圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)+例題+練習(xí)含答案整理

1、圓錐曲線一、橢圓：1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1,F2的距離的和等于常數(shù)大于| F1F2 | 的點(diǎn)的軌跡.其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),焦點(diǎn)問(wèn)的距離叫做焦距.注意：2a IF1F2I表示橢圓；2a |F21表示線段Fl F2 ； 2a 厄|沒(méi)有軌跡；2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)力程22Ti(a b0)a b22與：i(a b 0) a b圖形xiy)A2 oZfBiBi頂點(diǎn)A( a,0),A2(a,0) 昌(0, b),B2(0,b)Ai( b,0),A2(b,0)Bi(0, a),B2(0,a)對(duì)稱軸x軸,y軸；短軸為2b,長(zhǎng)軸

2、為2a焦點(diǎn)Fi( c,0), F2(c,0)Fi(0, c),F2(0,c)焦距|FiF2| 2c(c 0)c2 a2 b2離心率e c0 e i離心率越大,橢圓越扁a通徑竺-過(guò)焦點(diǎn)且垂直丁對(duì)稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段 a223.常用結(jié)論：1橢圓筆 戛ia b 0的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,過(guò)Fi的直線交橢圓丁 A, B兩 a b點(diǎn),貝U abf2的周長(zhǎng)= 222設(shè)橢圓與 & ia b 0左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi, F2,過(guò)Fi且垂直丁對(duì)稱軸的直線 a b交橢圓丁 p,q兩點(diǎn),貝U p,Q的坐標(biāo)分別是 |PQ | 、雙曲線:(1) 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi, F2的距離的差的絕對(duì)值

3、等于常數(shù)(小于 | F1F2 |) 的點(diǎn)的軌跡.其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)問(wèn)的距離叫做焦距.注意：|PFi| IPF2I 2a 與 | PF2 | | PFi | 2a (2a IRF2I)表示雙曲線的一支.2a | F1F2 |表示兩條射線；2a | F1F2 |沒(méi)有軌跡;(2) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程22xy _ - .一1(a 0,b 0) a b22yx% 1(a 0,b 0) abB", a),B2(0,a)頂點(diǎn)A1( a,0),A2(a,0)對(duì)稱軸x軸,y軸；虛軸為2b ,實(shí)軸為2aF1(c,0

4、),F2(c,0)F1 (0, c), F2(0,c)離心率漸近線|RF222c(c 0) c2.2a be '(e 1)abxa(離心率越大,開(kāi)口越大)2 b2a(3)雙曲線的漸近線：求雙曲線xl L的漸近線,可令其右邊的1為0,即彳 2, 2a b2 y b20 ,因式分解得到4 X 0.a b22與雙曲線 號(hào) 七 1共漸近線的雙曲線系方程是a2b222xy2.2ab(4)等軸雙曲線為x2 y2 t2,其離心率為V22一一2(4)常用結(jié)論：(1)雙曲線與 七1(a 0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F/勺直線交雙曲線 a2 b2'的同一支丁 A, B兩點(diǎn),貝U ABF2

5、的周長(zhǎng)= 2.2(2)設(shè)雙曲線與 i(a o,b 0)左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,過(guò)Fi且垂直丁對(duì)稱軸的 a2 b2'直線交雙曲線丁 P,Q兩點(diǎn),M P,Q的坐標(biāo)分別是 |PQ | 三、拋物線:(1)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.其中：定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),定直線叫做準(zhǔn)線(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)在x軸上, 焦點(diǎn)在y軸上, 焦點(diǎn)在y軸上,開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下262y 2 px2x 2 py2x 2 pyO(0,0)2y 2px標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)F(衛(wèi),0)2F( -,0)2F(0,衛(wèi))2離心率e

6、1準(zhǔn)線x衛(wèi)2x -p2y衛(wèi)y 2通徑2p焦半徑|PF | |x0 | p|PF | |y° | 焦點(diǎn)弦焦準(zhǔn)距p四、弦長(zhǎng)公式：|AB| 1 k2 |xi X2 | 1 k2 . xX224xiX2 .1 k2 | A|其中,A,分別是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,消去y后所得關(guān)丁 x的一元二次方程的判別式和x2的系數(shù) 求弦長(zhǎng)步驟：1求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；2聯(lián)立兩方程,消去y,得關(guān)丁 x的一元二次方程Ax2Bx C0,設(shè)Ax1,y,Bx2,y2,由韋達(dá)定理求出x1x2,Ax1x2 C; 3代入弦長(zhǎng)公式計(jì)算.A法二假設(shè)是聯(lián)立兩方程,消去x,得關(guān)丁 y的一元二次方程Ay2 By C 0

