直線的方程29

1、最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)§3.2直線的方程§ 3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程、教材分析直線方程的點(diǎn)斜式給出了根據(jù)已知一個(gè)點(diǎn)和斜率求直線方程的方法和途徑在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的.從一次函數(shù)y=kx + b(k工0引|入,自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題求直線的方程問題.在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特 征入手.在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直 線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程、教學(xué)目標(biāo)1 .知識(shí)與技能(1) 理解直

2、線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍;(2) 能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程;(3) 體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系2 .過程與方法.在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素一一直線上的一點(diǎn)和直 線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程，學(xué)生通過 對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別3 .情態(tài)與價(jià)值觀L培養(yǎng)學(xué)通過讓學(xué)生體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)生數(shù)形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使 學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題., 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會(huì) 利用探討出的條件求出直線的

3、方程教學(xué)難點(diǎn):在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點(diǎn)斜式的特征及適用范圍 四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)(一) 導(dǎo)入新課思路1.方程y=kx + b與直線I之間存在著什么樣的關(guān)系?讓學(xué)生邊回答，教師邊適當(dāng)板書.它們之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系，即(1)直線I上任意一點(diǎn)P(xi,yi)的坐標(biāo)是方程y=kx + b的解.(2) (xi,yi)是方程y=kx+b的解 點(diǎn)P(xi,yi)在直線I上.這樣好像直線能用方程表示，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)、研究這個(gè)問題 直線的方程(宣布課題).思路2.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)， 并接觸過一次函數(shù)的圖象， 現(xiàn)在，請同學(xué)們作一下回顧:一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它是

4、以滿足y=kx+b的每一對X、y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我們可以說，這個(gè)方程的解和直線上的點(diǎn)也存在這樣的對應(yīng)關(guān)系.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)直線的方程(宣布課題).(二) 推進(jìn)新課、新知探究、提出問題 如果把直線當(dāng)做結(jié)論，那么確定一條直線需要幾個(gè)條件？如何根據(jù) 所給條件求出直線的方程? 已知直線I的斜率k且I經(jīng)過點(diǎn)Pi(xi,yi)，如何求直線I 方程導(dǎo)出的條件是什么? 若直線的斜率k不存在，則直線方程怎樣表示? k=-一生與y-y i=k(x-x i)表示同一直線嗎?x x1已知直線I的斜率k且I經(jīng)過點(diǎn)(0,b)，如何求直線的方程？I的方程?討論結(jié)果:

5、確定一條直線需要兩個(gè)條件:a.確定一條直線只需知道 k、b即可;設(shè)P(x ,y)為I上任意一點(diǎn)，由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得 k=y yixXib.確定一條直線只需知道直線I上兩個(gè)不同的已知點(diǎn).化簡，得 y yi=k(x X1).方程導(dǎo)出的條件是直線I的斜率k存在. a.x=0； b.x=x1.啟發(fā)學(xué)生回答：方程k=y表示的直線I缺少一個(gè)點(diǎn)x x1Pi(xi,yi),而方程y yi=k(x xi)表示的直線I才是整條直線. y=kx+b.(三) 應(yīng)用示例思路1例1 一條直線經(jīng)過點(diǎn)解:這條直線經(jīng)過點(diǎn)Pi(-2,3),斜率是k=tan45 °.代入點(diǎn)斜式方程，得y-3=x+2,即 x-

6、y+5=0,這就是所求的直線方程，圖形如圖1所示.點(diǎn)評:此例是點(diǎn)斜式方程的直接運(yùn)用，要求學(xué)生熟練掌握，并具備一定的 作圖能力.變式訓(xùn)練求直線y=-J3(x-2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°所得的直線方程.解：設(shè)直線y=-j3(x-2)的傾斜角為a則tan a =3 ,又妖0°180), a =120°.所求的直線的傾斜角為120°-30 )=90° .直線方程為x=2.例2如果設(shè)兩條直線li和12的方程分別是Ii：y=kix+bi,l2：y=k2x+b2,試討論:(1)當(dāng)h/ l2時(shí)，兩條直線在y軸上的截距明顯不同，但哪些量是相等的？為

