公務(wù)員考試應(yīng)用解析

1、 一、濃度問題 濃度問題就是指溶液的濃度變化問題。解決濃度問題，我們首先要了解溶液、溶劑、溶質(zhì)和濃度的關(guān)系，根據(jù)溶液濃度的前后變化解決問題。 溶度問題包括以下幾種基本題型 1、溶劑的增加或減少引起濃度變化。 不論溶劑增加或減少，溶質(zhì)是始終不變的。 2、溶質(zhì)的增加引起濃度變化。 溶質(zhì)和濃度都增大了，但溶劑是不變的。 3、兩種或幾種不同溶度的溶液配比問題。 面對(duì)這種問題，要抓住混合前各溶液的溶質(zhì)和與混合後溶液的溶質(zhì)質(zhì)量相 等。 溶質(zhì)、溶劑、溶液和濃度具有如下基本關(guān)系式溶液的質(zhì)量 =溶質(zhì)的質(zhì)量 +溶劑的質(zhì)量濃度 =溶質(zhì)質(zhì)量 / 溶液質(zhì)量 溶液質(zhì)量 =溶質(zhì)質(zhì)量 * 濃度 溶質(zhì)質(zhì)量 =溶液質(zhì)量 / 濃度

2、 【例題 1】甲容器中有濃度為 4%的鹽水 250 克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干克。現(xiàn)從乙中取出 750 克鹽水，放入甲容器中混合成濃度為 8%的鹽水。問乙容器中的鹽水濃度約是多少 ?( ) A. 9.78% B. 10.14% C. 9.33% D. 11.27% 【答案及解析】這是一道傳統(tǒng)的不同濃度溶液混合產(chǎn)生新濃度溶液的問題。解此類題傳統(tǒng)的方法就是根據(jù)混合前后的各溶液的溶質(zhì)、溶劑的變化，然后按照 解濃度問題公式求解就可。解：甲容器中鹽水溶液中含鹽量 =2504%=10 克 ; 1 混合后的鹽水溶液的總重量 =250+750=1000 克; 混合后的鹽水溶液中含鹽量=10008%=80

3、 克; 乙容器中鹽水溶液中含鹽量 =80-10=70 克; 乙容器中鹽水溶液的濃度 =(70/750) 100%9.33%。 【例題 2】濃度為 70%的酒精溶液 100 克與濃度為 20%的酒精溶液 400 克混合后得到的酒精溶液的濃度是多少 ?( ) A. 30% B. 32% C. 40% D. 45% 【答案及解析】這道題類似題 1，我們依舊可以按照傳統(tǒng)的公式法來(lái)解： 100 克 70%的酒精溶液中含酒精 10070%=70 克; 400 克 20%的酒精溶液中含酒 精 40020%=80 克; 混合后的酒精溶液中含酒精的量 =70+80=150 克; 混合后的 酒精溶液的總重量 =1

4、00+400=500 克 ; 混合后的酒精溶液的濃度 =150/500 100%=30% 【練習(xí)】在濃度為 40%的酒精中加入 4 千克水，濃度變?yōu)?30%，再加入 M 千 克純酒精，濃度變?yōu)?50%，則 M 為多少千克 ? A. 8 B.12 C.4.6 D.6.4 2 二、余數(shù)問題 在公務(wù)員考試中，余數(shù)相關(guān)問題主要考查兩類問題：一類是基本余數(shù)問題，一類是同余問題。這兩類問題的區(qū)別之處在于有無(wú)“商”的出現(xiàn)，也即如果題目涉及到商，則屬于基本余數(shù)問題，如果不涉及到商，則是同余問題。 基本余數(shù)問題的考查點(diǎn)集中在基本恒等式：被除數(shù) =除數(shù) * 商+余數(shù) 基本余數(shù)問題的常規(guī)解答方式是根據(jù)題目條件及基本

