四川省樂山市峨眉山市博睿特外國語學(xué)校年中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用華東師大

1、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用:動(dòng)點(diǎn)中的二次函數(shù)問題:1、如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC(O為原點(diǎn))，AC/ OB OCL BC, 0A=2 AC, OB的長是關(guān)于x 的方程 x -( k+2) x+5=0 的兩個(gè)根，且 Saoc Sabo(=1 : 5.(1) 填空：0C= 口，k= 4;(2) 求經(jīng)過0, C, B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3) AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,動(dòng)點(diǎn)P, Q分別從0, D同時(shí)出發(fā)，都以每秒 1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OB由OB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿DC由DC運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QML CD交BC于點(diǎn)M,連接PM設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)你探索：當(dāng)t為何值時(shí)， PMB是直角三角形.設(shè)所

2、求拋物線解析式為O),y=ax (x- 5),a=-y=-121 2亠5 X +X .2 2(3)直線 AC: y=2 .直線AC與拋物線交于點(diǎn)C, D.解得 xi=1, X2=4. CD=3延長 QM交 x軸于點(diǎn)N. 假設(shè)ML OB那么四邊形 AOPQ1矩形, AQ=OP 4 - t=t，且 t=2 .2 假設(shè) PML BM 貝U MN=PN?BN.MN 1+t廠4t+i2PN=5-( 1+t ) - t=4 - 2t , BN=1+t,Hl 2 (號(hào))2= (4-2t ) (1+t ), t 1= - 1 (舍去)，t 2=.1綜上所得，當(dāng)t=2 (秒)，或t= (秒)時(shí)， PMB是直角三

3、角形.3角形.BC=4,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)， MBC是等邊三(1) 求證：梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且/ MPQ=6保持不變. 設(shè)PC=x MQ=y 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在(2)中： 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn) P、M和點(diǎn)A、B C D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊 形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)； 當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷 PQC的形狀，并說明理由.考點(diǎn)：等腰梯形的判定；二次函數(shù)的應(yīng)用；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定； 相似三角形的判定與性質(zhì).專題：綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)需證 AMBA DMC可得AB=DC可得

4、梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 可證 BPMhA CQP , PC=x, MQ=y BP=4- x, QC=4- y,芒 _-,BflI BP-k即可得出y真2 - x+4；4(3) 應(yīng)考慮四邊形 ABPM和四邊形 MBPD勻?yàn)槠叫兴倪呅?，四邊?MPC刖四邊 形APCM勻?yàn)槠叫兴倪呅螘r(shí)的情況；由( 2)中的函數(shù)關(guān)系，可得當(dāng) y取最小值 時(shí)，x=PC=2 P 是 BC的中點(diǎn)，MPL BC,而/ MPQ=6 , / CPQ=30 , / PQC=90 .解答：(1)證明： MBC是等邊三角形， MB=MC / MBCM MCB=60 . M是AD中點(diǎn)，AM=MD/ AD/ BC/ AMBM M

5、BC=60，/ DMCW MCB=60 . AMB2A DMC AB=DC梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊 MBC 中，MB=MC=BC=4/ MBCM MCB=60，/ MPQ=6 ,/ BMP：+ BPMM BPM：+ QPC=120 ./ BMPMQPC BPMTA CQP r?_CLj/ PC=x MQ=y BP=4- x, QC=4- y. x 4-y4 4 - x y= - x+4. 4s(3)解：當(dāng) BP=1時(shí)，那么有 BP Am BMD 那么四邊形BPDM為平行四邊形，當(dāng)BP=3時(shí)，那么有 PC AM P愛MD 那么四邊形APCM為平行四邊形，當(dāng) BP=1, MQ或 B

6、P=3, MqL時(shí)，44以P、M和A、B、C D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形此時(shí)平行四 邊形有2個(gè).、PQC為直角三角形.| 2 y=- (x- 2) +3,4當(dāng)y取最小值時(shí)，x=PC=2. P 是 BC的中點(diǎn)，MPL BC,而/ MPQ=6 ,/ CPQ=30 ,/ PQC=90 . PQC是直角三角形.點(diǎn)評(píng)：此題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用.3、如圖 1,在梯形 ABCD中, AB=BC=10cm CD=6cm / C=Z D=90 .(1) 如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)以每秒1cm的速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA AD, DC運(yùn)動(dòng) 到點(diǎn)C停止，

