高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典資料圓錐曲線綜合應(yīng)用

1、85 圓錐曲線綜合應(yīng)用一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程 2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用，掌握處理圓錐曲線綜合問(wèn)題的常用方法二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)解析幾何是以數(shù)來(lái)研究形的學(xué)科，就是數(shù)形結(jié)合的學(xué)科；解析法就是通過(guò)坐標(biāo)、方程所反映的數(shù)量間的關(guān)系和特征，來(lái)研究圖形的幾何性質(zhì)。圓錐曲線的綜合問(wèn)題包括：解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的思想，與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值等問(wèn)題；有圓錐曲線科內(nèi)綜合，還有與代數(shù)、三角、幾何、向量等學(xué)科間的綜合。復(fù)習(xí)中應(yīng)注意掌握解析幾何的常用方法，如求曲

2、線方程的方法、研究位置關(guān)系的方法、求范圍與最值的方法等，通過(guò)問(wèn)題的解決，進(jìn)一步培養(yǎng)函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想。三、雙基題目練練手1(2005北京)設(shè)，“”是“曲線為橢圓”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件2已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線的兩條準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則此雙曲線的方程是 ( )ABCD3(2006江蘇)已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）4（2006江西）為雙曲線的右支上一點(diǎn),、分別是圓上的點(diǎn),則的最大值為（）A6B7

3、C8D95(2005山東)設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)6 直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，則直線l的方程是_簡(jiǎn)答：1-BCBD；設(shè)左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，由雙曲線定義和三角形邊的關(guān)系得：，選D； +=1， +=1相減得=·又M為AB中點(diǎn)，x1+x2=2，y1+y2=2直線l的斜率為得直線l的方程為3x+4y7=0四、經(jīng)典例題做一做【例1】(2006福建) 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂

4、直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。解：（I）圓過(guò)點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑xylGABFO由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為【例2】(2006天津)如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明（）證明：由題設(shè)條件知，故 ，即因此， 解：在中 于是，

5、直線OA的斜率設(shè)直線BF的斜率為，則 這時(shí)，直線BF與軸的交點(diǎn)為()證明：由（），得直線BF得方程為且 由已知，設(shè)、，則它們的坐標(biāo)滿足方程組 由方程組消去，并整理得 由式、和， 由方程組消去，并整理得 由式和， 綜上，得到注意到，得 【例3】A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4 s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角解：如下圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則PCyxABD OB

6、（3，0）、A（3，0）、C（5，2）因?yàn)閨PB|=|PC|，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上因?yàn)閗BC=，BC中點(diǎn)D（4，），所以直線PD的方程為y=（x+4） 又|PB|PA|=4，故P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)P（x，y），則雙曲線方程為=1（x0） 聯(lián)立，得x=8，y=5，所以P（8，5）因此kPA=故炮擊的方位角為北偏東30° 【例4】 (2006春上海) 學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn) 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為 觀測(cè)點(diǎn)同

7、時(shí)跟蹤航天器（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解（1）設(shè)曲線方程為， 由題意可知， 曲線方程為 （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知 得 ， 或（不合題意，舍去） 得 或（不合題意，舍去） 點(diǎn)的坐標(biāo)為， 答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令【研討欣賞】（2006重慶）已知一列橢圓，。若橢圓上有一點(diǎn)，使到右準(zhǔn)線的距離是與的等差中項(xiàng)，其中、分別是的左、右焦點(diǎn)。（）試證：；（）取，并用表示的面積，試證：且證：（I）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有，故。設(shè)，則右準(zhǔn)線方程為因此，由題意應(yīng)滿足即解之

8、得：。即，從而對(duì)任意（II）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由及橢圓方程易知。因，故的面積為，從而。令。由，得兩根從而易知函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)。而在內(nèi)是減函數(shù)。 現(xiàn)在由題設(shè)取則是增數(shù)列。又易知。故由前已證，知，且。說(shuō)明:如果建立Sn與n的函數(shù),討論單調(diào)性比較復(fù)雜.五提煉總結(jié)以為師1解決圓錐曲線的綜合問(wèn)題應(yīng)根據(jù)曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用圓錐曲線的知識(shí)將曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合代數(shù)等知識(shí)來(lái)解。2對(duì)于求曲線方程中參數(shù)范圍或最值問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)解不等式求得參數(shù)的范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來(lái)解，還有法,幾何法,向量法等3 解決圓錐曲線應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，

