排列組合習(xí)題-(含詳細(xì)答案).

1、圓夢(mèng)教育中心排列組合專項(xiàng)訓(xùn)練1.題 1 (方法對(duì)比，二星 )題面： (1)有 5 個(gè)插班生要分配給3所學(xué)校， 每校至少分到一個(gè)，有多少種不同的分配方法？(2) 有 5 個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額要分配給3所學(xué)校，每校至少分到一個(gè)名額，有多少種不同的名額分配方法？解析： “名額無差別 ”相同元素問題(法 1)每所學(xué)校各分一個(gè)名額后，還有2 個(gè)名額待分配，可將名額分給 2 所學(xué)校、 1 所學(xué)校，共兩類： C32C31(種 )(法 2 擋板法 )相鄰名額間共 4 個(gè)空隙，插入 2個(gè)擋板，共：C426 (種)注意： “擋板法 ”可用于解決待分配的元素?zé)o差別，且每個(gè)位置至少分配一個(gè)元素的問題 .(位置有差別，元素?zé)o

2、差別 )同類題一題面：有 10 個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7 個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？答案： C96詳解：因?yàn)?10 個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成 9 個(gè)空隙。在 9 個(gè)空檔中選6 個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7 份，對(duì)應(yīng)地分給7 個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C96 種分法。同類題二題面：求方程 X+Y+Z=10 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。答案： 36.詳解：將 10 個(gè)球排成一排，球與球之間形成9 個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為x、y、 z之值 , 故解的個(gè)數(shù)為 C92=36 （個(gè)）。2.題 2

3、 (插空法，三星)題面：某展室有9 個(gè)展臺(tái)，現(xiàn)有3 件展品需要展出，要求每件展品獨(dú)自占用1 個(gè)展臺(tái)，并且 3 件展品所選用的展臺(tái)既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有_種；如果進(jìn)一步要求3件展品所選用的展臺(tái)之間間隔不超過兩個(gè)展位，則不同的展出方法有_ 種 .答案： 60 ， 48同類題一題面：6 男 4 女站成一排，任何2 名女生都不相鄰有多少種排法？答案： A 66·A 47種 .詳解：任何 2 名女生都不相鄰，則把女生插空，所以64先排男生再讓女生插到男生的空中，共有 A6·A7種不同排法同類題二題面：有 6 個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐

4、法有()A36 種B 48 種C72 種D96 種答案： C.詳解：恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰， 先排三個(gè)人， 然后插空， 從而共 A 33A 24 72 種排法，故選 C.3題 3 ( 插空法，三星 )題面： 5 個(gè)男生到一排12 個(gè)座位上就座， 兩個(gè)之間至少隔一個(gè)空位1沒有坐人的7 個(gè)位子先擺好，2( 法 1 插空 ) 每個(gè)男生占一個(gè)位子，插入7 個(gè)位子所成的 8 個(gè)空當(dāng)中，有：A85 =6720 種排法 .(法 2)15 個(gè)男生先排好：A55 ；2 每個(gè)男生加上相鄰的一個(gè)座位，共去掉 9 個(gè)位置， 當(dāng)作 5 個(gè)排好的元素，共有 6 個(gè)空，剩下的3 個(gè)元素往里插空

5、，每個(gè)空可以插1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)元素，共有： C632C62C61 種，綜上：有 A55 ( C632C62C61 )=6720 種 .同類題一題面：文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4 個(gè)歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，擬再添兩個(gè)小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？答案： 30。詳解：記兩個(gè)小品節(jié)目分別為A 、 B。先排 A 節(jié)目。根據(jù)A 節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4 個(gè)球分成兩堆，有種方法。這一步完成后就有5 個(gè)節(jié)目了。再考慮需加入的B 節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同理知有種方法。故由分步計(jì)數(shù)原理知，方法共有（種）。同類題二題面：(2013 年開封模擬 )2 位男生和