7、點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)t秒時(shí)， PBQ的 面積為yi (cm2),求yi (cm?)關(guān)于t (秒)的函數(shù)關(guān)系式；(2) 如圖3,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1cm的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在線段CD上隨之運(yùn)動(dòng)，且PC=PE設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)t秒時(shí)，四邊形 PADE的面積為y2 (cmf),求 ycnf關(guān)于t 秒的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量考點(diǎn)：梯形；二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定與性質(zhì). 專題：壓軸題.BPQ中，BQ邊上的高的值，分三種情況進(jìn)行討論：P作PNL BC于N,過A作AML BC于M,那么AM的值BPN和BAM中，表示出 PN的長.PN=DC PC=BA+AD+DCt

8、.yi, t的函數(shù)關(guān)系式.因此其面積可用梯形 ABCD勺面積-BPC和 CPE分析：1此題的關(guān)鍵是看三角形 當(dāng)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過不難求出，可在相似三角形 當(dāng)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高 當(dāng)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出2由于四邊形APED不是規(guī)那么的四邊形， 三角形BPC的面積-三角形 CPE的面積來求.關(guān)鍵還是求出三角形的高，過 P分另吐乍PFLCD于F，PHLBC于H, PH=CF=CE而PF的長可用 BC-BH來得出，由此可得出關(guān)于 y2與t的函數(shù)關(guān)系式.解答：解：1過點(diǎn)A作AMLBC于M,如圖1,貝U AM=6 BM=8 AD=MC=2過點(diǎn)P作PNL BC于 叫那么厶P

9、NBA AMB.PN Bg 頁頁.PN_ t& P- 當(dāng)點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，丄t?衛(wèi)t=2 5 10 當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ=BC=10 PN=DC=6y1= BQ?NP= X 10X 6=30;心皿?t2；1；當(dāng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，yi= BQ?CP= X 10 ( 10+2+6- t ) =- 5t+90 .:(2)過點(diǎn)P作PFLCD于F, PHLBC于H,如圖2,/ BCD=90 ,四邊形PHCF是矩形，3 FC=EF=PH*t,5在 Rt BHP中，BH=卜- PF=BG HB=10上52 = S 梯形 ABCD SaBPC- SaPECF ( 2+10)X 6 丄 x 10X2t

10、 -上t ( 10 1252 5=t2 - 9t+36當(dāng) CE=C時(shí)，上t=6 ,5 t=5 .自變量t的取值范圍是OWt w5.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)，三角形的相似，圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).不規(guī)那么圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形的面積的和差.二：幾何圖形移動(dòng)中的二次函數(shù)問題：4、如圖，Rt PMN中，/ P=90, PM=PN MN=8cm矩形 ABCD的長和寬分別為 8cm和2cm, C點(diǎn)和M點(diǎn)重合，BC和MN在一條直線上.令 Rt PMN不動(dòng)，矩形 ABCD沿 MN所在直線向右以每秒 1cm的速度移動(dòng)如圖 2,直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止.設(shè)移動(dòng) x秒后，矩形ABC

11、DWA PMN重疊局部的面2積為ycm .求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題.分析：在Rt PMN中解題，要充分運(yùn)用好垂直關(guān)系，作垂直輔助線，延長AD構(gòu)成一個(gè)長方形，更有利解題，因?yàn)榇祟}也是點(diǎn)的移動(dòng)問題，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動(dòng)到停止，和 Rt PMN重疊局部的形狀可分為以下三種情況，1 C點(diǎn)由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過程中0Wxw2 ;2當(dāng)C點(diǎn)由F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)的過程中2xW6;3當(dāng)C點(diǎn)由T點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中6xw8;把思路理清晰，解題就容易了.解答：解：在Rt PMN中，/ PM=PN,Z P=90 / PMNW PNM=45 ,延長AD分別交PM

