重建有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義_第1頁
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重建有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義_第3頁
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文檔簡介

1、重建有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義兼談有心圓錐曲線間的軌跡相關(guān)性幾年后重讀數(shù)學(xué)通報2000年第期李恒德老師圓錐曲線間的一種軌跡相關(guān)性及其幾何特征一文時，對圓錐曲線間的相關(guān)性的討論方法又有了新的想法重建有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義，然后依據(jù)定義來討論圓錐曲線間的相關(guān)性，現(xiàn)草就成文供大家批評指正。一、重建圓、橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義定義：若平面內(nèi)的動點到兩定點（為的常數(shù)）的斜率之積等于定值，則（）若，點的軌跡是焦點在軸上的橢圓（加上點）（）若,點的軌跡是以線段為直徑的圓（加上點）（）若,點的軌跡是焦點在軸上的橢圓（加上點）（）若，點的軌跡是焦點在軸上的雙曲線（加上點）（其中常數(shù)稱為曲線的特征量）。證明：設(shè)動點的坐

2、標為，則，即 (*)，令則 若,則，焦點為，離心率。 如圖 若，則表示圓，如圖 若，則，焦點為，離心率，如圖，焦點為，如圖二、圓錐曲線間的軌跡相關(guān)性依據(jù)上述定義，就可以簡潔論證圓錐曲線間的軌跡相關(guān)性。定義：若是有心圓錐曲線的兩個頂點，是與垂直的弦，稱直線與的交點的軌跡是的相伴曲線。定理：圓或橢圓的相伴曲線是雙曲線。證明：表示的曲線是圓或橢圓。依據(jù)定義1，則常數(shù) 與關(guān)于軸對稱 即 即 依據(jù)定義1可知其軌跡是雙曲線，方程為，即推論1：圓的相伴曲線是等軸雙曲線。定理：雙曲線的相伴曲線是圓或橢圓。證明：依據(jù)上述定義1可知：常數(shù) 與關(guān)于軸對稱 即 依據(jù)定義1可知，交點的軌跡是圓或橢圓，將代入方程(*)即得即顯然若，則軌跡是焦點在軸上的橢圓。 若，則軌跡是以線段為直徑的圓。 若，則軌跡是焦點在軸上的橢圓。推論：等軸雙曲線的相伴曲線是圓。由上述的討論，我們可得到關(guān)于相伴曲線的共同特征的如下結(jié)論：1如果曲線的相伴曲線是，則的相伴曲線是；2有心圓錐曲線的相伴曲線與原曲線有相同的頂點、軸長、中心，對稱軸；3有心圓錐曲線的特征量與相伴曲線的特

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