排列組合典型類(lèi)型題總結(jié)材料

1、排列組合一 . 相鄰問(wèn)題捆綁法 : 題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例 1. A, B,C , D , E 五人并排站成一排， 如果 A, B 必須相鄰且 B 在 A 的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A、60 種B、48種C、36種D、24種二 . 相離問(wèn)題插空法 : 元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端 .例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A、1440 種B、3600 種C、4820 種D、4800 種元素相同問(wèn)題隔板策略將 n 個(gè)相同的元素分成m 份（

2、 n， m 為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素,可以用 m-1 塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的n-1 個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cnm 11例 3 某校召開(kāi)學(xué)生會(huì)議，要將10 個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級(jí)的6 個(gè)班中，若每班至少1 個(gè)名額，又有多少種不同分法？例 4 把 20 個(gè)相同的球全部裝入編號(hào)分別為1，2，3 的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則共有種不同的放法。三 . 特殊元素或特殊位置優(yōu)限法： 優(yōu)先解決帶限制條件的元素或位置， 或說(shuō)“先解決特殊元素或特殊位置”例 5.1 名老師和 4 名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？四 . 分組分配：1

3、基本的分組的問(wèn)題例 4 六本不同的書(shū)，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 每組兩本 .(2) 一組一本，一組二本，一組三本 .(3) 一組四本，另外兩組各一本 .2. 基本的分配的問(wèn)題(1) 定向分配問(wèn)題例 5 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 甲兩本、乙兩本、丙兩本 .(2) 甲一本、乙兩本、丙三本 .(3) 甲四本、乙一本、丙一本 .(2) 不定向分配問(wèn)題例 6 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 每人兩本 .(2) 一人一本、一人兩本、一人三本 .(3) 一人四本、一人一本

4、、一人一本 .例 7 六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？3. 分配問(wèn)題的變形問(wèn)題例 8 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4 的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？例 9 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2 人承擔(dān)，乙、丙各需 1 人承擔(dān)，從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？例 10 設(shè)集合 A=1，2，3，4 ， B=6， 7，8 ，A 為定義域， B 為值域，則從集合 A 到集合 B 的不同的函數(shù)有多少個(gè)？五 . 相同元素隔板法及應(yīng)用:情形 1：將 n 件相同的物品或（名額）分配給 m個(gè)（或位置），允許若干個(gè)人或（位置）為空。將 n

5、件物品和 m-1 個(gè)隔板排成一排，占 n+m-1 個(gè)位置，從 n+m-1個(gè)位置選 m-1 位置放隔板，有 Cnm -m1 -1種。情形 2：將 n 件相同的物品或（名額）分配給m個(gè)（或位置），每個(gè)位置必須有物品，有Cnm-1-1 種。例 11. 把 20 個(gè)相同的球放入 4 個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子都不空，有多少種不同方法？把 20 個(gè)相同的球放入 4 個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少有 3 個(gè)小球，有多少種不同方法？把 20 個(gè)相同的球放入編號(hào)為 2，3，4，5 的 4 個(gè)盒子，每個(gè)盒子的小球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有多少種不同方法？把 20 個(gè)相同的球放入 4 個(gè)不同的盒子，盒子可以空，有多少種不同方法？

6、1. 指標(biāo)分配問(wèn)題。例 12、某校召開(kāi)學(xué)生會(huì)議，要將 10 個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級(jí)的 6 個(gè)班中，若每班至少 1 個(gè)名額，又有多少種不同分法？2. 求 n 項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)。例 13、求 ( xx2x )10展開(kāi)式中共有多少項(xiàng)？15例 14、求方程 x1 + x2 + x5 =7 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。五 至多，至少問(wèn)題排除法例 15. 從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任取 3 臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有A、140種B、80種C、70種D、35種例 16. （1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A、70 種B、64種C、58種D、52種（ 2）四面體的頂點(diǎn)和各棱

7、中點(diǎn)共A、150 種 B 、147 種10 點(diǎn)，在其中取C、144 種4 個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有D、141 種六 . 綜合問(wèn)題先選后排例 17. （1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1， 2， 3， 4 的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？（ 2） 9 名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男 5 名，女 4 名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？七 . 對(duì)等問(wèn)題縮倍法 : 在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例 19. A, B, C , D , E 五人并排站成一排，如果 B 必須站在 A 的右邊（ A, B 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A、24 種B、60種C、90種D、120種十 . 多排問(wèn)題單排法 : 把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.例 20. （1）6 個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3 個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是A、36 種B、120 種C、720 種D、1440 種（ 2） 8 個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排 4 個(gè)元素，其中某 2 個(gè)元素要排在前排，某 1 個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？復(fù)雜的排列組合問(wèn)題例 23 上一個(gè)有 10 級(jí)臺(tái)階的樓梯，每步可上一級(jí)或兩級(jí)，共有多少種上臺(tái)階的方法？例 24 如圖 1 中 A，B，C，D 為海上四個(gè)島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方案共有（）A.8 種