高考題立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系

1、立體幾何專題高考考試大綱說明的具體要求：（1 ）空間幾何體 認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表 示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。 會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。 會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一

2、個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi) 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)， 那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理公理公理公理公理定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角 相等或互補(bǔ). 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性 質(zhì)與判定 .理解以下判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平

3、面都平行，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明 ：如果一條直線與一個平面平行 , 經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交 , 那么這條直線就和 交線平行 .如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行 .如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直. 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.一、基礎(chǔ)知識梳理：1、三個公理和三條推論 ：公理 1：一條直線的兩點(diǎn)在一個平面

4、內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。 這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法 。公理 2、如果兩個平面有兩個公共點(diǎn)， 它們有無數(shù)個公共點(diǎn)， 而且這無數(shù)個公共點(diǎn)都在 同一條直線上。這是 判斷幾點(diǎn)共線 （證這幾點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)）和 三條直線共點(diǎn) （證其中兩條直線 的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。公理 3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個平面。1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面。2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。推論推論推論第1頁，共 15 頁公理3和三個推論是確定平面的依據(jù)。2、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面兩直線平行的判定：隱含的線線平行

5、關(guān)系：題目中涉及 中點(diǎn)時，利用中位線的性質(zhì)，利用 平行四邊形的對邊 平行；線段成比例，兩直線平行；找線線平行。（1）公理4 :平行于同一直線的兩直線互相平行；即a/CL a/bb/cj（2 ）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；即a/a au P >= a/b a n P =bj（3 ）面面平行的性質(zhì) 定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行;a/P 1 即 aR Y =a >= a/b卯 bJ（4 ）線面垂直的性質(zhì) 定理:b4 a如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。即兩直線

6、垂直的判定：隱含的線線垂直關(guān)系：等腰三角形底邊上的高（中線或角平分線）對的圓周角；菱形的對角線；直角三角形（或給出線段的長度滿足勾股定理）;矩形的內(nèi)角；直徑所（1）異面直線成角定義即 a/b, b丄c= a de（2）轉(zhuǎn)化為證線面垂直，用線面垂直定義即已丄"1 = 3丄匕；bca I（3）三垂線定理及逆定理。定理：在平面P內(nèi)的一條直線a，如果它和這個平面 P的一條斜線PB的射影AB垂直, 那么它也和這條斜線 PB垂直。PA 丄 P 1a U P >= a丄PB （簡稱線射 丄，線斜丄）a 丄 AB J逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜第

7、15頁，共15頁線在平面內(nèi)的射影垂直。(簡稱線斜 丄，線射丄)。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。兩異面直線及所成的角：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫做異面直線,(1)異面直線所成的角的定義： 已知異面直線a, b,過空間任一點(diǎn) 0分別引兩異面直線的 平行線a' / a, b' / b，則此兩相交直線 a'與b所成的銳角(或直角)叫做兩異面直線所成的 角，其范圍為0亡(0, -1cos (AB,CDyI 2(2)設(shè)直線AB與CD所成的角為9 (0, <0 <90 )，則cos日=B1.【2015高考新課標(biāo)1,理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，

8、NAB= 120，E，F(xiàn) 是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE丄平面ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE =2DF，AE 丄 EC。(1) 證明：平面 AEC丄平面AFC(2) 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 1.連接 BD，設(shè) BDplAC =G,連接 EG, FG, EF , 在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由NABC =120,可得AG=GC=J3. 由 BE 丄平面 ABCD , AB = BC 可知，AE = EC , 又'；AE 丄 EC,. EG =73, EG 丄 AC.在RtiEBG中，可得BE2=罷,故DF =.在RtiFDG中，可得FG2在直角梯形BDFE中，