5、恒等式列出方程組并求解即可。而在基本余數(shù)問題中的常用技巧是被除數(shù)大于商與余數(shù)的乘積，并 且將恒等式右側(cè)的余數(shù)移到左側(cè)時(shí)，可得到整除結(jié)論：（被除數(shù) - 余數(shù)）能夠被商或除數(shù)整除。 2、同余問題的題目通常表述為類似于 “一個(gè)數(shù)除以 9 余 1，除以 8 余 1，除以 7 余 1”這種形式。 這種問題通常的求解是先根據(jù)題目條件寫出被除數(shù)的表達(dá)式，然后根據(jù)題目的限定條件進(jìn)行具體求解；寫出表達(dá)形式的方法通常是根據(jù)口訣“余同取余，和同加和，差同減差，公倍數(shù)做周期”；如果同余問題中，待求量為某個(gè)符合要求的被除數(shù)，則通常只需代入驗(yàn)證即可。 【例 1】一個(gè)兩位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)， 商仍是兩位數(shù)， 余數(shù)是 8。問被

6、除數(shù)， 除數(shù)，商，余數(shù)之和是多少 ( )A.98 B.107 C.114 D.125 【解答】余數(shù)是 8，而除數(shù)應(yīng)該大于余數(shù)，結(jié)合除數(shù)是一位數(shù)，知除數(shù)為 9 商是兩位數(shù)，結(jié)合被除數(shù)也是兩位數(shù)，則可知商只能是 10( 否則若商不小于 11， 則被除數(shù)大于 9*11+8=107) 由此出發(fā)知被除數(shù)為 9*10+8=98 于是四個(gè)數(shù)的和為 98+9+10+8=125 3 【例 2】用六位數(shù)字表示日期，如 980716 表示 1998 年 7 月 16 日，如用這種方法表示 2009 年的日期，則全年中六個(gè)數(shù)字都不相同的日期有多少個(gè) ?()A.12 B.29 C.0 D.1 【解答】假設(shè) 2009 年

7、 AB 月 CD 日，滿足要求，它可以簡(jiǎn)寫成“ 09ABCD”由于月份當(dāng)中不能有 0，所以不能是 01-10 月，而 11 月有兩個(gè) 1，也應(yīng)該排除 . 于是： AB = 12 此時(shí)：原時(shí)刻可以簡(jiǎn)寫成“ 0912CD”由于已經(jīng)出現(xiàn)了 0、1、2，所以肯定不是 01-30 號(hào)，而 31 號(hào)里又有 1 了，排除綜上：無(wú)解。故滿足題目要求 的日期為 0 個(gè)。 .a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)，等于 a，b 分別除以 c 的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以 c 的余數(shù)）。例如， 23，16 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 1，所以（ 23+16）除以 5 的余數(shù)等于 3+1=4。注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所

8、求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以 c 的余數(shù)。例如， 23，19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，所以（ 23+19）除以 5 的余數(shù)等于（ 3+4）除以 5 的余數(shù)。 【例題 3】號(hào)碼分別是 101，126，173，193 的 4 個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù)是他們號(hào)碼的和被 3 除所得的余數(shù)。那么打球最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤？ 【答案及解析】 101 除 3 余 2，126 除 3 余 0，173 除 3 余 2，193 除 3 余 1 101 ：2+0，2+2，2+1 分別除 3 余數(shù)是 2+1+0=3（盤） 126：0+2，0+2，0+1，分別除 3 余數(shù)是 2+2+1=5（

9、盤） 173 ：2+2，2+0，2+1，分別除 3 余數(shù)是 1+2+0=3 （盤） 193：1+2，1+0，1+2，分別除 3 余數(shù)是 0+1+0=1（盤） 【例題 4】有一個(gè)整數(shù)， 用它去除 70，110，160 得到的三個(gè)余數(shù)之和是 50。 求這個(gè)數(shù)。 【答案及解析】先由題目條件，求出這個(gè)數(shù)的大致范圍。因?yàn)?4 503=16,2 ，所以三個(gè)余數(shù)中至少有一個(gè)大于 16，推知除數(shù)大于 16。由三 個(gè)余數(shù)之和是 50 知，除數(shù)不應(yīng)大于 70，所以除數(shù)在 1770 之間。由題意知 7+110+160）-50=290 應(yīng)能被這個(gè)數(shù)整除。 將 290 分解質(zhì)因數(shù)，得到 290=2529， 290 在