7、,那么相應(yīng)的弦長(zhǎng)公式是：|AB| J1；2|山 y21J：2而 y22 4yyJ1；2 VkVkVk | A|注意1上面用到了關(guān)系式|x1x2 |x224x1 x2就|y V2 .y y22 4yy2|A|注意2求與弦長(zhǎng)有關(guān)的三角形面積,往往先求弦長(zhǎng),再求這邊上的高點(diǎn)到直線的距離,但假設(shè)三角形被過(guò)頂點(diǎn)的一條線段分成兩個(gè)三角形,且線段的長(zhǎng)度為定值,求面積一 般用分割法五、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)的求法法一：1求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；2聯(lián)立兩方程,消去y,得關(guān)丁 x的一元二次方程Ax2 Bx C 0,設(shè)Ax1, y1 , Bx2,y2,由韋達(dá)定理求出x1 x2 ; 3A設(shè)中點(diǎn)Mxo,yo,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

8、得xo x1 2 x2 ；再把x x°代入直線方程求出y y°.法二：用點(diǎn)差法,設(shè) Ax1,y1, Bx2,y2,中點(diǎn)M x°, yo,由點(diǎn)在曲線上,線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,過(guò)A、B兩點(diǎn)斜率公式,列出5個(gè)方程,通過(guò)相減,代入等變形,求出x0,y0c六、求離心率的常用方法：法一,分別求出 a,c ,再代入公式法二、建立a,b,c滿足的關(guān)系,消去b,再化為關(guān)丁 e的方程,最后解方程求e 求e時(shí), 要注意橢圓離心率取值范圍是 0< e< 1,而雙曲線離心率取值范圍是e> 1例1:設(shè)點(diǎn)P是圓x2 y2 4上的任一點(diǎn),定點(diǎn) D的坐標(biāo)為(8, 0),假設(shè)點(diǎn)M滿足

9、uuuuuurnPM 2MD .當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn) M的軌跡萬(wàn)程.解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x, y , 得 x Xo,y y° 2 8 x, y 由于點(diǎn)P x0, y0在圓x2 y2點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0,即 xo 3x 16 , y°4上,所以x02 y.2uuuu uuuu,由 PM 2MD ,3y224 .即 3x 16 3y 4 ,2即x 16 y2 4,這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.39例2:橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為(-2, 0) , (2,0)且過(guò)點(diǎn)(5,-),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2222解法1由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 與 與1(a b 0), a b由橢圓的定

10、義可知:2a J(22)2( 202 也 2)2(:0)2 2行a 的0乂 c 2, b2 a2 c2 6所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為 110622l c解法2 Qc 2, b2a2 c2a2 4,所以可設(shè)所求的方程為 與 二1,將點(diǎn)(-,-)a a 42222代人解得：a .10所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為- 匕1106例3.艇園蓄4京=1上有-點(diǎn)孔它到例回時(shí)左編點(diǎn)E的需案為&求 的新稅JpL最解由嗎閱的定義.裾戶勺=2 口 =叫.所以| P%|E2.又 CX1S 匕 F PF.="+1吒-1 rr, r事-成一腮 11J 一 一- IPWIPF. |2x8x124aRf即5心審llVlT

11、24例 4._._ .94設(shè)崩(* > J ,必).AB 的中點(diǎn) M C xF y h y ="且 4a： +-=36I 4.v？= 3-6 2 -得中 y _?廿 _ 甘；Wy七處 J 0.y- -y2 收匚-m)y.-y2V .沏 x-1云“L又臨V - Jfi 兵以卜K即所求的方程為4(x-1)1 + 9/-1.高二圓錐曲線練習(xí)題11、Fl, F2是定點(diǎn),且|FiF2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MFi|+|MF2|=6,貝U M點(diǎn)的軌跡方程是A橢圓B 直線(C)圓 D 線段2、ABC的周長(zhǎng)是16,A 3,0 , B3,0,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是2(A)M22土1 (B) 252 y

