圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型

1、2021屆高三第一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式,化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān) 系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法,是設(shè)出直線方程, 通過(guò)韋達(dá)定理和條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可.技巧在于：設(shè)哪一條直線？那么解題必然會(huì)事半功倍.下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見(jiàn)的幾種如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質(zhì),這些性質(zhì)往往成為出題老師的參 考.如果大家能夠熟識(shí)這些常見(jiàn)的結(jié)論, 定點(diǎn)模型：模型一：“手電筒模型2X4不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)

2、橢圓y設(shè) A(X1, y),B(x2, y2),由八 2 3x64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 2例題、07山東橢圓C:解:2七 1假設(shè)直線l: y kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)A, B3C的右頂點(diǎn).求證：直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).kx4y20 , 3m ,口得(312224k m4k2 )x2 8mkX 4(m2 3) 0,Xi8mk4(m 3)一2, X1 X2 廠4k23 4k2X2yi2 y2 (kx m) (kx2 m) k xx2 mk(x1 x2)Q以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),且 kAD3(m2 4k2)3 4k21 ,yy2x1 2 x

3、2一 1, yiy2X1X222(Xi X2) 40,3(m匹,且滿(mǎn)足3 4k272,0,與矛盾；7,04k2)4(m23)34k23 4k2整理得:7m216mk4k2當(dāng)m2k時(shí),i：yk(x當(dāng)m2k 一時(shí),i：yk(x2,直線過(guò)定點(diǎn)|,直線過(guò)定點(diǎn)16mk3 4k20,解得：m4 0,2k,m2i過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為2,0.7方法總結(jié)：此題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)y-a2 b2沮f .參考百度文庫(kù)文章：“圓錐曲線的弦 a b綜上可知,直線P做相互垂直的直線交圓錐曲線于 AB,那么AB必過(guò)定點(diǎn)一/a b只要任意一個(gè)限定 AP與BP條件如kAP？kBP 定.參考對(duì)定點(diǎn)

4、張直角的一組性質(zhì)模型拓展：此題還可以拓展為 “手電筒模型：值,kAP kBP 定值,直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)由于三條直線形似手電筒,固名曰手電筒模型優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)此模型解題步驟：Step1:設(shè)AB直線y kx m ,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系,求出參數(shù)范圍；Step2:由AP與BP關(guān)系如kAP ？kBP1,得一次函數(shù)k f m或者m fk；Step3:將 k f m或者 m fk代入 y kx m,得 y kx x 定y定.遷移練習(xí)2練習(xí)1:過(guò)拋物線 M: y2px上一點(diǎn)P 1,2作傾斜角互補(bǔ)的直線 PA與PB,交M于A、B兩點(diǎn),求證：直線 AB過(guò)定點(diǎn).注：此題結(jié)論也適用于拋

5、物線與雙曲線練習(xí)2:過(guò)拋物線 典例題,多種解法)練習(xí)3:M:2y2 4x的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、OB,求證：直線AB過(guò)定點(diǎn).(經(jīng)過(guò)2x21上的點(diǎn)作動(dòng)弦 AB、AC且kAB？kAC 3,證實(shí)BC恒過(guò)定點(diǎn).(此題參考答案:11(,-)55練習(xí):4 :設(shè)A、B是軌跡C : y2 px( P 0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn),直線 OA和OB的傾斜角分別為 和一時(shí),證實(shí)直線 AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).42p,2 p )X2,y2,由題意得Xi,X20 ,又直線OA,OB的傾斜角滿(mǎn)足AB的斜率存在,否那么,OA,OB直線的傾斜角之和為.從而設(shè)AB方程為顯然X1將y kx b與2業(yè)x, x2

6、2p2 y由韋達(dá)定理知y12半,2p2 px( P 0)聯(lián)立消去 x,得 ky2 2py 2pb 02p2pby2 黃,山y(tǒng)2 十 kktan tan _2p(y y2)2*y 4p1 = tan tan( )=41 tan tan將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：2b此時(shí),直線AB的方程可表示為y所以直線 AB恒過(guò)定點(diǎn)2p,2p .練習(xí)5: (2021年高考陜西卷(理)(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡 C的方程；1 ,所以b 2p 2pkkx 2p 2 pk 即 k(x動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(4,0),2p) y 2p且在y軸上截得的弦 MN的長(zhǎng)為8.(n )點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩

