數(shù)值分析復習題1匯總

1、(x+1)x(x-1)第一章引論1、當用數(shù)值計算方法求解一個實際的物理運動過程時，一般要經(jīng)歷哪幾個階段？在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生？（ 12分）答：一般會有以下幾階段：實際問題-數(shù)學模型-數(shù)值方法-計算結(jié)果;建模過程中肯能會產(chǎn)生的誤差：模型誤差，觀測誤差；選用數(shù)值方法可能會產(chǎn)生的誤差: 截斷誤差；計算過程中可能會產(chǎn)生的誤差：舍入誤差和傳播誤差。Xi-101/21fi-3-1/201Xi-101/21fi-3/2001/2(1)第二章多項式插值1.利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項式（結(jié)果要簡化）解：方法一.由Lagrange 插值公式L3(X)= fo 10(X)+ fi

2、ha) + f2 l2(x) + f3 l3(X)畀）?（：-2）弋+1應七.可得：L3(x) =x 答(生MxZxfl1(x)=(x+1)(=2(x2 一1)(x4)，(x-1/2)I345fg 16543*巳知分別用拉格朗3插值法利牛頓插值法求八耳）的三次插值多項式巴（麗并求Oh的近似值（保0四位小數(shù)）;2(左對U 4)U-戈打 h(.T 1)0(< ,) 備裳：'_(-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)+、U = 1心-引(一5) + 斗(1)4 32-4)(4-IH4-3j4-5)(5-l)(5-3(5-4)一階均差二階均壟三階均基-121羞商表為32

3、45-J-154-1011/4片(羽=/V(.v) = 2 + 2( A 1) -(X l)Cv - 3) + - (jf -1 )(x-3)(a -4)4已知f（X）在Xj=0（1）4的函數(shù)值如下表Xj0 1234f(Xi)0 182764利用插值公式計算f （0.5）的值。（12 分）解：函數(shù)f（X）的差分表如下Xfi的以fi總fifi0011167628120/(2)=P,(2) = 5.55、19618273764X =0.5,貝y t = (0.5-0)/1 = 0.5, 由Newt on向前插值公式,可分別求得N1(x fo + 如t =0 + 1咒0.5 = 0.5 1!“的+牛

4、+晉林0.25也3 fN3(x) = N2(x) +寸 t(t -1)(t -2) = 0.1253!N4(X)譏(X)+乩t(t-1)(t-2)(3)=0.125+0 = 0.125 4!例3設(shè)yx)=eXi=l, 1.5, 2, 2.5,3,用三次插值多項式求A1.2）及A2.8）的近似值. 解相應的函數(shù)值及差分表如下:函數(shù)值一階差分二階差分三階差分四階差分LJ2.718281.76341«Pv"4.4816912.903471.143960.74210<7,289064.793431.88606EL223560,4814612.182493,1096220,08

5、5547.903055求A2J0用Ne押trni后插公式，且由2.43+03得Q-(K4/(28)島鴿(28)=20.08554 + 7,90305 x (-0.4)+ i(-0 4)x(-0,4 + l)Z *+1.22356(_0 4)X(_0 4 +1)(-0.4 + 2) 3!=15.7680872.函數(shù)值一階差分二階差分三階差分四階差分2.718284.481697,2890612,1824920,085541.763412.903474.793437.903051.143961.886063.109620.742101,223560,48146求/(1.2)用Nekton前插公式，

6、且由12=1+0占心得片041 14396/(L2)ftA；(L2) = Z71828+1.76341x0.4+ 04x(04-1)0,74210H3!2!04x(04-1X04-2)= 3.3338632.第四章、數(shù)值積分算法bf f(x)dx"abJa f (x)dx pb-a)f()bb aa +bf f (x)dx-"f(a)+4f(_b)+f(b) 'a6 2梯形公式和中矩形公式都具有一次代數(shù)精度，而辛普生公式具有三次代數(shù)精度。梯形公式:中矩形公式:辛普生公式:煜f(a)+f(b)定33聶于盤雞2需，切，則復化梯形公式有誤差估計J、bh Clmaxa<

7、;xJCvXv-7；|< .A -max I rev） |.2、復化辛甫生公式定理4設(shè)/（X）e r 4,切,則復化辛甫生公式有誤差估計fbh （1I /（X）厶 一 y 1< 應亦 ir - max I /（X）I3、復化柯特斯公式自適應復化求積法基本思路:在步長力逐次分半的過程中, 反復利用復化求積公式進行計算, 直到所求得的積分值滿足精度要求為止。此時的步長力， 既能保證精度要求又使計算工作量最小.自適應復化梯形法的具體計算過程如下:W < 1, h < b a，J £【/(")+ /()1；nT卩2 J°判斷可-7；|V£