9、由2 2 2從而 EG +FG - EF , EGU平面AEC，平面AFC丄平面(n)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BD = 2, BE = 72, DF =亞,可得 EF2 EG 丄 FG，/ ACFG =G，一 一 -口EC.6 分GB,GC的方向?yàn)閤軸，32-2EG丄平面AFC，y軸正方向，|GB|為單位 長度，建立空間直角坐標(biāo)系 G -xyz，由(I)可得A(0,-J3,0 ), E(1,0,), F j 1,0,空2丿C (0,73,0 ), AE=(1,73,72), CF =-1,|AE|CF| 3 .所以直線AE與CF所成的角的余弦值為 d.3故cos<AE,CF >

10、=2異面直線所成角：范圍：（0：90° ;計算方法：求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn) 化為共面問題來解決。具體步驟如下：e ；就是異面直線所成角；，求出所構(gòu)造角0的度數(shù)。 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂 點(diǎn)選擇在特殊的位置上，構(gòu)造平面角 證明這個角0 （或其補(bǔ)角） 解三角形（常用余弦定理）直線在平面內(nèi)，平行、相交直線a與平面a平行都叫作直線在平面外。任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。3、直線與平面的位置關(guān)系： 其中直線a與平面a相交、 直線在平面內(nèi)即 aua ； 直線與平面相交。 其中，如果

11、一條直線和平面內(nèi)注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線;直線與平面平行即 a/a。4、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：直線與平面平行的判定：（二種方法，不包括空間向量的方法） 判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平a/b面平行即bua >= a/Ga<xa面面平行的定義：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。a /P即 c 二 a/aAGF 圖4Cac Pj2、（ 2013廣東卷文18）（本小題滿分13分） 如圖4,在邊長為1的等邊三角形 ABC中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，AD =AE， F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G

12、， 將心ABF沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐A-BCF，其中BC =鼻.2（1）證明：DE/平面BCF ;AD AE2.證明：；AAE,AAC-,折起后仍成立/. DE / BC,又 DE 平面 BCF ,二 DE / 平面 BCF直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。a / /a 1au P >= a/b a n P =bj5、直線和平面垂直的判定和性質(zhì) 直線和平面垂直的判定：（三種方法） 如果一條直線和一個平面內(nèi)的 兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。即a 丄b, bcota 丄c, cua、= a

13、 丄ab n c = A J兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。即b丄叫alaa/bjb疔a面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線a丄P垂直于另一個平面。即aPl P =bau Pa丄b3、（ 2011a廣東卷理18）（本小題滿分13分）如圖，在錐體P- ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且NDAB =60，AD中點(diǎn)為H ,PA =PD =J2， PB=2，E,F 分別是 BC , PC 的中點(diǎn).P證明：AD丄平面DEF ;CZDAB3.證明：法一：PA = PD, AD中點(diǎn)為H,二PH丄AD ABCD是邊長為1的菱形，二A

14、D =AB, 又DAB =60°,ABD為等邊三角形， 又H為AD的中點(diǎn)，二AD丄HB, HbCIpH =H /. AD 丄平面 PHB。又E,F分別是BC,BC的中點(diǎn)A EF /PB,又EF學(xué)平面PHB , PB匚平面PHB 二 EF /平面 PHB,','DH / BE且DH =BE.四邊形 HDEB是平行四邊形，=BH /DEDE學(xué)平面PHB DE / /平面PHB,又 DE,EF 匚平面 DEF ,DE REF =E, 二平面 DEF /平面 PHB, 7 AD丄平面PHB ,二AD丄平面DEF .C法二：TPA = PD, AD 中點(diǎn)為 H, .PH 丄 A

15、DT ABCD是邊長為1的菱形，二AD=AB,又乙DAB =6O0iABD為等邊三角形， 又H為AD的中點(diǎn)，二AD丄HB, HBPH =H /. AD 丄平面 PHB。故AD丄PB，又E,F分別是BC,BC的中點(diǎn)，二EF /PB，PA'-D','DH / BE且DH =BE.四邊形 HDEB是平行四邊形，=BH /DE 又AD 丄 HB,得 AD 丄 DE； DE 門 EF =E,AD 丄平面 DEF .4、（2012年廣東理18）（本小題滿分13分）如圖所示，在四棱錐 P- ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC 上, PC丄平面BDE。