10、1770 之間的約數(shù)有 29 和 58。因?yàn)?11058=1,52 50，所以 58 不合題意。所求整數(shù)是 29。 .a 與 b 的乘積除以 c 的余數(shù)，等于 a，b 分別除以 c 的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以 c 的余數(shù)）。例如， 23，16 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 1，所以（ 2316）除以 5 的余數(shù)等于 31=3。注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù) 之積再除以 c 的余數(shù)。例如，23，19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，所以（2319）除以 5 的余數(shù)等于（ 34）除以 5 的余數(shù)。 ( 感覺這個(gè)在求尾數(shù)之類的問題當(dāng)中用的比較多 .) 【例題 5】算式 7+77+,

11、+7 7, 7（ 1990 個(gè) 7）計(jì)算結(jié)果的末兩 位數(shù)字是多少？ 【答案及解析】 1 個(gè) 7 是 7，2 個(gè) 7 相乘末兩位是 49，3 個(gè) 7 相乘末兩位是43，4 個(gè) 7 相乘末兩位是 01，5、6、7、8 個(gè) 7 相乘兩位又是 07，49，43，01。 把 4 個(gè)加數(shù)分成 1 組，末兩位的和是 7+49+43+1=100，末兩位位是 0。 1990/4 余 2，所以和的末兩位是 07+49=56。 【例題 6】甲、乙兩個(gè)代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘 36 人。兩代表團(tuán)坐 滿若干輛車后，甲代表團(tuán)余下的 11 人與乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。 參觀完，甲代表團(tuán)的每個(gè)成員與乙代表團(tuán)的

12、每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念。 如果每個(gè)膠卷可拍 36 張照片，那么拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可拍 幾張照片？ 【答案及解析】甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余 11 人，說明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡(jiǎn) 5 稱甲數(shù)）除以 36 余 11；兩代表團(tuán)余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團(tuán)余 36-11=25（人），即乙代表團(tuán)的人數(shù)（簡(jiǎn)稱乙數(shù)）除以 36 余 25；甲代表團(tuán)的每個(gè)成員與乙代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數(shù)乙數(shù)”張照片，因?yàn)槊總€(gè)膠卷拍 36 張，所以最后一個(gè)膠卷拍的張數(shù)，等于“甲數(shù)乙數(shù)”除以 36 的余數(shù)。 因?yàn)榧讛?shù)除以 36 余 11，乙數(shù)除以 36 余 25，所以“甲數(shù)乙數(shù)”除以

13、36 的余數(shù)等于 1125 除以 36 的余數(shù)。（1125） 36=7,23 ，即最后一個(gè)膠卷拍了 23 張，還可拍 36-23=13（張）。 星期、日期問題 【題型一】：已知某年月日為星期幾，求另一年月日為星期幾。 【解題方案】：如果日期的某月某日是相同的，則只需要考慮中間所間隔 的年份即可。此時(shí)通用的解決口訣是“一年就是 1，閏日再加 1”，也就是過 1 年當(dāng)做 1 天計(jì)算即可，在中間時(shí)間段中如果出現(xiàn)一個(gè)閏日，就再加上 1 天，然 后求解是星期幾就可以了。 如果某月某日是不同的，則先求相同的某年月日是星期幾，然后再在該年 中的不同日期之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。舉個(gè)例子，知道 2008 年 8 月 8

14、日是星期五，往求 2010 年 10 月 10 日是星期幾。 則只需先求出 2010 年 8 月 8 日是星期日， 再推出 2010 年 10 月 10 日的星期即可。 【題型二】：給出今天的之前（或之后）某些天是星期幾，然后往求另外 的某天是星期幾。 【解題方案】：這類題型與上類題型的不同之處，在于不再涉及年月日， 單純的考查不同日期之間的間隔天數(shù)，這個(gè)間隔天數(shù)是通過之前之后 * 天來(lái)進(jìn)行 6 表述的。解決的方法是畫出中間走動(dòng)的曲線，然后從已知星期幾的那天開始， 依次加減天數(shù)至目標(biāo)日即可，加減的原則是“左減右加”，也即向過去移動(dòng)時(shí) 用減法，向?qū)?lái)移動(dòng)時(shí)用加法。 對(duì)于星期日期問題，要增加難度，