12、 PN于點(diǎn)G H.過G作GFLMN于F,過H作HTLMN于T./ DC=2cm MF=GF=2cm TN=HT=2cm/ MN=8cm MT=6cm因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開 始向右移動(dòng)到停止，和 Rt PMN重疊局部的 形狀可分為以下三種情況：(1) 當(dāng)C點(diǎn)由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過程中(OWx2)，如圖所示，設(shè)CD與PM交于點(diǎn)E,那么重疊局部圖形是 Rt MCE且MC=EC=x y=MC?EC=x2 ( 0 W x G(2) 當(dāng)C點(diǎn)由F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)的過程中( 直角梯形MCDG/ MC=x MF=2,.FC=DG=- 2, 且 DC=2 y=_L ( MC+GD?DC=2- 2 (2

13、 v xw 6).2B Vj F 心 T Nao2vxw 6),如圖所示，重疊局部圖形是6v xw 8),如圖所示,設(shè)CD與 PN交于點(diǎn)Q,那么重疊局部圖形是五邊形 MCQHG/ MC=x.CN=CQ=B x，且 DC=2y=j_ ( MN+G) ?DC- CIN CQ2 22=(8 - x) +12 (6vxw 8).點(diǎn)評(píng)：此題主要考查直角三角形的性質(zhì)和垂直關(guān)系的應(yīng)用，直角三角形內(nèi)部輔助線的作法， 以及分類討論思想的應(yīng)用.5、如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=AD=DC=2qmBC=4cm 在等腰 PQR中，/ QPR=120，底 邊QR=6cm點(diǎn)B C、Q R在同一直線I上

14、，且C、Q兩點(diǎn)重合，如果等腰 PQR以1cm/秒的速度沿 直線I箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰 PQR重合局部的面積記為 S平方厘米.(1) 當(dāng)t=4時(shí)，求S的值；(2) 當(dāng)4W t w 10,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值.考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；二次函數(shù)綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)； 解直角三角形.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)首先判定當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，貝求厶BDC的面積即可. (2)分別從4W t V 6與6W t 10去分析，求得各自的函數(shù)解析式，再分析各種情況 下的最大值即可求得答案.解答：解：(1 )

15、當(dāng)t=4時(shí)，CQ=4cm過點(diǎn)A作AEL BC于E,過點(diǎn)D作DF丄BC于F,/, AD/ BC AB=AD=DC=2cmBC=4cm BE=1, AE=DF=J ；cm,在厶ABE和厶DFC中AE=DFZaebZdfc ,AB=CD ABEA DFC BE=CF/ EF=AD=2cm BC=4cng BE=CF=1cm點(diǎn)D與點(diǎn)P重合， S ABD?DFdX4X -;=2(cmf);(2)當(dāng)4W t V 6時(shí)，P在線段 AD上，作KHL QH,過點(diǎn) M作MNL BC于N,/ Q=30，/ 1=60,/ 2=Z 1 -Z Q=30 ,/ 3=Z 2=30, QB=BM=QCBC=t- 4,vZ R=

16、Z Q=30 , Z DCBZ ABC=60 , Z CKRZ DCB-Z R=3C =Z R, KC=CR=- t , HK=KC?sin60 =3 ( 6 - t)2同理：MN= (t - 4), S = SPQR SBQM- SacR QR?心BQ?MNNR?KH=X 6X2 v 0,開口向下，2S有最大值，2X ( -2)當(dāng)t=-=5時(shí),2-丄X :; (6 - t) 2=-:;t2+5 :t - 10 :,2 2 2S最大值為-；當(dāng)6 t 0時(shí)，開口向上,(10- t) =口2- ；t+：,8綜上，t=5 時(shí)，S最大值為2P/SR LAP DOB NG H匕R t=6時(shí)，S最大值為2

17、 二；AO,cos30二，tan302(參考數(shù)據(jù)：sin30C點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函數(shù)等根底知識(shí)，考查 運(yùn)算能力、推理能力和空間觀念.三：圖形變換中的二次函數(shù)問題：6、如下圖，邊長為 1的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30,使點(diǎn)A落在拋物線y=ax2 (av 0)的圖象上.2(1) 求拋物線y=ax的函數(shù)關(guān)系式；(2) 正方形OABC繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax2的圖象上并求這個(gè)點(diǎn)的 坐標(biāo).考點(diǎn)： 專題： 分析：二次函數(shù)綜合題.綜合題.(1) 由于OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后A點(diǎn)落在拋物線上，設(shè)此

