精品資料（2021-2022年收藏的）報童模型

1、關于報童賣報的問題摘要報童模型在1956年首次被提出來以后，就成為學術界的關注焦點，有著大量的學者或經(jīng)濟領域的人士對它進行研究和分析，由于報童模型問題中涉及到很多不確定因素的影響，人們?yōu)榱搜芯亢痛_定這些因素在模型中的量化，通過很多不同的計算方法和理論方法來使這些非量化的因素最大化的量化表達，使之趨近于理性決策，但是又不是完全能夠明確和量化的，這些就是報童模型中的有限理性。報童模型中關于有限理性涉及到的問題與方法到如今已將發(fā)展到很多方面，在隨機因素方面首先就是不確定環(huán)境下的隨機需求，還有庫存管理，供應鏈協(xié)調(diào)等，在做有限理性決策的時候，人們盡量通過具體的推算方法來做出最優(yōu)化決策，雖然不是完全理性決

2、策，但是確實使利潤接近最大化的有限理性決策。本論文討論的是報童賣報問題,報童賣報問題實際上就是通過分析,找出幾種可能的方案,通過求解,找出一個最優(yōu)的方案來訂報,使得報童贏利取得最大期望值或報童損失的最小期望值的臨界值,也就是使報童獲得的利益最大。本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分別用連續(xù)的方法和離散的方法求解，最后得出結論。盡管報童贏利最大期望值和損失最小期望值是不相同的，但是確定最佳訂購量的條件是相同的。關鍵詞：報童模型、概率統(tǒng)計、概率分布建模、離散引言在報童模型中，有限理性決策主要面對的隨機性因素是需求和時間，報童模型是典型的單價段，隨機需求模型，主旨是尋找產(chǎn)品的最佳訂貨量

3、，來最大化期望收益或最小化期望損失。本文首先通過理論回顧解釋出什么是報童模型中的有限理性，然后羅列了部分在報童模型中有限理性問題上進行研究的部分文獻成果。再得出有報童模型有限理性的發(fā)展。一、問題重述報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份進購價為b,零售價為a,退回價為c,自然地假設a>b>c.也就是說,報童售出一份報紙賺a-b,退回一份賠b-c,。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，使得收入最大，那么報童每天要購進多少份報紙？二、模型分析如果每天購進的報紙?zhí)伲粔蛸u的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將要賠錢。因此，存在一個最優(yōu)的購進量，使得收益最大

4、。故應當根據(jù)需求來確定購進量。然而，每天的需求是隨機的，進而每天的收入也是隨機的。因此，優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期日平均收入，等于每天收入的期望。假定報童已通過自己的經(jīng)驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律，在他的銷售范圍內(nèi)每天報紙的需求量為r份的概率是： (=0,1,2,) 有了 和 ，就可以建立關于購進量的優(yōu)化模型。 三、模型假設和符號說明 （1）假設報紙每天的訂購價格和出售價格不變；（2）假設報紙的需求量不受天氣等其它自然環(huán)境的影響； (3）假設報童每天只能一次性從報社購進報紙；（4） 當天的報紙賣不出去，到第二天就沒有人再買，每份的報紙在當天什么時候賣出去是無關緊要的；（5） 假設該報童購

5、進報紙份數(shù)可以不受限制，以達到最大利潤為目的，報童除了從報社訂購報紙所需費用以外，其他費用一概不計； (6)“最大利潤”理解為報童平均每天利潤達到最大；（7） 符號說明:b -為每份報紙的訂購價；a -為每份報紙的零售價；c -為每份報紙的退回價；r -市場上每天報紙的需求量,且其分布律為f(r) (r=0,1,2).四、模型的建立設每天購進量為n份,因為需求量r是隨機的,所以r可以小于n,等于n,或大于n。所以報童每天的收入也是隨機的。那么，作為優(yōu)化模型的目標函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。這種

6、單周期購入售出（報紙、日歷、雜志，各種季節(jié)性貨物、時裝），并且超出該購入售出周期商品就會嚴重貶值的存貯問題，存貯論中統(tǒng)稱為賣報童問題。這類問題的庫存控制策略是以利潤期望最大為目標，確定一次購入的經(jīng)濟訂貨批量。 記報童每天購進n份報紙時的平均收入為G(n), 售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c。(1)如果這天需求量rn,則他售出r份,退回n-r份. 所以報童這天所得利益為(a-b)r，損失額為(b-c)(n-r);(2) 如果這天需求量r>n，則所進購報紙全部售出,即售出n份，所以報童這天所得利益為(a-b)r。即利益為(a-b)n。又需求量 r 的概率為 f (r ) ，于是得到：問