7、什么?(2) h丄12的條件是什么?活動(dòng):學(xué)生思考：如果ai= a2,則tan a=tan a定成立嗎？何時(shí)不成立?由此可知：如果Il/l2，當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線的斜率必定不存在反之，問：如果biMb且ki=k2，則li與l2的位置關(guān)系是怎樣的？由學(xué)生回答，重點(diǎn)說明01 = 02得出tan a=tan a的依據(jù).解：(1)當(dāng)直線li與12有斜截式方程Ii：y=kix+bi,l2：y=k2x+b2時(shí)，直線11 /12 k1=k2 且 b1 b.(2)li 丄 l2kik2=-1.變式訓(xùn)練判斷下列直線的位置關(guān)系:1 1 (1)li：y= 2x+3,l2：y=-x-2; l1：

8、y=5x,l2：y=-|x.35答案：(1)平行；垂直.思路2例1已知直線li： y=4x和點(diǎn)P(6, 4),過點(diǎn)P引一直線l與li交于點(diǎn)Q,與x軸正半軸交于點(diǎn)R,當(dāng) OQR的面積最小時(shí)，求直線l的方程.活動(dòng):因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)P(6, 4)，所以只要求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線l的方程.解：因?yàn)檫^點(diǎn)P(6, 4)的直線方程為x=6和y 4=k(x - 6),當(dāng)l的方程為x=6時(shí)， OQR的面積為S=72;當(dāng)l的方程為y 4=k(x 6)時(shí)，有R(生Ao), Q (匹/,込上), kk k 42此時(shí) OQR的面積為S=1X込衛(wèi)2)2 kk 4 k(k 4)最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案

9、（附經(jīng)典解析）變形為(S 72)k2 + (96 - 4S)k- 32=0(Sm 72).因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式 ,所以得S> 40.當(dāng)且僅當(dāng)k= 1時(shí)，S有最小值40.因此，直線I的方程為y 4= -（X - 6）,即 X + y 10=0.點(diǎn)評：本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵 .怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo)變式訓(xùn)練如圖2,要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方向），問如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2）（單位：m）.1011)解：建立如圖直角坐標(biāo)系，

10、在線段 AB上任取一點(diǎn)P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地. AB方程為=1,則設(shè)P(x,20-空30203則 S 矩形=(100-x) : 80-(20-空):3=-|(x-5)2+6 000+y(0 w x w 30),當(dāng) x=5 時(shí)，yr50，即 P (5, 50)時(shí)，33)(0 < X< 30),(S 矩形)max=6 017(m2).例2 設(shè) ABC的頂點(diǎn)A（1 , 3）,邊AB、AC上的中線所在直線的方程分AB、AC各邊所在直線的方程.別為 X 2y+ 1=0, y=1，求 ABC 中活動(dòng):為了搞清 ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫出簡圖3幫助

11、思考問題.解:如圖3,設(shè)AC的中點(diǎn)為F，AC邊上的中線BF: y=1.AB邊的中點(diǎn)為E,CE: X 2y + 1=0.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m,n）,則 F（m,口）.2 2又F在AC中線上，則=,2二 n=-1.又C點(diǎn)在中線CE上，應(yīng)當(dāng)滿足 CE的方程，則m 2n + 1=0.二 m= 3. C 點(diǎn)為（一3， 1）.設(shè)B點(diǎn)為（a,1）,則AB中點(diǎn)E（寧,?。?即E（寧,2）. 又 E 在 AB 中線上，則-4+1=0.a=5.2 B 點(diǎn)為（5, 1）.由兩點(diǎn)式，得到AB , AC所在直線的方程 AC : x y + 2=0,AB : x + 2y7=0.點(diǎn)評：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)使同學(xué)們做完后從中領(lǐng)

12、悟到兩點(diǎn):（1）中點(diǎn)分式要靈活應(yīng)用;（2）如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來.變式訓(xùn)練已知點(diǎn)M （1，0），N （- 1, 0），點(diǎn)P為直線2x-y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，則 |PM|2+|PN|2的最小值為何?解： P 點(diǎn)在直線 2x-y-1=0 上.設(shè) P (xo,2xo-1). | PM|2+| PN|2=1O(xo-2)2+蘭.555最小值為一.5（四）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4 .（五）拓展提升 已知直線y=kx + k+ 2與以A（0，- 3）、B（3 , 0）為端點(diǎn)的線段相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.活動(dòng):此題要首先畫出圖形4,幫助我們找