6、3 位女生共5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A60B48C 42D 36答案： B.詳解：第一步選2 女相鄰排列C23·A 22，第二步與男女排列 A2，第三步男生甲插在中間，1 種插法，第四步男 212221種不同排法男生插空 C4，故有 C3·A 2·A 2·C4 484.題 4( 隔板法變形，三星)題面： 15 個(gè)相同的球，按下列要求放入4 個(gè)寫上了 1、2、 3、 4 編號(hào)的盒子，各有多少種不同的放法?(1)將 15 個(gè)球放入盒子內(nèi)，使得每個(gè)盒子都不空；C143364(2)將 15 個(gè)

7、球放入盒子內(nèi)，每個(gè)盒子的球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)；(3)將 15 個(gè)球放入盒子內(nèi)，每個(gè)盒子不必非空；(4)任取 5 個(gè)球，寫上1-5 編號(hào)，再放入盒內(nèi)，使每個(gè)盒子都至少有一個(gè)球；(5)任取 10 個(gè)球，寫上1-10 編號(hào)，奇數(shù)編號(hào)的球放入奇數(shù)編號(hào)的盒子，偶數(shù)編號(hào)的球放入偶數(shù)編號(hào)的盒子解析：(2)先將 2、3、4 號(hào)盒子分別放入1、2、3 個(gè)球，剩下的9 個(gè)球用擋板法，C83 =56(3)借來 4 個(gè)球，轉(zhuǎn)化為19 個(gè)球放入盒子內(nèi)，每個(gè)盒子非空， C183816(4)不能用 “擋板法 ”，因?yàn)樵赜胁顒e .(法 1)必有一個(gè)盒子有2 個(gè)球， C52 A44240 ；(法 2)先選 3 個(gè)球，分別排

8、到4 個(gè)盒子中的3 個(gè)里，剩下的盒子自然放2個(gè)球.C53 A43240；(法 3) A54C41480 ，會(huì)重！需要除2！重復(fù)原因： 1 號(hào)盒子放1、5 號(hào)球，先放1后放 5與先放5、后放 1 是一樣的！(5)( 法 1) 每個(gè)球都有 2種選擇，共有210種方法；(法 2)奇數(shù)號(hào)的球有1、3、5、7、 9，共 5 個(gè)，可以在 1、3 號(hào)兩個(gè)盒子中選一個(gè)放入，共有： C55C54C53C52C51C5025 種放法，同理放偶數(shù)號(hào)的球也有25種方法，綜上共有 210種方法 .同類題一題面：某車隊(duì)有7 輛車，現(xiàn)要調(diào)出4 輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有 _種不同

9、的調(diào)度方法(填數(shù)字 )答案： 120.詳解：先從除甲、乙外的 5 輛車任選2 輛有 C25 種選法，連同甲、乙共 4 輛車，排列在一起，先從4 個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有C2種，最后，安排其他兩輛42222車共有 A 2種方法，故不同的調(diào)度方法為C5·C4·A2 120種同類題二題面：我國(guó)第一艘航母 “遼寧艦 ”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中 , 有 5 架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦 ,如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦,而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有（）A 12B 18C 24答案： C.詳解：分三步 :把甲、乙捆綁為一個(gè)元素A ,有 A22 種方法 ; A 與戊

10、機(jī)形成三個(gè)“空”,把丙、丁兩機(jī)插入空中有 A32 種方法 ;考慮 A 與戊機(jī)的排法有 A22 種方法 .由乘法原理可知共有 A22 A32 A22 24 種不同的著艦方法 .故應(yīng)選 C5. 題 5(相同與不同，三星 )題面：某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2 本，同樣的集郵冊(cè)3 本，從中取出4 本贈(zèng)送給4 位朋友每位朋友1 本，則不同的贈(zèng)送方法共有 ()A 4 種B10 種C18 種D20 種同類題一題面：(2013 ·京高考北 )將序號(hào)分別為1,2,3,4,5 的 5 張參觀券全部分給4 人，每人至少1 張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_答案： 96.詳解：按照要求要把序