12、162221(y 0) (C) -1 (D)工16 2516225 1(y0)3、橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍,那么橢圓的離心率等丁.33的兩個(gè)A.-34、設(shè)橢圓G的離心率為§ ,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.假設(shè)曲線C2上的點(diǎn)到橢圓Ci13焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等丁 8,那么曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為32 *1132 522 x_ 32422 x1322匕11225、設(shè)雙曲線a 0的漸近線方程為3x2y0,那么a的值為(A) 4(B) 3(C)(D)8的實(shí)軸長(zhǎng)是(A) 2(B) 2 2(C)(D) 4、22J12的焦點(diǎn)到漸近線的距離為27、雙曲線-428、以雙曲線91的右焦點(diǎn)為圓心,且與其

13、漸近線相切的圓的方程是A. x2 y2 10xC. X2 y2 10x 16 0D . X2 y2 10x 9 0229、過(guò)橢圓 與 七=1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓丁點(diǎn)P, F2為右焦點(diǎn),假設(shè) a bF1 PF2 60° ,那么橢圓的離心率為()A.巫B .如C.1D . 1232310. “ m n 0 是“方程 mx2 ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件11、寫(xiě)出滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸與短軸的和為18,焦距為6;.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(再0), £

14、3,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 , 1);.(3)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0) , (3,0),且短軸是長(zhǎng)軸的-;3離心率為業(yè),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 , 0);212、與橢圓 女 己 1有相同的焦點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2的橢圓方程是： 9413、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中央為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為2- 過(guò)2F1的直線l交C 丁 A,B兩點(diǎn),且 ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為：2214、Fb F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F1的直線交橢圓丁 A, B兩點(diǎn),假設(shè)259F2A F2B 12, WJ AB2215、R、F2是橢圓C:亳七a2 1( a b bULUT UUU0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P

15、為橢圓C上一點(diǎn),且PF1 PF2 ,假設(shè) PF1F2的面積是9,那么b16、求心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)P( 4 ,J3 ) , Q ( 2j2,3 )兩點(diǎn)的橢圓方圓錐曲線練習(xí)題221.拋物線y I0x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A . 5 B. 5 C. 15 D. 10222. 假設(shè)拋物線y2 8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為A. (7,何B. (14,何 C.(7, 2、間 D. ( 7, 2.,間22、"一 x y3. 以橢圓 1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為 2的雙曲線方程16922x yA . 221 B.匕122x yC. 22,、y x1或匕 1D.以上都不對(duì)1

16、6484.以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,927以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)圓16 4822x y 2x9276y 9 0的圓心的拋物線的方程是A. y 3x2 或 y 3x2 B. y 3x2C. y2 9x 或 y 3x2D. y 3x2 或 y2 9x5. 假設(shè)拋物線y2 x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為)B. (1, -2) C .(】W) D (】,技)844 48 4x y6. 橢圓 1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) Fi、F2的連線互相垂直, 那么 PFiF2的面積為49 24A . 20 B. 22 C. 28 D . 247. 假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,2 , F是拋物線y2 2x的焦點(diǎn)

17、,點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使 MF MA取得最小值的M的坐標(biāo)為()-1A. 0,0 B.-,1 C. 1,42 D. 2,228.與橢圓 L y21共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q2,1的雙曲線方程是42 x212 x212 x2 y_122匕1A.yB.yC.D.x243329.假設(shè)橢圓x2 my21的離心率為 ,那么它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為210.雙曲線的漸近線方程為 x 2y 0 ,焦距為10,這雙曲線的方程為 11 .拋物線y2 6x的準(zhǔn)線方程為12. 橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是0,2,那么k .13. 橢圓 1的離心率為 1,那么k的值為k 89214. 雙曲線8kx2 ky2 8的一個(gè)焦點(diǎn)為0,3,那么k的

18、值為.215. 假設(shè)直線x y 2與拋物線y 4x交于A、B兩點(diǎn),那么線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 16. k為何值時(shí),直線 y kx 2和曲線2x2 3y2 6有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？17 .在拋物線y 4x2上求一點(diǎn),使這點(diǎn)到直線 y 4x 5的距離最短.18.雙曲線與橢圓2 x272七 1有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 屈,4,求其方程.362 x9求 F1PF2的面積.19.設(shè)F1,F2是雙曲線2-1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn) P在雙曲線上,且F1 PF2 60°,16高二圓錐曲線練習(xí)題1、Fi, F2是定點(diǎn),且|FiF2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MFi|+|MF2|=6,那么M點(diǎn)的軌跡方程是