13、尋思路，仔細(xì)研究直線y=kx+ k +2,我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥 2=k（x + 1）,這就可以看出，這是過（1,2）點(diǎn)的一組直線設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為P( 1, 2).02,解：我們設(shè)PA的傾斜角為a, PC的傾斜角為 a PB的傾斜角為且 aV aV a.M ki=tan aV k v k2=tan a 又 ki= J3=-5 , k2=一=-,11 32則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-5vkV-.2（六）課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家:1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會(huì)利用探討出的條件求出直線

14、的方程.（七）作業(yè)習(xí)題 3.2 A 組 2、3、5.§322直線的兩點(diǎn)式方程、教材分析本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式的討論及變形.直線方程的兩點(diǎn)式可由點(diǎn)斜式導(dǎo)出.若已知兩點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上（非原點(diǎn)），則可用兩點(diǎn)式的特例截距式寫出直線的方程.由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便.在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長 等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式.但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在;當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式、教學(xué)目標(biāo)最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)1

15、.知識(shí)與技能,(1)掌握直線方程的兩點(diǎn)式的形式特點(diǎn)及適用范圍;(2) 了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍。2 .過程與方法讓學(xué)生在應(yīng)用舊知識(shí)的探究過程中獲得新的結(jié)論，并通過新舊知識(shí)的比較、分析、應(yīng)用獲得新知識(shí)的特點(diǎn)3 .情態(tài)與價(jià)值觀.(1)認(rèn)識(shí)事物之間的普通聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化;(2)培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線方程兩點(diǎn)式和截距式.教學(xué)難點(diǎn):關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式方程的討論及變形.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)(一) 導(dǎo)入新課思路1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式，請問點(diǎn)斜式方程是什 么？點(diǎn)斜式方程是怎樣推導(dǎo)的？利用點(diǎn)斜式解答如下問

16、題:(1)已知直線I經(jīng)過兩點(diǎn)P 1(1,2),P2(3,5),求直線I的方程.(2)已知兩點(diǎn) P1(X1,y1),P2(X2,y2)(其中X1Mx,y1 My),求通過這兩點(diǎn)的直線方程.最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案（附經(jīng)典解析）思路2.要學(xué)生求直線的方程，題目如下: A（8，-1），B（-2，4）; A（6，-4），B（-1，2）;A（xi, yi）, B（x2, y2）（xiMX.（分別找3個(gè)同學(xué)說上述題的求解過程和答案，并著重要求說求k及求解過程）這個(gè)答案對我們有何啟示？求解過程可不可以簡化？我們可不可以把這種直線方程取一個(gè)什么名字呢（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題 已知兩點(diǎn)Pi（xi,yi）,

17、P2（X2,y2）（其中xixyiMy），求通過這兩點(diǎn)的直線 方程. 若點(diǎn)Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）中有xi=X2或yi=y2，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是 什么? 兩點(diǎn)式公式運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意什么? 已知直線I與x軸的交點(diǎn)為A（a,0），與y軸的交點(diǎn)為B（0,b），其中aM 0,b M 求直線I的方程.a、b表示截距是不是直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離?截距式不能表示平面坐標(biāo)系下哪些直線?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識(shí)，要求直線方程，應(yīng)知道什么 條件？能不能把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)已 知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程師

18、生共同歸納:已知直線上兩個(gè)不同點(diǎn)，求直線的方程步驟:a.利用直線的斜率公式求出斜率k;b.利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程.T xi 工 2,k=y2yiX2Xi直線的方程為y-yi二仝丄X2 Xi(x-x 1).I 的方程為 y-yi= (x-xi). X2 Xi當(dāng)yiMy時(shí)，方程可以寫成-上旦.¥2yiX2xi由于這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，因此叫做直線方程的兩點(diǎn)式.注意：式是由式導(dǎo)出的，它們表示的直線范圍不同.式中只需xi2且 yiMy,它X1工込它不能表示傾斜角為 90。的直線的方程；式中不能表示傾斜角為0°或90°的直線的方程，但式相對于式更對稱、形 式更美觀