16、證明：BD丄平面PAC ；:PA丄平面 ABCD,二 PA 丄 BD '4.證明：；PC丄平面BDE ,二PC丄BD >= BD丄平面PAC paPI pc = P5、（ 2012廣東卷文18）（本小題滿分13分）點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF如圖所示，在四棱錐 P-ABCD中，AB丄平面PAD，AB/CD,PD = AD，E是PB中 1=AB，PH為APAD中AD邊上的高。2證明:證明:PH丄平面ABCD ;EF丄平面PAB .5.證明:PH u 面 PAD = PH 丄 ABAB丄平面PAD ,又 PH 丄 AD, AD n AB = A= PH 丄面 ABCD取PA的中點(diǎn)為G，

17、連接DG,EG , PD=AD= DG丄PAF 又AB丄平面PAD =面PAD丄面PAB，它們的交線為 PA， AB二 DG 丄面 PAB，點(diǎn)E,G是棱PB,PA的中點(diǎn)1 1二 EG/-AB,又DF/-AB，EG/DF=2=2=PC故有四邊形 GEFD為平行四邊形，DG / EF 又DG丄面PAB ,故有EF丄平面PAB6、（2013廣東卷理18）（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，NA=90°, BC=6, D,E分別是AC, AB上的點(diǎn)，CD = BE = J5, O為BC的中點(diǎn).將 MDE沿DE折起，得到如圖A'-BCDE ,其中 AO =73.（I

18、）證明：AO丄平面BCDE ;OA6. 證明：在圖 1 中，得 OC =3,AC =3“, AD = AC Cd =2j2連結(jié)OD,OE ,在AOCD中，由余弦定理可得2所示的四棱錐BOD = Joe2 +CD2 -2OC CDcos45° =品由翻折不變性可知 A D = 2 J2 （折起前為AD ）在 mod 中，AO2 +OD2 =8 =AD2,所以 A'O 丄 OD , 同理可證 AO 丄OE,又ODplOE =O, OD, OE u 平面 BCDE , 所以AO丄平面BCDE .直線和平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直

19、。 如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。即6直線和平面所成的角9 :一條直線PB和一個平面a相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線， 斜線和平面的交點(diǎn) B叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和斜足B的直線 BO叫做斜線在這個平面上的射影。定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成 的角。直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況:范圍：日q0190" 直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是這條直線和它在平面上的射影所成的 直線和平面垂直時，直線和平面所成的角為90 ； 直線和平面平行或直線在平面內(nèi)時，直線和平面

20、所成的角為銳角；由此可知，直線和平面所成角的范圍為0，-1；L 2求法：作出直線在平面上的射影；斜線與平面所成的角的 特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。I向量求法：設(shè)直線 AB與平面a所成的角為0,平面a的法向量為n,則sin 0 =cos(AB, n) = SB ”nJ''|AB| n|7.( 2013年全國課標(biāo)1理數(shù)18)(本小題滿分12分) C如圖，三棱柱ABC - ARG中，CA = CB，AB =從，NBAA =60、(1) 證明AB丄AC;(n)若平面 ABC 丄平面 AA1B1B，AB=CB， a求直線AQ 與平面BB1GC所成角的正弦值。7.【答案】(

21、1)取AB的中點(diǎn)0,連接0C、OA1、AB，因?yàn)镃A = CB，所以0C丄AB， 由于AB = AA，NBAA =60，故AAB為等邊三角形，所以O(shè)R丄AB，又OC (Oa O 所以AB丄平面OA,C，因?yàn)锳C U平面OAC，所以AB丄AC ；(2) 由(1 )知GC JA3 ,OA,丄AB，又平面ABC丄平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C丄Tr平面AA1B1B，故OA, OA1, OC兩兩相互垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的正方向，OA為單 位長，建立如圖直角坐標(biāo)系 O -xyz，則A(1,0,0)，A(0,屈0)，B(-1,0,0)，C(0,0)C則 BC =(1,0滴，BB1 = AA