7、點(diǎn)平分線,證實(shí)直線l過(guò)定點(diǎn).【答案】解:(I ) A(4,0),設(shè)圓心CP, Q假設(shè)x軸是PBQ的角(x, y), MN線段的中點(diǎn)為E,由幾何圖像知MEMN 2,CA CM222_ 22 ME2 EC222222(x 4) y 4 x y &(n )點(diǎn) B(-1,0),設(shè)P(x,yJQg, y？),由題知 yy ,c 2 c20,y18x,y28x2.x1 1x21y12 82y288(y1V2)方程為：y y1y2xx)yy1(8xx2y2 yy(y2y)y(y2y)8x2yy(y2y)yM82y貝)08V1V20直線PQ8xy 0,x所以,直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1,0)練習(xí)6:點(diǎn)B 1,0 ,C

8、 1,0 ,P是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足(1) 求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；(2) 點(diǎn)A(m,2)在曲線C上,過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE ,且AD AE ,線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證實(shí)你的結(jié)論.uur| PCuuir| |BC|uuu uuuPB CB判斷：直【解】(1)設(shè) p(x,y)代入 lECl I BC I PB CB得 J(x 1)21 x,化簡(jiǎn)得 y2 4x-( 5 分)將A(m,2)代入y2 4x得m 1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)直線DE的方程為x my t代入y24x,得y2 4mt 4t 0,設(shè)D(x, y1), E(x2, y2)Uy1 y2 4m, y1 y24t,( 4m

9、)2 16t 0(*)AD AE (x1222Il也地4 4*4(y y2)2 (y16,、2(4t)16即 t2 6tt 2m1)(x22y2)241)y2 2( y2y1 y22.(4m)2( 4t) ( 4t)2) x1 x2 (x1 x2) 1V1 y2 2(y1 y2) 4y2)2(4m)2( y1y2) 5429 4m 8m 4即(t5或t 2m 1,代入(*)式檢驗(yàn)均滿(mǎn)足5 0化簡(jiǎn)得t2_、22_3)4(m 1) t 306t25 4m 8m2(m 1)直線DE的方程為x m(y 2) 5或x m(y 2) 1直線DE過(guò)定點(diǎn)(5, 2).(定點(diǎn)(1,2)不滿(mǎn)足題意)練習(xí)7：點(diǎn)A

10、(- 1, 0), B (1, 1)和拋物線.C : y2 4x, o為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn) A的動(dòng)直線l 交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.UUULT UUU(I)證實(shí)：OM OP為定值;(ii)假設(shè) pom的面積為-,求向量OM與Op的夾角;第22題2(m)證實(shí)直線 PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).22解：(I)設(shè)點(diǎn)M (YyOP(也,y2), P、M、A三點(diǎn)共線,kAMkDM,即-y1y1y2222_Vl1四4y244即V1yy244,y1yy222OMOPy1y2y y25.4444(II)設(shè)Z POM= a,貝U | OM | |OP| cos 5.-5S ROM , | OM |

11、 | OP | Sin5.由此可得 tana =1.2又(0, ),45,故向量OM與OP的火角為45 .2,-y3(m)設(shè)點(diǎn) or3 M),4M、B、Q三點(diǎn)共線,kBQkQM ,即當(dāng)42,即與工% 1 五坦y34V】y3444(y3 1)(y v3y2 4,即v1V3 V1V34 0.L L L L 11 分444yy24,即 y,y3y34 0,y2y2y2即 4( y2kpQy3) y* 4 .(*)4y2y322y2史44y2y3直線PQ的方程是yV2(x即(y V沁2 y3) 4x由(*)式,y2y3 4(y2由此可知直線 PQ過(guò)定點(diǎn)E(1, -4).模型二： 切點(diǎn)弦,叵過(guò)定點(diǎn)2平)

12、y3)住34x.V2V32 Iy2,即 y(y2y3) 4,代入上式,得(y 4)(y2 y3) 4(x1).結(jié)論:例題：有如下結(jié)論：圓x1 22yy2r2上一點(diǎn)P(xo, yo)處的切線方程為xoyyoyx2橢圓與a1(a b 0)上一點(diǎn)P(xo, yo)處的切線方程為xxayoy2.r ,類(lèi)比也有,過(guò)橢圓 C :1的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)為A、B.求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為.4 3【解】(1)設(shè)M( + ,t)(t3, ,點(diǎn) M 在 MA 上. . x 31時(shí),求 ABM的面積.X1XR), A(x1 y1), B(x2, y2),那么 MA 的方程

13、為4ty11 同理可得x2 ty213yy由知AB的方程為 x ty 1,即x 3(1 ty) 3易知右焦點(diǎn)F ( J3,.)滿(mǎn)足式,故 AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F ( J3,.)2(2)把AB的方程x 3(1y)代入y 1,化簡(jiǎn)得7y 6y436 28- | AB | .1 3 7167|？又M至ij AB的距離d 3.1 323316.321可以用方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程,百度文庫(kù)參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下,優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理,資料練習(xí)1 : ( 2021年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷) 拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F