19、、更整齊，便于記憶.如果把兩點(diǎn)式變成(y-yi)(x2-xi)=(x-xi)(y2-yi), 那么就可以用它來求過平面上任意兩已知點(diǎn)的直線方程 使學(xué)生懂得兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式.教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Xi=X2時(shí)，直線與X軸垂直，所以直線方程為 X=Xi ；當(dāng)yi=y2時(shí)，直線與y軸垂直， 直線方程為y=yi. 引導(dǎo)學(xué)生注意分式的分母需滿足的條件 使學(xué)生學(xué)會(huì)用兩點(diǎn)式求直線方程；理解截距式源于兩點(diǎn)式，是兩點(diǎn)最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)式的特殊情形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中所給的條件有什么特點(diǎn)？可以用 多少方法來求直線I的方程？哪種方法

20、更為簡捷？然后求出直線方程因?yàn)橹本€I經(jīng)過(a, 0)和(0, b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得y 0 X a b 00 a'就是-=1.a b注意：這個(gè)方程形式對稱、美觀，其中a是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo), 稱a為直線在x軸上的截距，簡稱橫截距；b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)， 稱b為直線在y軸上的截距，簡稱縱截距.因?yàn)榉匠淌怯芍本€在 x軸和y軸上的截距確定的，所以方程式叫做直線方程的截距式. 注意到截距的定義，易知a b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離. 考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即

21、過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式¥2yiX2xi討論結(jié)果：若XiMx且yiMy則直線I方程為 丄丄 亠1當(dāng)xi=x2時(shí)，直線與x軸垂直，直線方程為x=xi;當(dāng)yi=y2時(shí)，直線 與y軸垂直，直線方程為y=yi. 傾斜角是0°或90°的直線不能用兩點(diǎn)式公式表示(因?yàn)閄iMx,yiMy x $=1.a b a、b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離. 截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)方程，即過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式(三) 應(yīng)用示例思路1例1求出下列

22、直線的截距式方程:(1)橫截距是3，縱截距是5； (2)橫截距是10，縱截距是-7；(3) 橫截距是-4,縱截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0 ；（ 2）7x-10y-70=0 ；（ 3）3x+4y+12=0.變式訓(xùn)練已知RtA ABC的兩直角邊 AC=3，BC=4，直角頂點(diǎn) C在原點(diǎn)，直角邊AC在x軸負(fù)方向上，BC在y軸正方向上，求斜邊AB所在的直線方程.答案：4x-3y+12=0.例2如圖1,已知三角形的頂點(diǎn)是A（ - 5，0）、B（3，- 3）、C（0, 2），求這活動(dòng):根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求 AB所在的直線的方程應(yīng)選用兩點(diǎn)式；求BC所在的直線的方程應(yīng)選用斜截式；求

23、AC所在的直線的最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案（附經(jīng)典解析）方程應(yīng)選用截距式.解：AB所在直線的方程，由兩點(diǎn)式，得黑，即3訛旳5=0.BC所在直線的方程，由斜截式AC所在直線的方程，由截距式,得 y=-|x+2,即 5x+3y-6=0.,得 q 1=1,即 2x-5y+10=0.變式訓(xùn)練如圖2,已知正方形的邊長是4,它的中心在原點(diǎn)，對角線在坐標(biāo)軸上，求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程活動(dòng):由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以可用截距式求正方形各邊所 在直線的方程.而正方形的對稱軸 PQ，MN，x軸，y軸則不能用截距式，其中PQ，MN應(yīng)選用斜截式；x軸，y軸的方程可以直接寫出.解:因?yàn)?|AB|=4，所以 |

24、OA|=|OB|=g 242因此 A、B、C、D 的坐標(biāo)分別為（272,0）、（0,272）、（-272,0）、（0,-272）.所以AB所在直線的方程是 希 希=1,即x+y-2血=0.BC所在直線的方程是 僉 盞f即x-y+2®0.CD所在直線的方程是 令 ±=1,即x+y+2血=0.DA所在直線的方程是僉廿即x-y-2E.對稱軸方程分別為x±y=O,x=O,y=O.思路2例 1 已知 ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長;（3）求AB邊的高所在直線方程.