8、?若是,則轉(zhuǎn)步5；n < 2nh <r- h! 2, £ 婦，轉(zhuǎn)步2；輸出7.4.給出a, b上的復化梯形求積公式及其自適應算法TM：復化欄形公式（"刃）7； = yI/(Xo)+ /(x,) + /(.r,)+ /g)】+ +【/(® J + /(幾)】 =£/(。)+ 2工 /(心)+ f(h)lh =221刃復化梯形公式自適應求積算法：步 12 n-a, r, y|/(«)+ /()判斷17-斤!<£ ?若是則轉(zhuǎn)步5;ZI < 2n,h < hl2、7 1T?、轉(zhuǎn)步 2；輸出兀.（注：復化辛甫生公式

9、：4.試給出a,b上復化辛普森求積公式,并描述其自適應算法.片農(nóng) TU /( Vg )+ 4 /( T)+ / ( A , )1 +【八心"W丄)十八 5)1 O22+ + 丨 / ( T 葉 1 ) + 4 八L ) + / ( A' )1/jHh h I-V)+ 4f(6_丄)+ 2工 7 (A-,) + /(b)bi = I2 I其屮 h = b 八X"l/2為S的申點tJ復化辛甫生公式自適應求積算法：教材i倫頁）復化辛普生公式自適應求積算法的具體步驟:hl b -a,SI1a+b16【f(a)+4f( 2 )+2】；n AZ 2kzOfa +(k +1) -

10、 fa +(k 十1)+ 2fa +(k + -)424+ h+ hS ；判斷S, S2 VS?，若是，轉(zhuǎn)步5；h2n,，Si 1 s2轉(zhuǎn)步 2；2S2；輸出三分（1）分別寫dj的梯形公式和辛普生公式.并說明它們具有幾次代數(shù)粘度."（2）求系數(shù)AM*及節(jié)點g也，使得下面求積公式至少員右2次代數(shù)精度：I-同/（場）+ AJg-11+x4、利用辛甫生求積公式計算積分：0 古dx，并估計其誤差。（10分）（注意與復化辛普生公式的區(qū)別） 解：由辛甫生求積公式，0£dx（1-O）f（O） + 4f（1）+f（1） =61+4 節(jié) 1 = g7.78333 = a r ct 中 7.7

11、854881、已知函數(shù)f(x)在a,b上的各離散點：a=XiCX2VX3V<X2nVX2nH4 =b處的函數(shù)值f (Xi), i =1,2,2 n+1.試構(gòu)造f(X)在a,b上的分段2次插值多項式.2. 已知函數(shù)f(X)在a,b上的各離散點：a = xo <xi <X2 < ex<Xn =b處的函數(shù)值 f(Xi), i =0,1,2,，n.1)構(gòu)造f(x)在a,b上的分段線性插值多項式.2)假定f(x)在a,b上有連續(xù)的2階導數(shù),試估計以上分段插值的誤差.2.設(shè) f (x) 且 h =1/10.=x2，求f(x)在區(qū)間0,1上的分段線性插值函數(shù)fh(x)，并估計誤

12、差，取等距節(jié)點,h=%of(X)=x2， Xi =ih ， i =0,1，,10設(shè)Xi < X < Xi十，則:fh(x) = f(Xi) ”x X" + f (Xi卅)X XiXi Xi 卅Xi 卅一Xihh(2i+1)x i(i+1)10 100誤差估計:|f(x)-fh(x)aXh第五章線性代數(shù)方程組的解法(高斯消去法、迭代法)1、用Gauss逐步消去法解方程組223X2=3Lt 3 0.LX3 .2 -解：消元:0 -2 1X2=3L0 -1 口X3212 1"(V10 -2 1X2=32第1步:第2步:0回代:=Xi =1, X2=-1, X3 =12

13、、利用Gauss順序消元法求解方程組：（要求寫出消元過程和回代過程 ）X + 2x2 + 6x3 = 9(10 分)2x1 - 5x2 + 2x3 = T 4X - X2 + 12x3 = 15解：消元過程:1269、'1269、1269、2-52-1T10-9-10-1910-9-10-19<4-11215丿1112-9-12 21111100-2-2>(1)X1 十 2X2-9x2 -10x3 = T9-2X3 = -2回代過程:由（1）得:X3 =1代入（2）均回代到（1）3、用Gauss順序消元法求解方程組：（要求寫出消元過程和回代過程）(10 分)I4xi-X2

14、+ 2X3X1 - X2 十 2X3 = -2一 2X1 + X2 - X3 = 2 .=-1解：消元過程:1-12一2）"1-12-2、1卩-12 -2、1-21-12T0-13-21T0-13 -2<4-12-b3-67丿衛(wèi)031丿X1(1)-X2 十 2X3 = -2-X2 + 3x3 = -23X3 = 1回代過程:由（1）得:x3代入（2）均回代到1)X -1X1 -X2 = 3,X31 1 0X2L23 2 -兇3，34、用列主元消去法解方程組0 2 1117 5'解：第1步:21L02X10 X203HLx3L5.0-i -1X2 =3L02 1LX3.5