22、 = (T, 75,0)AC =(0, J,兩，設(shè) y, z)為平面ClBiAoA為單則故cosBB1C1C的法向量，!x+73z=0耳 廠； 廠 ，可取 n =(J3,1,-1)，I-x+ V3y =0 AC幀5 ,n AQzBlA 亠-所以直線AC與平面BB1C1C所成角的正弦值 如.5在求解斜線和平面所成角的過程中，確定點(diǎn)在直線上或平面上的射影的位置是一個既基 本又重要的問題，確定點(diǎn)在平面上的射影位置有以下幾種方法： 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線的射影上. 利用已知垂直關(guān)系得線面垂直，確定射影. 利用面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，確定射影.經(jīng)過一個角的頂點(diǎn)作這個角所在平面的斜線，如果

23、斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么 斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線.求直線與平面所成角的一般過程是通過射影轉(zhuǎn)化法，作出直線與平面所成角，在三角形中求角的大小7、平面與平面的位置關(guān)系：有一條公共直線。（1）平行-沒有公共點(diǎn)；（2）相交8、兩個平面平行的判定和性質(zhì)：兩個平面平行的判定：（二種方法，不包括空間向量的方法）如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。即a U P, a / /abu P, b/a > = ot/P anb=A J如果兩個平面 都垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行即a丄;Ia丄P J兩個平面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相

24、交，那么它們的交線平眞兩個平面 垂直的判定：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個Z1ot/ / P 行。a Ry = a >= a/bafUbJ平面互相垂la 丄 ac直。tacP "丄卩90 ）。也可用向量法證兩平面為直二面角（即二面角的平面角為9、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這 兩個半平面叫做二面角的面。在二面角a 丨-P的棱I上任取一點(diǎn)0，以點(diǎn)0為垂足，在 半平面a和P內(nèi)分別作垂直于棱I的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的N AOB叫做二 面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角來度量，二面角的平面角

25、是多少度，就 說這個二面角是多少度。角的兩邊與棱都垂直。平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；二面角的范圍：0,兀； 作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；oyIA/I O向量法：設(shè)平面a與平面P所成的角為9，且：丄a,n2丄P，則cos£ =cos( n1,n2)O& （ 2011廣東卷理18）（本小題

26、滿分13分） 如圖，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且NDAB =60，AD中點(diǎn)為H ,PA=PD=J2， PB=2，E,F 分別是 BC , PC 的中點(diǎn).求二面角P- ADB的余弦值.8.解：TPA = PD, ad 中點(diǎn)為 H, .PH 丄 ADT ABCD是邊長為1的菱形，AD=AB,又NDAB =6OoFABD為等邊三角形,C又H為AD的中點(diǎn)，二AD丄HB,且PH U面PAD, BH匸面BAD,NPHB就是二面角P-AD-B的平面角，PH 冷廚一（1）2=fCBH R®60亠豐二 co2PHB=PH FA -PB2PH BH7+34-344=二2捏晅姮2 2

27、 2即二面角P-AD-B的余弦值為7PAlD9、（ 2012年廣東理18）（本小題滿分13分）如圖所示，在四棱錐 P- ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD，點(diǎn) E在線段 PC 上, PC 丄平面 BDE。證明：BD丄平面PAC ；若PA=1，AD =2，求二面角BP C-A的正切值；PA 丄平面ABCD, PA 丄 BD '9.；PC丄平面BDE,二PC丄BD >= BD丄平面PACpaPI pc =P；BD丄平面PAC,設(shè)AC與BD交點(diǎn)為0,連0E。/. BD丄AC;又ABCD為矩形，故四邊形 ABCD為正方形。PC丄平 BDE >= PC丄be, P C

28、丄EOt.NBEO為二面角B-P C-A的平面角 BE, EOu 平面BDE JBD丄平面PAC即B0丄平面PAC0EU 平面 PAC j二B0丄0E,故ABE0為直角三角形。在 Rt也PAC 中，AC =22, 0C =72，P A = 1, P C=JpaNAC=3又 0E 丄 PC , i0EC U iPAC =PA OE 1“72= = OE =OC P C 72330E又 B0 =血，/. tanNBEO =0E二面角B-PC - A的平面角的正切值為 310、（ 2013廣東卷理18）（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，NA=90°, BC=6, D,E