25、解：（1 ）由兩點(diǎn)式寫方程，得亠 上丄，即6x-y+11=0.1521（2 ）設(shè) M 的坐標(biāo)為（X0,y0 ），則由24.13.X0=1,y0=1,故 M （1，1） ,AM= J（1 1）2（1 5）2=2V5.=-6，設(shè)AB邊上的高所在直線的3 2因?yàn)橹本€AB的斜率為kAB斜率為k,則有 kxkAB=k x（-6）=-1,二 k= 1.所以AB邊高所在直線方程為變式訓(xùn)練求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得y-3= -（X-4）,即 x-6y+14=0.62平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程.解：設(shè)直線方程為-=1,則由題意知，有-ab=3,. ab=4. a b2解得

26、a=4,b=1 或 a=1,b=4.最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)則直線方程是寸1=1或1戸即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有幾 條？請求出這些直線的方程.解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，又過點(diǎn)A(1,2)，則得k=2，即y=2x. 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)-丫=1或-丄=1,過點(diǎn)A(1,2)，a aa a則得 a=3，或 a=-1，即卩 x+y-3=0 或 x-y+1=0.這樣的直線有3條：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.變式訓(xùn)練過點(diǎn)A(-5,-4)作一直線I，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角 形面積為5.

27、答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.(四) 知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.(五) 拓展提升問題：把函數(shù)y=f(x)在x=a及x=b之間的一段圖象近似地看作直線， 設(shè) aw cWb 證明 f(c)的近似值是 f(a)+g :f(b)-f(a):.b a證明：/ A、B、C 三點(diǎn)共線，kAc=kAB, 即 f(c) f(c)f(b) f(a)c ab a.f(c)-f(a)=:f(b)-f(a) :，即 f(c)=f(a)+3 : f(b)-f(a):.b ab a最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案（附經(jīng)典解析） f(c)的近似值是 f(a)+ : f(b)-f(a). b a（六）課堂小結(jié)通過

28、本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：掌握直線方程兩點(diǎn)式和截距式的發(fā)現(xiàn)和推 導(dǎo)過程，并能運(yùn)用這兩種形式求出直線的方程 .理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍，樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神（七）作業(yè)課本習(xí)題3.2 A組9、10.§ 323直線的一般式方程一、教材分析直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它是研究各種運(yùn)動(dòng)方向和位置關(guān)系的基本工具，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).直線方程是這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了直線方程的幾種特殊形式的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出 直線方程的

29、一般形式.掌握直線方程的一般形式為用代數(shù)方法研究兩條直線的位置關(guān)系和學(xué)習(xí)圓錐曲線方程打下基礎(chǔ).根據(jù)教材分析直線方程的一般式是本節(jié)課的重點(diǎn)，但由于學(xué)生剛接觸直線和直線方程的概念，教學(xué)中要求不能太高，因此對直角坐標(biāo)系中直線與關(guān)于x和y的一次方程的對應(yīng)關(guān)系確定為 了解”層次.兩點(diǎn)可以確定一條直線，給出一點(diǎn)和直線的方向也 可以確定一條直線，由兩個(gè)獨(dú)立條件選用恰當(dāng)形式求出直線方程后，均應(yīng) 統(tǒng)一到一般式.直線的一般式方程中系數(shù) A、B、C的幾何意義不很鮮明，常常要化為斜截式和截距式，所以各種形式應(yīng)會(huì)互化.引導(dǎo)學(xué)生觀察直線方程的特殊形式，歸納出它們的方程的類型都是二元一次方程，推導(dǎo)直線方程的一般式時(shí)滲透分類

30、討論的數(shù)學(xué)思想，通過直線方程各種形式的互化，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步研究一般式系數(shù)A、B、C的幾何意義時(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.、教學(xué)目標(biāo)最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案(附經(jīng)典解析)1.知識(shí)與技能,(1) 明確直線方程一般式的形式特征;(2) 會(huì)把直線方程的一般式化為斜截式，進(jìn)而求斜率和截距;(3) 會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式化為一般式2 .過程與方法學(xué)會(huì)用分類討論的思想方法解決問題3 .情態(tài)與價(jià)值觀.(1)認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化;(2)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.,三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線方程的一般式及各種形式的互化教學(xué)難點(diǎn):在直角坐標(biāo)系中直線方程與關(guān)于 x和y的一次方程的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)