11、號(hào)分別為1,2,3,4,5 的 5張參觀券分成 4 組，然后再分配給 4 人，連號(hào)的情況是1和 2,2和3,3 和 4,4 和 5，故其方法數(shù)是4A 44 96.同類題二題面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A. 360B. 288C. 216D. 96答案： 288種 .詳解：分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原則， 先考慮女生的問題， 先從 3 個(gè)女生中選兩位，有 C32 種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有A22 種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個(gè)男生任意排列，有

12、A32 中不同的排法，D 48然后把兩個(gè)女生看成一個(gè)整體，和另一個(gè)女生看成兩個(gè)元素插入 4 個(gè)位置中。有 A42 種不同的排法，共有 A22 C32 A33 A42 種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有 C12 種不同的方法，然后其他兩個(gè)男生排列有 A22 種排法，最后把女生在剩余的三個(gè)位置中排列，有 A32 種不同的排法。共A22C32C21A22 A32 種不同的排法， 故總的排法為A22C32A33A42 A22 C32 C21 A22 A32 =288 種不同的方法。.題 6(組合數(shù)的性質(zhì)，二星)題面： 5 個(gè)男生 3 個(gè)女生，分別滿足下列

13、條件，各有多少種方法？(1)選出 3 人參加 A 活動(dòng)；(2)選出 5 人參加 B 活動(dòng)；(3)選出 4 人參加一項(xiàng)活動(dòng)，女生甲必須參加；(4)選出 4 人參加一項(xiàng)活動(dòng)，女生甲不能參加.答案：同類題一題面：從 5 名男醫(yī)生、 4 名女醫(yī)生中選 3 名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（）A. 70種B.80 種C. 100 種D. 140種答案： A.詳解：分為 2 男 1 女，和 1 男 2 女兩大類，共有C52 C41C51C42 =70 種同類題二題面：男運(yùn)動(dòng)員6 名，女運(yùn)動(dòng)員4 名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1 人 .選派 5 人外出比賽 .在下列情形中各有多少種

14、選派方法？（ 1）男運(yùn)動(dòng)員 3 名，女運(yùn)動(dòng)員 2 名；（ 2）至少有 1 名女運(yùn)動(dòng)員；（ 3）隊(duì)長(zhǎng)中至少有 1 人參加；（ 4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.答案：（ 1）120 種（ 2） 246 種.詳解：（ 1）第一步：選 3 名男運(yùn)動(dòng)員，有 C 36 種選法 .第二步：選 2 名女運(yùn)動(dòng)員，有 C 24 種選法 .共有 C 36 ·C 24 =120 種選法 .（ 2） 至少 1 名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女 4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為C14 C 46 +C 24 C 36 +C 34 C 62 +C 44 C16=246 種.題 7

15、 (選和排，二星)題面：從 4 名男生和3 名女生中選出3 人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3 人中有且只有1 名女生，則選派方案共有多少種？法一：先選后排，C31C42 A33法二：邊選邊排，(C13 A31 )A42同類題一題面：將 4 名教師分配到3 所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有()A12 種B24 種C36 種D48 種答案： C.詳解：先分組再排列：將4 名教師分成3 組有 C24種分法，再將這三組分配到三所學(xué)校有A 33種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知一共有C24 ·A 3336 種不同分配方案同類題二題面：甲、乙、丙3 人站到共有7 級(jí)的臺(tái)階上，

16、若每級(jí)臺(tái)階最多站2 人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是()A 258B 306C 336D 296答案： C.詳解：根據(jù)題意，每級(jí)臺(tái)階最多站2 人，所以，分兩類：第一類， 有 2 人站在同一級(jí)臺(tái)階， 共有 C23A 27種不同的站法；第二類，一級(jí)臺(tái)階站 1 人，共有 A 37種不同的站法 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有 C23 A27 A 37 336(種 )不同的站法3題一 ( 合理分類，二星)題面：若從1，2， 3， ， 9 這 9 個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4 個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A 60 種B63 種C65 種D66 種同類題一題面：只用 1,2,3 三個(gè)