15、.3第2步:2第3步:2L02 1站1TLX3.X205L3.320 2 1X2=5b 0 "ILX3.17第4步:回代:五、（12分）用列主元消去法解方程組r0 2 rtf51 1 0 jy|卜32 3 2zJ1 06、已知方程組1737二 Xi = 3，X216=3宀3- 5x1 十 X2 - X3 = -6 X + 5x2 - 2x3 = T -X- 2x2 + 4X3 = 3分別寫出求解方程組的 Jacobi迭代格式和 GaussSeidel迭代格式,并判別兩種迭代格式的收斂性.（12分）解：求解方程組的Jacobi迭代格式:r X（k+1 1x（k1x（k） + 6!X（k

16、+1） = _1X（k） + 2X（k） _1 X25X15 X35X（k+1） = 1x（k） +1x（k） + 3 x34 X12 X24求解方程組的Gauss-Seidel迭代格式:-5X25X3=_lX（kU 2X（k）5 X15X3=1X（k+1） + 1X（k+1）4 X12 x2X1窗）lx（k+1）lX3（k+1） = lx（k） _lx（k） + 65_ 15+ 34收斂性:由于A =-55-2 I是嚴格對角占優(yōu)矩陣11-24丿因而，求解方程組的Jacobi迭代格式 收斂。(*1)P(B2) >1 , Gauss-Seidel 迭代方法發(fā)散。Gauss Seidle 迭

17、代(P 203)試分別給出求解線性代數(shù)方程組AX = B的Jacobi迭代、解:將A -(ajj)分裂為A = D - L -U其中D =diag(aii,a22,ann)a 21001一 a n10一 a 120-a1nL0a n _J,n0Jacobi迭代方法若aii H 0，迭代格式x(E =Gj x(k)+ g_1其中Jacobi迭代矩陣:Gj = D (L + U )；(若該矩陣的特征值的絕對值的最大的值小于1就是收斂，反之發(fā)散g 二Db式可寫為分量形式Xi(r1aiibi aijxj, k>0.方法(*1)或稱為Jacobi迭代方法.Gauss Seidle迭代方法若aii

18、H 0，迭代格式x) =Gg eX+ g=0其中,1Gauss-Seidel迭代矩陣：Gg=（D-L） U （若該矩陣的特征值的絕對值的最大的值小于1就是收斂，反之發(fā)散）g =(D-L)Jb其分量形式1i Anbi -送 aj xj 刊-Z aij xj) ,i =1,2,，n .(*2)aiij4j4申即，在計算新分量Xi（f時，利用新值x（e , j=12，i1。迭代法（*2 ）或稱為 Gauss Seidel迭代方法。8、已知方程組-5x1 +X2 -X3 = -6為 +5x2 -2x3 = -1 7-2X2 +4x3 =3（1 ）分別寫出求解方程組的 收斂性。Jacobi迭代式和 Ga

19、uss-Seidel迭代格式，并判別兩種迭代式的（2）利用Gauss順序消元法解方程組。（要求寫出消元過程和回代過程）9、給定方程組11I2證明Jacobi迭代方法收斂而解：方程組：G-S迭代方法發(fā)散.-2X1I11X2LX3.11Jacobi 方法:或-迭代矩陣：Bj = d4(D -A)det(DJ) +det(AD (L +U) = 0特征方程：detl BJh。a12a13321>922a23a31a 32)ua33A2-2=1幾 122 入3幾=0 ， P(Bi0 ， Jacobi 方法收斂Gauss-Seidel 迭代方法：迭代矩陣：（特征方程）B2 =（D -LU , de

20、t（kl B2） =0 ,或B2的特征化為下面方程的根：det仏（D -L） -U） = 0即:巾11ai2ai3A2-2巾21扎*22a23=0,扎A1)a31巾32£332幾2ZZ-.3A=02a2a =0A3-42 +4扎=0， a(a-2)2 =0（重根）故G-S迭代方法發(fā)散。第七章非線性方程數(shù)值分析（牛頓迭代方法）六.18分對方程式F - 4.r+1 = 0,=町 H（1）證明如卜簡單迭代法4 ；4收斂；斯=2（2）寫出上述方程的牛頓迭代格式，并說明苴收斂階口七、（12分）試寫出求解方程組px；=0,3 Xi X； -x； -1 =0的牛頓迭代格式，并給出計算終止的條件?第八章歐拉方法2、的改進試列出解初值問題(y： =aiiyi +ai2y2,J； =a2iyi +a22y2,E