14、0,c C 0到直線l: x y 2 0的距離為 以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y y x.2 2y.,wy .設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, PB,其中A,B 2為切點(diǎn).(I)求拋物線C的方程；(n )當(dāng)點(diǎn)P x0,y0為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(m)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求AF BF的最小值.【答案】(I)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2 以拋物線C的方程為x2 4y.4cy,由232 二結(jié)合c20,解得c 1 .所()拋物線C的方程為x2 4y ,即y -x2,求導(dǎo)得y - x 42225-X乂2設(shè)A由乂 , B x2,y2 (其中yi ,y2 ),

15、 44那么切線PA, PB的斜率分別為1 x1,1 x2,2222y2yi所以切線 PA : y y1 x x1 ,即 y x y1 ,即 x1x222同理可得切線PB的方程為x2x 2y 2y2 0由于切線PA, PB均過(guò)點(diǎn)P x0,y0所以 xix0 2y0 2yi0, rx. 2y2 y2所以x1, y1 , x2,y2為方程xx 2y.2y 0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x 2y 2y0 0.(m)由拋物線定義可知 AF % 1, BF y2 1,所以 AF BFy1 1 y2 12y.2y.聯(lián)立方程 I 2y 2y 0,消去x整理得y2 2y0 x.2 y x 4y所以 AF

16、BF yy2 y*.221 y. x 2y. 1又點(diǎn)P x0,y.在直線l上,所以x. y. 2,222219所以 y.x. 2y.1 2y. 2y. 5 2 y.221所以當(dāng)y.1時(shí),2AFBF取得最小值,且最小值為一2練習(xí)2： (2021年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖,拋物線C1:x2 4y,C2:x2 2py p 0 ,點(diǎn)M Xo,yo在 拋物線C2上,過(guò)M作Ci的切線,切點(diǎn)為A,B( M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O) X0 1 J2 ,切線MA.的 .1斜率為-_.2(I)求p的值；(11)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方. A,B重合丁 O寸,中點(diǎn)為O .【答案】MA的斛率為-：,折

17、VI A心坐機(jī)相(-lhA) .燮機(jī)|的有N為tI因加k M仔1催M(jìn)A i您再作c2匕於1 z 二 13 - MXi = (2 - v2) + = :* I44(1 ,p N g Fjy = = - .蕓由.1.以得口 =己fi:R】設(shè)網(wǎng)氣,),日(心,苧,xi * rz. |j pt段48中點(diǎn)熱?】+電* = -V 8 MA.( jyy = J(x-xIMT.If! vh ？g MA. ME 的 2,就可以了,通過(guò)所求的否那么就不存在.解：設(shè)M(x,y1), N(x2,y2),直線 AM的斜率為七竺2)消y整理得(1 4k12)x2x2 4y2 416k2x 16k； 4Q 2禾日xi是方程

18、的兩個(gè)根,2x,.一 216k14 那么 x11 4k2P的橫坐標(biāo)了,由直線 PA、M、N點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線ki,那么直線AiM的方程為22 8蚌2, y1 4蚌2即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 8k 4)1 4k12 1 4k12同理,設(shè)直線A2N的斜率為k2,那么得點(diǎn)Q ypk(t2),ypk2(t 2)k k22_ ,一,2 , Q直線MN的萬(wàn)程為k1k2t令 y=0,得xyyyyx x1&n的坐標(biāo)為(喧4,二1 4k2 1 4k2又 Qt 2,為火X1y2,將點(diǎn)M、yy2N的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)后得:4 一一,2Q橢圓的焦點(diǎn)為 t(.3,0)4.3NPA2的方程可以求MN的方程,將交y ki(x 2),

19、由故當(dāng)t心時(shí),3方法總結(jié)：此題由點(diǎn)A(-2,0)的橫坐標(biāo)一MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn).韋達(dá)定理,得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)： x-i2是方程8k2(122-4k1 )x 16k2x16k20的一個(gè)根,結(jié)合(1 4k2)x2 16k2x 16k2 4 0,得到4k1 4k122 , y1 4k12x2 遂W,即 x21 4k24k；8k2 2-tt,y21 4k2歡2)消y整理得4y 4華很快.不過(guò)如1 4k；果看到：將 2x 16k1 24中的k1用k2換下來(lái),1 4k28k2 24 匕(2 2, wM,如果在解題時(shí),能看到這一點(diǎn),xi前的系數(shù)2用一2換下來(lái),就得點(diǎn) N的坐標(biāo)1 4k2 1 4k2計(jì)算量將減少,