17、數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有 ()A6 個(gè)B9個(gè)C18 個(gè)D36 個(gè)答案： C.詳解：注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有 C13 3(種 )選法，即 1231,1232,1233 ，而每種選擇有 A22×C23 6(種 )排法，所以共有 3×6 18(種 )情況，即這樣的四位數(shù)有 18 個(gè)同類題二題面：由 1、 2、 3、 4、 5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、 3 都不與5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是 ()A 72B 96C 108D 144答案： C.詳解：分兩類：若21

18、221 與 3 相鄰，有 A 2·C3A 2A 3 72(個(gè) )，若 1與 3 不相鄰有 A33 ·A 33 36(個(gè) )故共有 72 36 108 個(gè)題 8題面： 5 個(gè)男生 3 個(gè)女生，分別滿足下列條件，各有多少種方法？(1) 選出 4 人參加一項(xiàng)活動(dòng)，女生甲必須參加；(2) 選 3 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，至少有一名男生.(法 1)分類： 1 名、 2 名、 3名男生：C51C32C52 C31C5355 ；(法 2)間接法 C83C33C831 55.(法 3)1先取 1 名男生； 2 再在剩下的7人中取 3人；C51C725 76105 ？2同類題一題面：將甲、乙、丙、丁

19、四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為A.18B.24C.30D .36答案： C.詳解：用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是 C42 ，順序有 A33 種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有A33種，所以種數(shù)是C42 A33A3330同類題二題面：甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共有（）A.6B.12C.30D.36答案： C.詳解：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有C42 C42 種選擇方法，然后再把兩個(gè)人全不相同的情況去掉，兩個(gè)人全不相同，可以讓甲選兩門有 C42 種

20、選法，然后乙從剩余的兩門選，有 C22 種不同的選法， 全不相同的選法是 C42 C22 種方法，所以至少有一門不相同的選法為C42 C 42 C42 C22 =30 種不同的選法。題 9 (組合數(shù)性質(zhì)，三星)某班分成五個(gè)小組，分別有5,6,7,8,9 名同學(xué)，現(xiàn)從該班挑選2 名同學(xué)參加比賽，且這兩名同學(xué)必須來自同一小組，共有多少種不同的方案？同類題一題面：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（）A. 18B. 24C. 30D. 30答案： C.詳解：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有C42 種不同的分法

21、，然后三組進(jìn)行全排列共A33 種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個(gè)班的情況排除掉，共A33 種不同的排法。所以總的排法為 C42 A33A33 =30 種不同的排法。同類題二題面：將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3 個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少 1名，最多 2 名，則不同的分配方案有（A） 30 種（B） 90 種（C） 180 種（D） 270 種答案： B.詳解：將 5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3 個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少 1名，最多 2 名，則將 5 名教師分成三組， 一組 1 人，另兩組都是 2 人，有 C51C4215種方法，再將 3 組分A22到 3個(gè)班，共有15 A3390種不同的分配方案，選 B.題 10(組合的識(shí)別，四星)題面： (1) “漸升數(shù) ”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù) (如 1458),則四位 “漸升數(shù) ”共有多少個(gè)？(2)5 個(gè)男生 3 個(gè)女生排成一排，自左至右，男、女生分別都從高到矮排 (任意兩人身高不同 )，有多少種不同排法？(法 1)8 個(gè)位置中選5 個(gè)排男生，剩下3 個(gè)位置排女生，C85C83 ，注意：男生位置選定以后，女生順序一定，只對(duì)應(yīng)一種排法 .(法 2 除序 )A88C85 .A55 A33(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能組多少個(gè)不同的九位數(shù)？多重排列除序C93C62C4