15、往往是利用一些默認(rèn)的常識(shí)，讓考生自 己判斷初始日期。 例如：已知某年二月份有 5 個(gè)星期五 這個(gè)條件，就是利用 2 月份平年為 28 天，不論星期幾都只有 4 個(gè)，因此該月必然是閏年的 2 月，也即 29 天，并且 2 月 29 日是星期五。這樣就確定初始日期了。 在星期日期問題中，凡是要求星期幾，其核心就在于“過 7 天與不過是一 樣的”，所以直接劃掉天數(shù)中 7 的倍數(shù)即可。 7 三、路程問題 這類問題分為相遇問題、追及問題、流水問題 1、相遇問題要把握的核心是“ 速度和 ”的問題， 即 A、B 兩者所走的 路程和 =速度和 *相遇時(shí)間； 2、追及問題要把握的核心是“ 速度差 ”的問題， 即

16、 A、B 兩者所走的 路程差 =速度差 *追及時(shí)間； 3、流水問題，為節(jié)省空間只需記住以下結(jié)論： 船速 =（順?biāo)俣?+逆水速度） /2 ，水速 =（順?biāo)俣?- 逆水速度） /2. 當(dāng)然題目不會(huì)單純明顯的考你相遇、追及、流水問題，存在許多變形。 【例題 1】東西兩鎮(zhèn)相距 240 千米，一輛客車上午 8 時(shí)從東鎮(zhèn)開往西鎮(zhèn)，一 輛貨車上午 9 時(shí)從西鎮(zhèn)開往東鎮(zhèn)， 到中午 12 點(diǎn)，兩車恰好在兩鎮(zhèn)間的中點(diǎn)相遇。 如果兩車都從上午 8 時(shí)由兩地相向開出，速度不變，到上午 10 時(shí)，兩車還相距 多少米？ 【答案及解析】本題是一個(gè)典型的相遇問題，由題意可知， 客車速度為 120（總路程的一半） （ 12

17、-8 ）=30 千米 / 小時(shí)，貨車的速度速度為 120（12-9 ） =40 千米 / 小時(shí)，故十點(diǎn)時(shí)兩車走的距離分別為 302=60km，401=40km，相距 240-60-40=140km。 【例題 2】姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走 40 米，走了 80 米后姐姐 去追他。姐姐每分鐘走 60 米，姐姐帶的小狗每分鐘跑 150 米。小狗追上了弟弟 又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來(lái)跑去，直到姐弟相遇小狗 才停下來(lái)。問小狗共跑了多少米 ? A.600 米 B.800 米 C.1 200 米 D.1 600 米 8 【答案及解析】： 本題是一道直線追擊問題，唯一的難點(diǎn)是能否

18、理解小狗 跑的時(shí)間就是姐姐追上弟弟的時(shí)間，即追擊問題中的追擊時(shí)間 ；設(shè) x 分鐘后相 遇（即 x 分鐘后姐姐追上弟弟） ，則 40 x+80=60 x。則 x=4。 因小狗的速度為 150 米/ 分鐘，故小狗的行程為 1504=600 米，故選 A 【例題 3】一條長(zhǎng) 400 米的環(huán)形跑道，欣欣在練習(xí)騎自行車，他每分鐘行 560 米，彬彬在練長(zhǎng)跑，他每分鐘跑 240 米，兩人同時(shí)從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多 少分鐘兩人可以相遇？ 【答案及解析】 這是一道環(huán)形追及問題，追上時(shí)跑得快的人恰好比跑得慢 的多跑一圈（即多跑 400 米），根據(jù)追及問題基本關(guān)系式就可求出時(shí)間了即 400 （ 560240） 4

19、003201.25 分鐘 相遇問題和追擊問題又分為直線和封閉線路兩類。直線上的相遇與追及問題比較簡(jiǎn)單，而封閉環(huán)形的相遇與追及問題是近幾年考察較多的題型。解決這類問題關(guān)鍵是要掌握從同時(shí)出發(fā)到下次追及的路程恰是一周長(zhǎng)度，并弄清速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系。 【例題 4】甲、乙兩人練習(xí)跑步，若讓乙先跑 12 米，則甲經(jīng) 6 秒追上乙，若乙比甲先跑 2 秒，則甲要 5 秒追上乙，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，兩人相距多少米？ 【答案及解析】 本題的第一句（若讓乙先跑 12 米，則甲經(jīng) 6 秒追上乙，）可得甲乙的速度差為 126=2m/s，第二句（若乙比甲先跑 2 秒，則甲要 5 秒追上