9、要善于抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利轉(zhuǎn)化；要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問(wèn)題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答四點(diǎn)重視：重視定義在解題中的作用；重視平面幾何知識(shí)在解題中的簡(jiǎn)化功能；重視根與系數(shù)關(guān)系在解題中的作用；重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一注意用好以下數(shù)學(xué)思想、方法：數(shù)形結(jié)合思想；方程與函數(shù)思想；化歸轉(zhuǎn)化思想；分類討論思想；對(duì)稱思想；主元與參數(shù)思想此外，整體思想、正難則反思想、構(gòu)造思想等也是解析幾何解題中不可缺少的思想方法在復(fù)習(xí)中必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮其聯(lián)系知識(shí)、簡(jiǎn)化

10、計(jì)算、提高能力中的作用同步練習(xí) 85 圓錐曲線綜合應(yīng)用 【選擇題】1（2004湖北）已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（）A B3 C D 2(2005湖北)雙曲線離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為（）ABCD3（2006遼寧）曲線與曲線的 ()A焦距相等B離心率相等C焦點(diǎn)相同D準(zhǔn)線相同4(2006湖北)設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,且=1,則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A 3x2+y2=1 (x>0,y&

11、gt;0) B3x2-y21（x>0, y>0）Cx2-3y2=1(x>0,y>0) D x2+3y2=1(x>0,y>0)【填空題】5(2005江蘇卷)點(diǎn)P（-3，1）在橢圓的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€，經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)6(2005江西)以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）簡(jiǎn)答提示：DAAD；

12、【解答題】7已知橢圓的焦點(diǎn)是F1（1，0）,F2（1，0）,P為橢圓上的一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng)。（1）求橢圓方程； （2）若點(diǎn)P在第三象限，且P F1F2=1200，求tanF1PF2。解：(1)由題設(shè)2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。2a=4，b=。橢圓方程為。(2)設(shè)F1PF2=,則PF2 F1=600,由正弦定理并結(jié)合等比定理可得到,化簡(jiǎn)可得,從而可求得tanF1PF2=。思維點(diǎn)撥：解與P F1F2有關(guān)的問(wèn)題（P為橢圓上的點(diǎn)）常用正弦定理或余弦定理，并且結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a來(lái)求解。8(2005上海文)已知拋物線y2=2px(p&g

13、t;0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5過(guò)A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（1）求拋物線方程；（2）過(guò)M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系解：（1）拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為拋物線方程為y2= 4x（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）， 由題意得B（0，4），M（0，2），又F（1，0）， 則FA的方程為y=（x1），MN的方程為解方程組（3）由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)，直線AK與圓M相離，當(dāng)

14、m4時(shí)，直線AK的方程為 即為圓心M（0，2）到直線AK的距離，令時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m=1時(shí)，直線AK與圓M相切； 當(dāng)時(shí)，直線AK與圓M相交9（2003上海）如下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬22 m，要求通行車(chē)輛限高45 m，隧道全長(zhǎng)25 km，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（1）若最大拱高h(yuǎn)為6 m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6 m，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為底面積乘以高本題結(jié)果均精確到01 m）22lh(單位 m):（1）解：如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，45

15、），橢圓方程為+=1將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)l=2a=333因此隧道的拱寬約為333 m（2）解法一：由橢圓方程+=1，得+=1因?yàn)?，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=當(dāng)S取最小值時(shí)，有=，得a=11，b=此時(shí)l=2a=22311，h=b64故當(dāng)拱高約為64 m、拱寬約為311 m時(shí)，土方工程量最小解法二：由橢圓方程+=1，得+=1于是b2=·a2b2=（a2121+242）（2+242）=81×121，即ab99，當(dāng)S取最小值時(shí)，有a2121=得a=11，b=，以下同解法一10 (2006四川)已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，

16、直線ykx1與曲線E交于A、B兩點(diǎn) 如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求 解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知yACBOx 故曲線的方程為 設(shè)，由題意建立方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有 解得又 依題意得 整理后得 或 但 故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為到的距離為 的面積【探索題】（2002春全國(guó)）已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1（4，0）、F2（4，0），過(guò)點(diǎn)F2，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且F1BF2B10橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2）滿

17、足條件：F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍y xFF12ABBC'O（1）解：由橢圓定義及條件知2aF1BF2B10，得a5又c4，所以b3故橢圓方程為1（2）解：由點(diǎn)B（4，yB）在橢圓上，得F2ByB方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x，離心率為根據(jù)橢圓定義，有F2A（x1），F(xiàn)2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得（x1）（x2）2×由此得出x1x28設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0），則x04方法二：由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得2×， 由A（x1，y1）在橢圓1上，得y12（25x12），所以=（254x1） 同理可得（254x2） 將代入式，得（254x1）（254x2）所以x1x28設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0），則x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得9x1225y129×25， 9x2225y229×25 由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）將x0=4，y0，（k0）代