18、時(shí)的A點(diǎn)為A，過Ai作Ai丄x 軸于M,那么可根據(jù)正方形的邊長和ZA iOA的度數(shù)求出 AM和OM的長，即可得出 A 的坐標(biāo)，然后根據(jù) Ai的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式.(2) 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可得出要經(jīng)過i20點(diǎn)A才會(huì)再落到拋物線的圖象上.且近-1此點(diǎn)與A1關(guān)于y軸對(duì)稱，即坐標(biāo)為(-解答:).2|解：(i)設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn) A落在拋物線上點(diǎn) Ai處，OA=OA=i, 過Ai作A Mix軸于M根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：二，A M=O/Sin302亞,書).2那么 OM=OAos30 =ZA iOM=30 ,2所以A (由A在y=ax2上，代入拋物線解析式得:=a (：2 2解得_X2y=(2)由拋物線關(guān)于y

19、軸對(duì)稱，再次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn) A落在拋物線點(diǎn) A處，點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于 y軸對(duì)稱，因此再次旋轉(zhuǎn)i 20,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-上2VC0/ V/Jr 點(diǎn)評(píng):此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)確實(shí)定、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).7、如圖，在直線I上擺放有厶ABC和直角梯形 DEFG且CD=6cm；在厶ABC中：Z C=9C , Z A=30 , AB=4cm 在直角梯形 DEFG中: EF/ DG Z DGF=90 , DG=6cm DE=4cm Z EDG=60度.解答以下問 題：E1B廠ACDGI(1 )旋轉(zhuǎn)：將厶ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90,請(qǐng)你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形AAi B C,并求出AB的長度；

20、(2)翻折：將AA i B C沿過點(diǎn)Bi且與直線I垂直的直線翻折，得到翻折后的對(duì)應(yīng)圖形AA2B C,試判定四邊形A2B1DE的形狀并說明理由；(3) 平移：將AA 2B1G沿直線I向右平移至AA 3B2C2,假設(shè)設(shè)平移的距離為 x, AsB2C2與直角梯形重 疊局部的面積為 y,當(dāng)y等于 ABG面積的一半時(shí)，x的值是多少.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；二次函數(shù)綜合題；平行四邊形的判定；翻折變換(折疊問題)；平移的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到 GB =GB在直角三角形 ABG中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出BC的長，即GB的長，就可以求出 AB的長度；(2) 四邊形A2B1DE是菱形，可以證

21、明 AB與DE平行且相等，得到四邊形ABiDE是平 行四邊形，又 AB=BD=4,所以平行四邊形 A2B1DE是菱形.(3) y等于 ABG面積的一半時(shí)有兩種情況，一種是當(dāng)A3B2與DE相交時(shí)，即當(dāng)2 10 時(shí)，y=0 ,此時(shí)重疊局部的面積不會(huì)等于厶ABC的面積的一半. 當(dāng)2xv 4時(shí)，直角邊B2G2與直角梯形的下底邊 DG重疊的長度為 DG=GC2-DG= (x-2) cm ,2(x 2). ； (x - 2)解得;廠-(舍)或x=2+.當(dāng)x=2+. :cm時(shí)，重疊局部的面積等于 ABC的面積的一半. 當(dāng)4cmW xv 8cm時(shí)， 3B2C2完全與直角梯形重疊，即 y= 5cm . 當(dāng) 8c

22、mrcxv 10cm時(shí)，B2G=BC2 GG=2( x - 8) =10 - xcm那么 y=(10 - x)?-； ( 10 -X) = ( 10 - X)2,2 2當(dāng) y=SuB(= 時(shí)，即二(10 - x) 2= ：_；,2 2 解得x=10 -甘勺cm,或 x=10+. -：cm (舍去).當(dāng)x=10 -2cm時(shí)，重疊局部的面積等于厶ABC的面積的一半.由以上討論知，當(dāng) x=2+J=cm或x=10 - 丫cm時(shí)，重疊局部的面積等于厶ABC的面積 的一半.J;1 _ 二2/AcC1點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解此題是解決的關(guān)鍵.8、如圖，在矩形 ABCD中, AB=