20、這樣真容易出錯(cuò),但這樣減少計(jì)算量.此題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線AiM上也在直線 AN上,進(jìn)而得到j(luò) z,由直 k1 k2 t線mn的方程y yix業(yè)得直線與x軸的交點(diǎn),即橫截距化簡(jiǎn)易得X方法如下：設(shè) Imn : x(4 m2)XiX2 X14 .4 3 龍解出t ,到此不要忘了考祭t3先猜想過(guò)定點(diǎn),設(shè)弦MN勺方程,得出A1M、A2N4,由t2:x2yi州2,將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入,yi y24 3 廿c竺三是否滿(mǎn)足t 2.3方程,進(jìn)而得出與T交點(diǎn)Q S,兩坐標(biāo)相減=0.my V3,聯(lián)立橢圓方程,整理:y2 23my 1 0;求出范圍；W 2);設(shè)M (x1, y, N (x2,y

21、2),得直線方程:Ia1m : yy(x 2),Ia2n : yxi 2假設(shè)分別于lT相較于Q、S：易得Q (t,一xi勺t 2),s(t,2)yQysyi xi2(t2)2)整理4myi y22(t- 3)( yiy2)( - 3t 4)(yi y2)(xi 2)(x2 2) k-4m2( 3t 4) (.3t 4)(yiy2)韋達(dá)定理代入(其坐標(biāo)與 m無(wú)關(guān))設(shè)xi=2 ,x2=* 求點(diǎn)T的坐標(biāo)3解析：?jiǎn)?與上題同.(xi 2)(x2 2) 4 m顯然,當(dāng)t 4皂時(shí),猜想成立.3方法總結(jié)：法2計(jì)算量相對(duì)較小,細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)的一個(gè)特例而已.因 此,法2采用這類(lèi)題

22、的通法求解,就不至于思路混亂了.相較法i,未知數(shù)更少,思路更明確.x2 v2練習(xí)i： (io江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,如圖,橢圓m+堂=i的左右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn) M(xi,yi), N(x2,y2),其中m0,yi0,y2,宜線BT的方程為 =？(/ -3).12-0從而/,=_40血.SO + mi點(diǎn)(%,*)滿(mǎn)足普余f那么由長(zhǎng)亍 程為i = H過(guò)點(diǎn)貝1. 0*為=*-3)IX* I翳小KF244) 3m* 3na咨fifl小 /tttfc-. - _M產(chǎn)岸及mL俾m - 2/HT此府直線V/V的方20 + m時(shí)20 + f

23、fi-2Qni由M 二 ； , , 1及小饑得為=-拿姻點(diǎn)IOjti假設(shè)冊(cè) f JU町前/i瓦直統(tǒng) 附 的斜率臨=二：十24.一3mHD + fh1-2Qm虹=rr7 =777得 臨=i 所以宜線 心過(guò)D點(diǎn)一3 m - 60 40 航2O + m2 因此.欺 JWV必過(guò)喜情上的點(diǎn)U.0),(1) 求橢圓E的方程：(2) 是否存在這樣直線 m ,使得點(diǎn)Q恒在直線m上移動(dòng)？假設(shè)存在,求出直線m方程,假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō) 明理由.解析：(1)設(shè)橢圓方程為2 mx 2my1(rn 0,n0),將A(4m2,0)、B(2,0)、1,C(1,|)代入橢圓E的方程,得2219解礙m -m -n 144(也可設(shè)標(biāo)

24、準(zhǔn)萬(wàn)程,知 a (2)可知：將直線l : y1,n - . 橢圓31 2類(lèi)似計(jì)分)k(x 1)E的方程x y4312代入橢圓E的方程y4設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)2-1并整理.得(3 4k2)x2由根系數(shù)的關(guān)系,得3M (xi, yi), Ng, y2),18k2x4(k2 3) 0直線AM的方程為：yc 巾 2 , X1X2 3 4k妃(x 2),即y x124(k2 3)3 4k2k(x 1)2(x 2)由直線AM的方程為:y2 y x2-(x 2),即 2由直線AM與直線BN的方程消去y ,得2(x1x2 3x1 x2) x1 3x2 4 28(k2 3)24k22x1x2 3(x1 x2)