20、乙，）可得乙的速度為 2（表示速度差） 5（追擊時(shí)間） 2（乙先跑的兩秒） =5m/s，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，兩人相距 59-2 10=25m。 【例題 5】一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站， 每隔 5 分鐘 有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走 15 分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電 9 車線路騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又 遇到了 10 輛迎面開來(lái)的電車。到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車從甲站開出。問 他從乙站到甲站用了多少分鐘。 【答案及解析】 騎車人一共看到 12 輛車，他出發(fā)時(shí)看到的是 15 分鐘前發(fā) 的車，即第 4 輛

21、車正從甲發(fā)出。騎車中，甲站發(fā)出第 4 到第 12 輛車，共 9 輛， 有 8 個(gè) 5 分鐘的間隔，時(shí)間是 5X8=40（分鐘）。 10 四、植樹問題： 植樹問題可分為三類： 一. 不封閉路線植樹問題（即首尾的樹在兩端） 1、路線兩端都植樹，開始路線一端有一棵樹，則以后每隔一段就會(huì)植一棵 樹，即總數(shù)?？倲?shù) =段數(shù) +1 應(yīng)用公式：棵樹 =線路總長(zhǎng)株距 +1, 線路總長(zhǎng) =株距（棵樹 -1 ）, 株距 =線路總長(zhǎng)（棵樹 -1 ）。 2、路線一端植樹，則 總棵樹 =總段數(shù) 。 應(yīng)用公式：棵樹 =線路全長(zhǎng)株距， 線路全長(zhǎng) =株距棵樹， 株距 =線路總長(zhǎng)棵樹。 3、路線兩端均不植樹，因最后一端不植樹，

22、故總棵樹 =總段數(shù) -1 。 應(yīng)用公式：棵樹 =線路總長(zhǎng)株距 -1, 線路總長(zhǎng) =株距（棵樹 +1）, 株距 =線路總長(zhǎng)（棵樹 +1）。 二、封閉型植樹問題（即圍成一個(gè)圈，首尾樹重合） 應(yīng)用公式：棵樹 =線路總長(zhǎng)株距 =總段數(shù)， 線路總長(zhǎng) =株距棵樹， 株距 =線路總長(zhǎng)棵樹。 三、比較延伸，生活中的“植樹問題” 11 【例題 1】在圓形的花壇周圍植樹，已知周長(zhǎng)為 50 米，如果每隔 5 米種一 棵樹的話，一共可以種多少棵？（ 10） 【答案及解析】這是一道典型的封閉性植樹問題，首尾重合。棵樹就等于 總段數(shù) =線路總長(zhǎng) / 株距，即 50/5=10 棵。做封閉性植樹問題時(shí)，無(wú)論是圓形， 三角形還

23、是方形封閉，都是一樣的解法，不要被圖形迷惑。 【例題 2】在某淡水湖四周筑成周長(zhǎng)為 8040 米的大堤，堤上每隔 8 米栽柳 樹一棵，然后在相鄰兩棵樹之間每隔 2 米栽桃樹一棵，應(yīng)準(zhǔn)備桃樹多少棵？ 6. 3015） 【答案及解析】 這道植樹題就把線路兩端不植樹和封閉性植樹問題結(jié)合在 一起。其實(shí)這道題只要拆解開來(lái)分析一就很容易做出來(lái)。 即栽柳樹 8040/8=1005 （棵），也就是大堤被柳樹分成 1005 段。又在兩相鄰柳樹之間的堤，被分為 2 米一段，共分為： 8/2=4 （段）。在兩柳樹之間栽桃樹，由于兩端不需要再栽桃 樹了，所以，桃樹的棵樹比段數(shù)少 1，也就是相鄰兩棵柳樹之間栽桃樹 4-