23、3, AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè) AP=x現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn) D 與點(diǎn)P重合，得折痕EF (點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn))，再將紙片復(fù)原.(1) 當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長為 3 ;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為.:;(2) 請(qǐng)寫出使四邊形 EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng) x=2時(shí)菱形的邊長；(3) 令Ef=y，當(dāng)點(diǎn)E在AD點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)y取最大值時(shí)，判斷 EAP與厶PBF是否相似？假設(shè)相似，求出x的值；假設(shè)不相似，請(qǐng)說明理由.溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助哦！考點(diǎn)：翻折變換(折疊問題)；二次函數(shù)綜合題；相似三角形的性質(zhì). 專題：代數(shù)幾

24、何綜合題；壓軸題.分析：(1)當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，那么折痕EF的長等于矩形 ABCD中的AB,當(dāng)點(diǎn)E與 點(diǎn)A重合時(shí)，折痕是一個(gè)直角的角平分線，可求EF=:飛;(2) 由題意可知，EF垂直平分線段 DP要想使四邊形 EPFD為菱形，貝U EF也應(yīng)被DP 平分，所以點(diǎn)E必須要在線段 AB上，點(diǎn)F必須在線段DC上，即可確定x的取值范圍.再 利用勾股定理確定菱形的邊長.(3) 構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例確定y的值，再利用二次 函數(shù)的增減性確定y的最大值.解答：解：(1 )當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF=AB=3當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF=T應(yīng).(2) Kx點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系

25、數(shù)法求函數(shù)的解析式利用數(shù)形結(jié)合的方法解決此題，理解圖 形中圓與直線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12、：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，一次函數(shù)y=kx - 4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A,拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過O A兩點(diǎn).1試用含a的代數(shù)式表示b;2設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D,以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩局部假設(shè)將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在OD內(nèi)，它所在的圓恰與 OD相切，求OD半徑的長及拋物線的解析式；3 設(shè)點(diǎn)B是滿足2中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的局部上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得/ POA=/ OBA假設(shè)存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.3考點(diǎn)：二次函

26、數(shù)綜合題.專題：壓軸題.分析：1根據(jù)圖象，易得點(diǎn) A、C的坐標(biāo)，代入解析式可得 a、b的關(guān)系式；2 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，結(jié)合題意，分a 0, av 0兩種情況討論，可得答案;3根據(jù)題意，設(shè)出 P的坐標(biāo)，按P的位置不同分兩種情況討論，可得答案.解答：解：1解法一 ：t 一次函數(shù)y=kx - 4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn) A的坐標(biāo)為4, 0.2拋物線y=ax +bx+c經(jīng)過O A兩點(diǎn)， c=0, 16a+4b=0. b=- 4a 1 分.解法二：t一次函數(shù) y=kx - 4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A, 點(diǎn) A的坐標(biāo)為4, 0.2拋物線y=ax +bx+c經(jīng)過O A兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2. b

27、= 4a 1 分.2由拋物線的對(duì)稱性可知，DO=DA點(diǎn) 0在OD 上，且/ DOAMDAO又由1知拋物線的解析式為 y=ax2-4ax點(diǎn)D的坐標(biāo)為2， 4a 當(dāng)a0時(shí)，如圖設(shè)OD被x軸分得的劣弧為I 1,-.,它沿x軸翻折后所得劣弧為A,顯然I -,所在的圓與OD關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)它的圓心為D點(diǎn)D與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)0在O D上，且OD 與0D相切，點(diǎn)0為切點(diǎn)2分 DO 丄 OD/ DOAN DOA=45 ADO為等腰直角三角形OD=2 二3 分點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-2 4a= 2, a=,b= 4a= 2.2拋物線的解析式為 yx 2x. 4分 當(dāng)av 0時(shí)，同理可得：OD=2 :?拋物線的解析式

28、為y=-丄x2+2x 5分2x 或 y=-x2+2x.2綜上，OD半徑的長為拋物線的解析式為p,使得/ POA/ OBA3答：拋物線在 x軸上方的局部上存在點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x, y，且y 0當(dāng)點(diǎn)P在拋物線yx2-2x上時(shí)如圖點(diǎn)B是OD的優(yōu)弧上的一點(diǎn)/ OBAd/ ADO=4524/ POAd/ OBA=603過點(diǎn)P作PE丄x軸于點(diǎn)E, tan / POE= H=tan60 , y= _ ：.由i-2xL2解得：rKp4+2V3rx=0芒訐6十4血嚴(yán)二0舍去點(diǎn)P的坐標(biāo)為4吃島，E+4/5.7 分當(dāng)點(diǎn)p在拋物線y=肖2+2x上時(shí)如圖同理可得，y _ y=-知5工L.盂嚴(yán)-2第k2=0旳二-6+4