7、題歸結為在已知時,求n使G(n)最大,即所得n就為報童最優(yōu)的訂報份數(shù).五、模型的求解 通常需求量 r 和購進量 n 都相當大，所以可以將 r 視為連續(xù)變量,便于分析和計算.此時概率f (r ) 轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)p (r ), 則上式變成:對 G (n) 求倒數(shù)計算得到: 令，得到： 使報童日平均收入達到最大的購進量n應滿足上式.因為,所以上式可表示為: 根據(jù)需求量的概率密度函數(shù)p(r)的圖形可以確定購進量n.在下面的圖中用p1,p2別分表示曲線p(r)下的兩部分面積,則因為當購進n份報紙時是需求量不超過n的概率,即賣不完的概率;是需求量r超過n的概率,即賣完的概率。所以從上式可以看出,購進的

8、份數(shù)n是賣不完與賣完的概率之比,恰好等于賣出一份賺的錢a-b與退回一份賠的錢b-c之比. 顯然，當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的報紙份數(shù)就應該越大1、若每份報紙的購進價為 0.75 元，售出價為 1 元，退回價為 0.6 元，需求量服從均 值 500 份， 均方差 50 份的正態(tài)分布， 報童每天應購進多少份報紙才能使平均收入最高， 最高收入是多少？由題設得 a = 1, b = 0.75, c = 0.6 ， E (r ) = 500, （r）=50，不妨設報紙的需求量服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的密度函數(shù)為：因為解得：n516=117即報童獲得最大收入的進報量為 5

9、16 份，最大收入為 117 元.2、假設已經(jīng)得到 159 天報紙需求量的情況如下表：表 159 天報紙需求量的分布情況表中需求量在 100-119 的由 3 天，其余類推。根據(jù)這些數(shù)據(jù)。并假定 a=1，b=0.8，c=0.75，為報童提供最佳決策。求解過程：對上表中需求量取均值得到其分布如下：求出此樣本的均值及方差、標準差：E(r)=3/159*110+9/159*130+13/159*150+22/159*170+32/159*190+35/159*210+20/159*230+15/159*250+8/159*270+2/159*290=199.9320所以：a=1,b =0.8,c =

10、0.75 ， E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955令得到：n=232故G (n)= 37.2所以報童獲得最大收入的進報量為 232 份，最大收入為 37.2 元六、模型的結果分析、優(yōu)化和推廣當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應該越多。這個問題屬于隨機存儲模型，由于需求量是隨機變量，在知道其概率分布的前提下，構造利潤函數(shù)（它是隨機變量的函數(shù)）也是隨機變量，根據(jù)期望利潤最大，確定最佳定貨量或 最佳存儲量。這類問題又成為報童的訣竅或者隨機存儲策略。在科學的管理方法和手段在管理實踐中運用越來越多的今天，管理者同樣需要考慮，怎樣改進粗放的管理模

11、式，才能提高企業(yè)的管理水平，從而提高企業(yè)的效益。在管理實踐中，我們會發(fā)現(xiàn)，與報童問題類似的問題非常多，這樣我們就可以將報童問題的研究方法運用到實踐中，通過科學的調(diào)查、計算，把過去經(jīng)驗的管理方法，上升到科學的管理方法。 參考文獻：1.姜啟源、謝金星 數(shù)學模型（第三版） 高等教育出版社 2003.82. 謝云蓀等 數(shù)學實驗M 科學出版社 1999.83 周義倉等 數(shù)學建模實驗M 西安交通大學出版社 1999.10.附件:下面用 matlab 求解：1、（1）a=1;b=0.75;c=0.6;m=500;s=50;n=norminv(a-b)/(a-c),m,s)運行matlab得到結果：>&

12、gt; n = 515.9320（2）syms rpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(r-m)2/(2*s2);Gn=int(a-b)*x-(b-c)*(n-r)*pr,0,n)+int(a-b)*n*pr,n,inf);double(Gn)運行程序:>>ans = 117.41612、輸入程序：r=110 130 150 170 190 210 230 250 270 290;p=3/159 9/159 13/159 22/159 32/159 35/159 20/159 15/159 8/159 2/159;Er=sum(r.*p)得出結果：Er = 199.4340輸入：>> Dr=sum(r.2.*p)-Er.2 得到結果：Dr =1.4984e+003輸入：>> s=sqrt(Dr) 得到：s = 38.70955此時a=1,b =0.8,c =0.75 ，E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955求解如下：輸入：a=1;b=0.8;c=0.7