24、1=3（棵）。 因而，在整個(gè)大堤上共準(zhǔn)備栽桃樹為： 3X1005=3015（棵）。 【例題 3】廣場(chǎng)上的大鐘 6 時(shí)敲 6 下,15 秒敲完 ,12 時(shí)敲響 12 下, 需要用多少秒時(shí)間 . 【答案及解析】很多人第一反應(yīng)答案是 30 秒，這就錯(cuò)了，本題是由植樹問題延伸出來(lái)的敲鐘問題。 敲 6 下鐘，中間隔了 5 個(gè)間隔 ( 兩端植樹 ) ； 一個(gè)間隔需要的秒數(shù)為 155=3 秒 ；敲 12 下的間隔 為 12-1=11 個(gè)； 敲 12 時(shí)需要113=33(秒 ) 。 12 五、排列組合問題 一、排列和組合的概念 排列：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素 ( 這里的被取元素各不相同 ) 按照

25、一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列。 A(n,m)=n!/(n-m)! 組合：從 n 個(gè)不同元素種取出 m 個(gè)元素拼成一組，稱為從 n 個(gè)不同元素取 出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合。 C(n,m)=n!/m!*(n-m)! 二、七大解題策略 7. 特殊優(yōu)先法 特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。對(duì)于有附加條件的排列組合 問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。 【例題 1】從 6 名志愿者中選出 4 人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng) 不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方 案共有多少種？ 【答案及解析

26、】：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工 作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有 C(4,1)=4 種不同的選法，再?gòu)钠溆嗟?5 人中任選 3 人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔三項(xiàng)不同的 工作有 A(5,3)=10 種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C(4,1) A(5,3)=240 種 2. 科學(xué)分類法 問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素 ( 即組合 ) 后排列。 13 對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生。同時(shí)明確分類后的各種情況符合加法原理，要做相加運(yùn)算。

27、 【例題 2】某單位邀請(qǐng) 10 為教師中的 6 為參加一個(gè)會(huì)議，其中甲，乙兩位不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有多少種。 【答案及解析】甲、乙不能同時(shí)參加分成以下幾類： a。甲參加，乙不參加，那么從剩下的 8 位教師中選出 5 位，有 C(8，5)=56 種； b。乙參加，甲不參加，同 (a) 有 56 種； c。甲、乙都不參加，那么從剩下的 8 位教師中選出 6 位，有 C(8，6)=28 種。 故共有 56+56+28=140 種。 1. 間接法 即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件 事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù) 有重復(fù)，就

28、要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問題的有效手段，而當(dāng)正面分 類情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。 【例題 3】從 6 名男生， 5 名女生中任選 4 人參加競(jìng)賽，要求男女至少各 1 名，有多少種不同的選法？ 【答案及解析】此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女 至少各一人的反面就是分別只選男生 C(6，4) 或者女生 C(5，4) ，這樣就可以變 化成 C(11，4)-C(6 ，4)-C(5 ，4)=310（種）。 (1) 捆綁法 14 所謂捆綁法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮， 將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順 序。注

29、意：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題 中。 【例題 4】5 個(gè)男生和 3 個(gè)女生排成一排， 3 個(gè)女生必須排在一起，有多少 種不同排法？ 【答案及解析】采用捆綁法，把 3 個(gè)女生視為一個(gè)元素，與 5 個(gè)男生進(jìn)行排列，共有 A(6 ，6)=6x5x4x3x2=720 種，然后 3 個(gè)女生內(nèi)部再進(jìn)行排列， 有 A(3， 3)=6 種，兩次是分步完成的，應(yīng)采用乘法，所以排法共有： A(6，6) A(3，3) =4320(種) 。 (2) 插空法 所謂插空法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元 素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。

30、注意： a。首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。 。將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位 置。 。對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡(jiǎn)單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。 【例題 5】若有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人排隊(duì)，要求甲和乙兩個(gè)人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少排隊(duì)方法？ 【答案及解析】先排好丙、丁、戊三個(gè)人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)榧?、乙不站兩端，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為 A(3，3) A(2，2)=12 種。 15 2. 插板法 所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采 用將比所需分組

31、數(shù)目少 1 的板插入元素之間形成分組的解題策略。 注意：其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于 組合問題中。 【例題 6】將 8 個(gè)完全相同的球放到 3 個(gè)不同的盒子中， 要求每個(gè)盒子至少 放一個(gè)球，一共有多少種方法？ 【答案及解析】解決這道問題只需要將 8 個(gè)球分成三組，然后依次將每一 組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問題只需要把 8 個(gè)球分成三組即可，于是可 以將 8 個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板插到 8 個(gè)球所形成的 7 個(gè)空里，即可順利 的把 8 個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和 第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)

