED / CED=2/AED 180°/ BDA= 180 2/ ADE/ A= 180°(Z ADE+ / AED)=> / BDA / CEA=2 / A模型三：如圖，已知/ ADE、/ AED，猜想/ CEA和/ BDA與/ AEABA jC把三角形母體圖示意如右/ BDE=180 -Z ADE/ BDA= Z ADE Z BDE=2 Z ADE 180° Z CED=180 Z AEDZ CEA= Z CED Z AED=180

8、2Z AED Z A=180° Z AED Z ADE聯(lián)立，可得 Z CEA Z BDA=2 Z AA3四、實題演練（2013,中考原題）如圖，四邊形 ABC沖，點M N分別在AB BC上，將 BMN沿 MN翻折，得 FMN若 MF/ AD FN/ DC 則Z B多少（95°）第二講 多邊形內(nèi)角和及外角和三角形是最簡單的幾何圖形，我們已經(jīng)學(xué)了其內(nèi)外角和，那么多邊形的內(nèi)外角和又有什么特點呢？ 一、老師上一講留了兩個懸念給大家，不知道同學(xué)們課后有沒有思考 呢？五邊形的內(nèi)角和怎么去算?怎樣證明多邊形外角和都是 360 ° ？二、知識回顧：1、四邊形內(nèi)角和任意一個四邊形只

9、要連接一條對角線都可以分成兩個三角形，故四邊形內(nèi)角和為 2X180°也可如右圖，在四邊形中間取一點再連接各頂點,以構(gòu)成四個三角形，那么四邊形內(nèi)角和表示為：4X80° (/ 1 + Z2+Z 3+Z4) =4X180°- 360°2、五邊形內(nèi)角和任意一個五邊形都能分成如右圖所示的三個三角形，故五邊形內(nèi)角和為3X180°也可如右圖所示，在五邊形中間取一點再連 接各頂點，可以構(gòu)成5個三角形，那么五邊形內(nèi)角 禾口表示為：5X180°- (/ 1 + Z 2+Z 3+Z4+Z 5) =5X180°-360 3、多邊形內(nèi)角和把多邊形可拆

10、分為若干個三角形，在多邊形中間取一點再連接各頂點可以得出內(nèi)角和為：n >180° 360° （n 2） X180°（n 2 ） * 180正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為：n4、多邊形外角和如右圖示，外角和由一角的外角和此角互補可得：外角和=180° / 1 + 180° / 2+180°亠 Z 3+180° / 4=4X180° 360° =360°同理，多邊形外角和 nX180°（ n 2） X80°360°三、秒殺技能詳解口頭回答：1、當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也增大？2、當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的外角和也增大？3、 從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出（n-2）條對角線，那么可以得到（n-2）個三角形？例1、如果一個多邊形的每個外角都相等，且小于45°那么這個多邊形邊數(shù)最少為幾條？解：假令每個外角恰好等于45°則360°泊5°8每個外角都小于45°即n>360°詔5°8（多邊形外角和不變，角度就越小，邊數(shù)愈多）故，邊最少為 9條例2、凸邊形中有且僅有兩個內(nèi)角為鈍角，則邊數(shù)的最大值為多少？解：由題意，其外角僅有兩個為銳角，其余的（n-2）則三90°2* a +（n2