29、書冷舍去解得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為4 -血,-6+43 9分,-6+4 ：;).綜上，存在滿足條件的點(diǎn) P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為4+2.： ；,6+4.;或4 -點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力.13、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、C,與y軸相交于點(diǎn)B, A(),4且厶 AOB BOC(1) 求C點(diǎn)坐標(biāo)、/ ABC的度數(shù)及二次函數(shù) y=ax2+bx+3的關(guān)系式；(2) 在線段AC上是否存在點(diǎn) M( m 0).使得以線段BM為直徑的圓與邊 BC交于P點(diǎn)(與點(diǎn)B不同), 且以點(diǎn)P、C O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在

30、，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：專題：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)綜合題；等腰三角形的性質(zhì). 綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.分析：(1) 由二次函數(shù)y=ax2+bx+3的解析式，首先求出 B點(diǎn)坐標(biāo)，然后由厶AOB BOC根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OC的長度，得出C點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)相似三角形2的對(duì)應(yīng)角相等得出/ OABM OBC從而得出/ ABC=90 ;由 y=ax+bx+3圖象經(jīng)過點(diǎn) A(-衛(wèi)，0), C (4, 0),運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此二次函數(shù)的關(guān)系式；4(2) 如果以點(diǎn)P、C、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論： CP=COPC-POOC-OP針對(duì)每一種情況，都應(yīng)首

31、先判斷M點(diǎn)是否在線段 AC上，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出m的值.解答：解：(1)由題意，得B (0, 3),/ AOBA BOC / OABM OBC2. 25.330COC=4 - C ( 4, 0);/ OAB# OBA=90 ,/ OBC+ OBA=90 ,/ ABC=90 ; y=ax2+bx+3 圖象經(jīng)過點(diǎn) A (- 3, 0), C (4, 0),tl6a+4b+3=02 y= - x +x+3;3 12(2)如圖1,當(dāng)CP=CO寸，點(diǎn)P在BM為直徑的圓上, 因?yàn)锽M為圓的直徑，/ BPM=90 , PM/ AB CPMh CBA CM CA=CP CBCM 6.25=4

32、 : 5, CM=5 m=4- 5= - 1; 如圖2，當(dāng)PC=PO寸，點(diǎn)P在OC垂直平分線上，得 PC=-BC=2.5,由厶 CPMh CBA 得 CM=,8 m=4- = 1;8 8 當(dāng)OC=O時(shí)，M點(diǎn)不在線段AC上.綜上所述，m的值為二或-1.%lVI匚X/ mBi點(diǎn)評(píng)：此題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，探究等腰三角形 的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求高考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學(xué)思想方法.五：二次函數(shù)中的一般問題：14、拋物線 y=x - mx+ rnr 2.(1) 求證：此拋物線與 x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2) 假設(shè)m是整數(shù)，拋物線 y=x2

33、 - mx+葉2與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，求 m的值；(3) 在(2)的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A,拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為 B.假設(shè)m為 坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且 MA=MB求點(diǎn) M的坐標(biāo).(2)(町 2)因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2- mx+m- 2=。的根為込2考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)綜合題；壓軸題.分析：2(1)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即是 0，只要表示出，通過配方得到(m 2) +4即可說明此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；由m為整數(shù)，當(dāng)(m- 2) 2+4為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn). 列 方程即可求得；(3)首先確定函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得A, B的坐標(biāo)，根據(jù)題意列方程即可

34、.解答：(1)證明：令 y=0，貝U x2 - mx+n 2=0.因?yàn)?=m - 4m+8= ( m- 2) +4 0, (1 分)所以此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(2分)(2 ) 解：因?yàn)殛P(guān)于 x 的方程 x2 - mx+m -2=0 的根為in士4 ( - m)m - 2) m土寸(皿 - 2 )藝+4x=,2 2由m為整數(shù)，當(dāng)(m- 2) 2+4為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn).2 2設(shè)(m- 2) +4=n (其中n為整數(shù))，(3分)那么n+ ( m- 2) n -( m- 2) =4因?yàn)閚+ ( m- 2)與n -( m-2)的奇偶性相同，n+m - 2=2所以1