25、(x 2)x2 24x2223 4k28k23 4k223 4k24 2x24x2x2) 2x2 424k2 63 4k24k2 6 23 4k2 42x故這樣的直線存在直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x 4上.模型四：動(dòng)圓過(guò)宇點(diǎn)問(wèn)顆動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題,也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角的新應(yīng)用.例題1.橢圓C: 工1(a b 0)的離心率為 ,并且直線y x b是拋物線y2 4x的一 . a2 b22條切線.(I)求橢圓的方程；,、1 (H)過(guò)點(diǎn)S(0,)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試I可：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得3以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) T？假設(shè)存在,求出點(diǎn) T的

26、坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2_4)x b 0解：由y2 x b消去y得：x2 (2by 4x因直線y x b與拋物線y2c 22.22Q e ,a b c , a 24x相切2,2a b2a2軸平行時(shí),以 AB為直徑的圓的方程:(2b 4)2 4b20 b 1y2 1.(II )當(dāng)L與xx2 (y3)2(4)2當(dāng)L與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程:(y13)1,4、2()3解得即兩圓相切于點(diǎn)(0, 1)因此,所求的點(diǎn) T如果存在,只能是(0, 1) .事實(shí)上,點(diǎn)L垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T (0, 1)就是所求的點(diǎn),證實(shí)如下.當(dāng)直線假設(shè)直線L不垂直于x軸,可設(shè)直線 L:y k

27、xT (0, 1)13y 由2xkx13消去y得:(18k2129)x12kx 16記點(diǎn) A(x1, y1)、B(x2,y2),那么x1x2xx212k218k9162 r18k9uirLur又由于TA (x 1),TB E* 1),ULT uir所以TA TB xx2 (y 1)(y21)x1x2 (kx12、 氣, 、16(1 k )x1 x2k(x1 x2)39 TALTB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,可以先取特殊值或者極值,44-)(kx2 -)33164 k 12k18k2 9 318k2 916八09T (0, 1),故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T (0, 1)滿(mǎn)

28、足條件.找出這個(gè)定點(diǎn),再證實(shí)用直徑所對(duì)圓周角為直角.(1 k2)2 x 例題2:如圖,橢圓C：-y ay2十日 2 人a八八八2 1(a b 0)的離心率是 ,A,A2分力U是橢圓C的左、右兩個(gè) b2頂點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn).點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn),且滿(mǎn)足1ADA2D2FDn(1) 求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線n,再作直線l : y kx m 與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) P,直線l交直線n于點(diǎn) Q.求證：以線段 PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn),并求出定 點(diǎn)的坐標(biāo).解：(1) A( a,0),氣佰,0), F(c,0),設(shè) D(x,0),由LADA2D又FD1,(c

29、(cc 1,1 a)(c 11 、2c)(c(2)方法 1： QQ(2, 2k2.2.x 2(kx m) 2由于16k2m2 4(2 k2而由韋達(dá)定理:ykx m2, x a1,1c 1J2、2,b設(shè) P(xo,y),(2k21)(2m4km21)x 4kmx22x022k 12k21 m ,mmx設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點(diǎn)2k1(x )(x 2) (y -)(y (2k mm稱(chēng)性知定點(diǎn)在x軸上,令y 0,取2x1 ,橢圓C : 一2D(2,0).ykxm22 xx2 y122(kx由12 m2 y2 m-.22) 0 2k2km 由(*)TT222k 1 mP(巫1)m m2 km02

30、k一,m2 k2m)2 11 (*),uuirM (x, y),由 MPm) 0x2y2uum MQm2)x1(2k m )y (1m2k、八 土-)0由對(duì)mx 1時(shí)滿(mǎn)足上式,故過(guò)定點(diǎn)K(1,0).法2 :此題又解：取極值,PQ與AD平行,易得與X軸相交于F (1,0 ).接下來(lái)用相似證實(shí)2yy 2;易得 D(0,)y.PFL FQ設(shè)PHFDPH1 xn y;HF 1 x;DQx ；df 1;yHF匹,固PHF相似于FDQ,易得 PFQ 90PHFD設(shè)P (xo,y),易得PQ切線方程為xox2 x 練習(xí)：(10廣州二模又)橢圓 C1 : T a2問(wèn)題得證.20)的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2: y4x的焦點(diǎn)重合,橢圓G與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P,IPF2I5 .圓C3的圓心T是拋物線C2上的動(dòng)點(diǎn),圓C3 3與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN | 4.(1) 求橢圓的方程；(2) 證實(shí)：無(wú)論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處2(1)解法1： .拋物線C2 : y.橢圓C1的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為,圓C3恒經(jīng)過(guò)橢圓Ci上一定點(diǎn).拋物線的定義可知PF24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F( 1,0),拋物線5,3x1 1, PF2(1,0), 點(diǎn) F2 的坐標(biāo)為(1,0).C2的準(zhǔn)線方程