31、鍵是直線方程各種形式的互化 四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)導(dǎo)入新課思路1.前面所學(xué)的直線方程的幾種形式， 有必要尋求一種更好的形式,那么怎樣的形式才能表示一切直線方程呢？這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題.思路2.由下列各條件，寫出直線的方程，并畫出圖形(1)斜率是1,經(jīng)過點(diǎn)A (1, 8);在x軸和y軸上的截距分別是-7, 7;經(jīng)過兩點(diǎn)P1 (- 1, 6)、P2 (2, 9); (4)y軸上的截距是7,傾斜角是最新高一數(shù)學(xué)精品學(xué)案（附經(jīng)典解析）45°由兩個(gè)獨(dú)立條件請學(xué)生寫出直線方程的特殊形式分別為y-8=x-1 、y=x+7，教師利用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)顯示，發(fā)現(xiàn)上述4條x y =1、y 6

32、 X 17 7 一、9 6 2 1直線在同一坐標(biāo)系中重合.原來它們的方程化簡后均可統(tǒng)一寫成：x-y+7=0.直這樣前幾種直線方程有了統(tǒng)一的形式，這就是我們今天要講的新課 線方程的一般式.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題坐標(biāo)平面內(nèi)所有的直線方程是否均可以寫成關(guān)于x,y的二元一次方 關(guān)于x,y的一次方程的一般形式 Ax+By+C=O （其中A、B不同時(shí)為 零）是否都表示一條直線？ 我們學(xué)習(xí)了直線方程的一般式，它與另四種形式關(guān)系怎樣，是否可 互相轉(zhuǎn)化？ 特殊形式如何化一般式？一般式如何化特殊形式？特殊形式之間如何 互化？ 我們學(xué)習(xí)了直線方程的一般式 Ax+By+C=0，系數(shù)A、B、C有什么幾何意義

33、？什么場合下需要化成其他形式？各種形式有何局限性？討論結(jié)果:分析：在直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角a.1°當(dāng)況工9時(shí)，它們都有斜率，且均與y軸相交，方程可用斜截式表示: y=kx+b.2°當(dāng)a =90時(shí)，它的方程可以寫成 x=xi的形式，由于在坐標(biāo)平面上討y的系數(shù)論問題，所以這個(gè)方程應(yīng)認(rèn)為是關(guān)于 x、y的二元一次方程，其中是零.結(jié)論1°直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程.分析：a當(dāng)BMO時(shí)，方程可化為y=-x-C，這就是直線的斜截式方B B程，它表示斜率為-，在y軸上的截距為-C的直線.b當(dāng)B=0時(shí)，由于A、BBB不同時(shí)為零必有 AM0,方程化為x=-C

34、，表示一條與y軸平行或重合的直A結(jié)論2°關(guān)于x,y的一次方程都表示一條直線.綜上得：這樣我們就建立了直線與關(guān)于x,y的二元一次方程之間的對應(yīng)關(guān)系我們把Ax+By+C=0 （其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線方程的一般注意：一般地，需將所求的直線方程化為一般式在這里采用學(xué)生最熟悉的直線方程的斜截式（初中時(shí)學(xué)過的一次函數(shù)） 把新舊知識(shí)聯(lián)系起來.引導(dǎo)學(xué)生自己找到答案，最后得出能進(jìn)行互化待學(xué)生通過練習(xí)后師生小結(jié)：特殊形式必能化成一般式；一般式不 一定可以化為其他形式（如特殊位置的直線），由于取點(diǎn)的任意性，一般式 化成點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式的形式各異，故一般式化斜截式和截距式較常見；特 殊形式的互化常以一般式為橋梁，但點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、截距式均能直接化成一般式.各種形式互化的實(shí)質(zhì)是方程的同解變形（如圖1）.圖1列表說明如下:形式方程局限各常數(shù)的幾何意義點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k(x-x i)除x=xo外(xi,yi)是直線上一個(gè)疋點(diǎn),k是斜率斜截式y(tǒng)=kx+b除X=Xo外k是斜率,b是y軸上 的截距兩點(diǎn)式y(tǒng) yix xiy2 yiX2 xi除 x=Xo 和 y=yo外(xi,yi)、(X2,y2)是直