29、分別是 AC, AB上的點(diǎn)，CD = BE = J2, O為BC的中點(diǎn).將也ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐 A'-BCDE ,其中 AO =73.（I ）證明：AO丄平面BCDE ;（n ）求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.B10.（ I ）證明：在圖 1 中，得 OC =3, AC =3j2, AD =AC -CD =2j2連結(jié)OD,OE ,在AOCD中，由余弦定理可得OD = Joc2 +CD2 -2OC CDcos45。=亦由翻折不變性可知 A D = 2（折起前為ad ）在 mod 中，AO2 +OD2 =8 =AD2,所以 A'O 丄 OD ,

30、同理可證 AO丄OE,又ODOE =O, OD, OE u平面BCDE , 所以AO丄平面BCDE .（n ）傳統(tǒng)法：過O作OH丄CD交cd的延長線于H ,連結(jié)AH ,因?yàn)锳O丄平面BCDE ,所以AH丄cd,所以NAHO為二面角A'CD-B的平面角.,從而 AH =JOH 2+OA =姮一 27155結(jié)合圖1可知，H為AC中點(diǎn)，故OH =2所以cosNA'HO =如二彳5 ,所以二面角AH 5向量法：以0點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系則 A'(0,0, 73 ), C(0, 3,0 ), D (1, -2,0 )所以 CA'=（0,3,亦），DA'=（1

31、2/3）設(shè)n =（x, y, z ）為平面A'CD的法向量，則 ftinA'-CD -B的平面角的余弦值為O - xyz如圖所示，CBDx/向量法圖ECA=0,即片+娛弓,解得！y DA，=0-x+2y+V3z=0I）知，oa' =（0,0, J3）為平面cdb的一個法向量，=-x呻廠,令 1 ,得 n = (1,1,5/3 )Iz = v3x所以 cos(n, OA')=耳鈴_ n oa7155 '11.【2016高考新課標(biāo)1理數(shù)18】（本題滿分為12分） 如圖，在以 A, B , C , D , E , F為頂點(diǎn)的五面體中, 面 ABEF 為正方形，

32、AF =2FD , ZAFD =90*, 且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60 .即二面角A'-CD - B的平面角的余弦值為BA第12頁，共15頁二(1)證明：平面ABEF丄平面EFDC ; 求二面角E - BC - A的余弦值.11、【解析】(1)證明：由ABEF為正方形，有 AF丄FE，由N AFD =90有AF丄FD ,又FEIFD =F AF丄面EFDC ,又；AFu面ABFE所以平面ABE F丄平面EFDC占)解：過D作DG丄EF，垂足為G，由(I )知DG丄平面ABEF，以G為坐標(biāo)原點(diǎn), GF為x軸正方向，由(1)知，GF為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系Z DFE

33、為二面角D - AF - E的平面角,G-xyz (如圖所示)，故 ZDFE =60，貝U |DF| =2，D(0,0j3 )，DG| =73，得 A(1,4,o )，B(3,4,0 )，E(3,0,0 )，由 AB / EF，所以 AB / 平面 EFDC。又平面 ABCDR 平面 EFDC = CD，故 AB / CD，從而有CD / EF，故四邊形EFDC為梯形。由BE / AF，可得BE丄平面EFDC，所以ZCEF為二面角C -BE -F的平面角，故/CEF =60°，四邊形EFDC為等腰梯形。從而可得C(-2,0,)所以 EC =(1,0, 73), EB =(0,4,0 )，AC =設(shè)n=(x,y,z J是平面BCE的法向量，貝U；EC "(x,y,z) '(1,0,d=x+ 辰=0，令 x =3，則 y =0,z = 73，n =(3,0,- n EB =(x, y, z) (0,4,0) =4y =0-4嚴(yán) T*4設(shè)m是平面ABCD的法向量，則AC =0，同理可取m =(0, J3, 4 )，m