35、 n 一 mi-2=2rniri- 2= - 2或、n iir2= _ 2解得m=2經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng) m=2時(shí)，方程x2 - mx+nr 2=0有整數(shù)根.所以m=2 (5分)(3) 解：當(dāng)m=2時(shí)，此二次函數(shù)解析式為 y=x2 - 2x= (x - 1) 2 - 1 , 那么頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，- 1).拋物線與x軸的交點(diǎn)為0( 0, 0)、B (2, 0).設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)M，那么M (1, 0). 在直角三角形 AMO中，由勾股定理，得卜.由拋物線的對(duì)稱性可得，卜又因?yàn)?： T :,即 OA+AB=OB .所以 ABO為等腰直角三角形.(6分)貝U MA=MB .所以M (1 , 0

36、)為所求的點(diǎn).(7分)假設(shè)滿足條件的點(diǎn) M在y軸上時(shí)，設(shè)M2坐標(biāo)為(0, y),過A作ANLy軸于N,連接 AM、BM,貝U MA=MB .由勾股定理，即 ma2=mnF+aN； mb2=m(J+oB,即(y+1) 2+12=y2+22 .解得y=1.所以M (0, 1)為所求的點(diǎn).(8分)綜上所述，滿足條件的 M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, 0)或(0, 1).1710-1A點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題意；特別是要注意 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.此題屬于難度大的問題，要注意審題.15、：直線y=2x+6與x軸和y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y= - x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、

37、C,點(diǎn)B 是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式及 B的坐標(biāo)；(2) 設(shè)點(diǎn)P是直線 AC上一點(diǎn)，且 Smbp： S/c=1: 3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)直線y二二x+a與(1)中所求的拋物線交于 M N兩點(diǎn)，問：是否存在a的值，使得/ MON=9 ?假設(shè)存在，求出a的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題. 專題：壓軸題.分析：(1)先根據(jù)直線的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后將 A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo).(2) 根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實(shí)際是 AP: PC=1: 3,即3AP=PC可

38、先求出AC的長，然后分情況討論： 當(dāng)P在線段AC上時(shí)，AP+PC=AC 3AP=PC據(jù)此可求出 AP的長，然后根據(jù)/ CAB的三角函數(shù)值或通過構(gòu)建相似三角形可求出P點(diǎn)的坐標(biāo). 當(dāng)P在CA的延長線上時(shí)，CP- AP=AC 3AP=PC據(jù)此可求出 AP的長，后面同.(3) 可聯(lián)立兩函數(shù)的解析式， 求出M N的坐標(biāo)，過M N作x軸的垂線設(shè)垂足為 M、 N,由于/ MON=9，因此可得出 MM O 與厶N(yùn) NO相似，可得出 M N兩點(diǎn)的橫、 縱坐標(biāo)的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此可求出 a的值.(也可用坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)勾股定理來求解.)解答：解：(1 )當(dāng)x=0時(shí)，y=6, C (0, 6),當(dāng)

39、 y=0 時(shí)，x= - 3,-A (- 3, 0),拋物線y= - x +bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C,(-9 - 3b+c=0I c=6拋物線的解析式為 y=- x2- x+6, 當(dāng)y=0時(shí)，整理得 x2+x - 6=0, 解得：xi=2, X2=- 3,點(diǎn) B (2, 0).(2)過點(diǎn)B作BDLAC D為垂足, S ABP： SB PC=1 : 3, AP PC=1: 3由勾股定理，得AC= , , ,當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn) P作PHLx軸，點(diǎn)H為垂足, PH AP 1DC-AC-4 PH,2 M=2x+6,2點(diǎn)P ( 24 2當(dāng)點(diǎn)P在CA延長線時(shí)，作 PGLx軸，點(diǎn)G為垂足/ AP PC=1 : 3 AP AC=1 : 2,巴理丄 伍飛5書， PG=3 - 3=2x+6點(diǎn) P ( 2 3).2(3) 存在a的值，使得/ M0N=9,y= - x? - x+6的交點(diǎn)為M (