19、D A橢圓 B 直線 C 圓 D 線段2、ABC的周長(zhǎng)是16, A 3,0 , B3,0,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是B 22 2土 i (B)七匕1625 162221(y 0)嘰 & 1 (D)如2 y25i(y0)3、橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍,那么橢圓的離心率等丁 D 4、設(shè)橢圓G的離心率為§ ,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.假設(shè)曲線C2上的點(diǎn)到橢圓G的兩個(gè)13焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等丁8,那么曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為A 2 y_ 321322 y_ 52322y_42224匕1132 122225、設(shè)雙曲線亳七a291 a 0的漸近線方程為3x 2y(A) 46、雙曲線2x2

20、y2B 38的實(shí)軸長(zhǎng)是C (C) 2(D) 1(A) 2(B) 2 豆(C) 4(D)瑚27、雙曲線-42匕=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為12.2 C . 73D . 18、以雙曲線 或 己1的右焦點(diǎn)為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是 A 916A. x2 y2 10x 9 0B. x2 y2 10x 16 0C. x2 y2 10x 16 0D . x2 y2 10x 9 0229、過(guò)橢圓 %=1 a>b>0的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓丁點(diǎn)P, F2為右焦點(diǎn),假設(shè) a bFi PF2 600,那么橢圓的離心率為B _3310. “ m n 0是“方程mx215、F1、F2是橢圓C

21、: % % 1( a a b ny2 1 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件1,根據(jù)橢圓的定義,要使焦點(diǎn)在y軸上必須滿足解析：將方程mx2 ny2 1轉(zhuǎn)化為 二 y11m n1 . 110,0,所以上 ,nn m11、寫(xiě)出滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:E為 6;U 1 或25 162,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 , 1);6(3,0) , (3,0),且短軸是長(zhǎng)軸的220)； W y2 1 或 j %(1) 長(zhǎng)軸與短軸的和為18,焦I(2) 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(J3,0),以3,0)(3) 橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為離心率為亭,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 ,

22、2 2x y .1 ; .16252匕1.32221； 2L y2 1 或 匕 1；3 一 99812-1.212、與橢圓92七 1有相同的焦點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2的橢圓方程是:413、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,2橢圓C的中央為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為 .過(guò)2E的直線l交C 丁 A,B兩點(diǎn),且2 x ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為：(162214、F,F2為橢圓匕1的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F的直線交橢圓丁 A, B兩點(diǎn),假設(shè)2591F2A F2B 12,那么 AB _8_.UULUPF2 ,ULUTb 0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且PF1假設(shè) PFiF2的面積是9,那么b 316、求

23、心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)P( 4 ,J3 ) , Q ( 2龍,3 )兩點(diǎn)的橢圓方程.2解：設(shè)橢圓方程為與a2& 1,將P, Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,解得a2 20,b2 15b22故2021為所求.15圓錐曲線練習(xí)題21.拋物線y10x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 B A . 522.假設(shè)拋物線B.-14)3.以橢圓5C. 15 D. 1028x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為C2-14) D. ( 7,2、14)251622xy_164822xy_16481A .C .2 x 1或一2 x2y1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為x4. F1,F2是橢圓-9_ 7B.45.以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,

24、3x2 或 y2的雙曲線方程6.假設(shè)拋物線2匕1272匕127D.以上都不對(duì)1的兩個(gè)焦點(diǎn),D.以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)圓3x2A為橢圓上一點(diǎn),且ZAF1F245°,那么 AF1F2的面積為9x 或 y 3x2D. y7.522x 6y 90的圓心的拋物線的方程是3x23x2或y2 9xy2 x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為B 當(dāng)B. (8,手)C .擋)D .菩)2,x7.橢圓492匕 1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)24Fi、F2的連線互相垂直,那么 PFiF2的面積為(D )B. 22 C.28 D. 248.假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),2F是拋物線y2x的焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使 MF MA取得最小值的M的坐標(biāo)為0,0B.C.1, 一22 x 9.與橢圓一41共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的雙曲線方程是(2 x A .210 .假設(shè)橢圓x2my1的離心率為3,那么它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為21,或211.雙曲線的漸近線方程為 x 2y0,焦距為10,這雙曲線的方程為206x的準(zhǔn)線方程為.213.橢圓5xky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k一 x214.橢圓k 8匕 1的離心率為1 ,那么k的值為 4或 -92