32、盒子中去。 因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩 端，于是其放板的方法數(shù)是組合，即 C(7，2)=21 種。 ( 注：板也是無(wú)區(qū)別的 ) 選“一”法， 類似除法 , 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他 元素一同進(jìn)行排列， 然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。 這里的“選 一”是說：和所求“相似”的排列方法有很多，我們只取其中的一種。 【例題 7】五人排隊(duì)甲在乙前面的排法有幾種？ 【答案及解析】五個(gè)人的安排方式有 5!=120 種，其中包括甲在乙前面和甲 在乙后面兩種情形 ( 這里沒有提到甲乙相鄰不相鄰，可以不去考慮 ) ，題目要求 之

33、前甲在乙前面一種情況，所以答案是 A(5,5) 2=60 種。 16 六、集合問題 (2) 利用集合原理公式法：適用于條件與問題都可直接代入公式的題目。 兩個(gè)集合： AB=A+B- AB 三個(gè)集合： AB C= A+B+C- AB- BC - CA+AB C 文氏圖示意法：用圖形來(lái)表示集合關(guān)系，變抽象文字為形象圖示。 【例題 1】某服裝廠生產(chǎn)出來(lái)的一批襯衫中大號(hào)和小號(hào)各占一半。其中 25% 是白色， 75%是藍(lán)色的。如果這批襯衫總共有 100 件，其中大號(hào)白色襯衫有 10 件，問小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件 ? 【答案及解析】由題中可知大號(hào)襯衫、小號(hào)襯衫各 50 件，白色襯衫共 25 件，藍(lán)色襯衫共

34、75 件。題中已告訴大號(hào)白色襯衫有 10 件，可知大號(hào)藍(lán)色襯衫 有 50-10=40 件，則剩余的藍(lán)色襯衫全是小號(hào)的，共 75-40=35( 件) 。 【例題 2】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為 32 人，在第一次考試中有 26 人及格，在 第二次考試中有 24 人及格，若兩次考試中，都及格的有 22 人，那么兩次考試 都沒有及格的人數(shù)是 ( ) 。 【答案及解析】?jī)纱慰荚嚩紱]有及格的人數(shù) =學(xué)生總數(shù) - 兩次都及格的人數(shù) - 第一次未及格但第二次及格的人數(shù) - 第一次及格但第二次未及格的人數(shù) =32-22-32-22-(32-26)-32-22-(32-24)=4 人。 【例題 3】對(duì)某單位的 100

35、 名員工進(jìn)行調(diào)查， 結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電 影、戲劇。其中 58 人喜歡看球賽， 38 人喜歡看戲劇， 52 人喜歡看電影，既喜 17 歡看球賽又喜歡看戲劇的有 18 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有 16 人，三 種都喜歡看的有 12 人，則只喜歡看電影的有 ( ) 。 【答案及解析】 方法 1：設(shè) A=喜歡看球賽的人 (58) ，B=喜歡看戲劇的人 (38) ，C=喜歡看電 影的人 (52) ，則有： A B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人 (18) B C=既 喜歡看電影又喜歡看戲劇的人 (16) A BC=三種都喜歡看的人 (12) A BC= 看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種 (

36、100) 根據(jù)公式： A+B+C=A B C+ AB + B C + C A- AB C C A =A+B+C-( A B C + A B + B C - A B C ) =148-(100+18+16-12)=26 所以，只喜歡看電影的人 =C-BC- CA+ ABC=52-16-26+12=22 人 16 戲劇 6 球賽 12 4 電影 方法 2：如圖所示，圖中涂黑的部分 +4+12=喜歡球賽的人數(shù)，所以涂黑部分 的人數(shù)為 58-12-6=40 人，總?cè)藬?shù)為 100，紅色部分的人數(shù)（即只喜歡看電影的 人數(shù)） =100-16-12-4-6-40=22 人。 18 七、利潤(rùn)問題 解決利潤(rùn)問題，

37、首先要明白利潤(rùn)問題里的常用詞匯成本、定價(jià)、利潤(rùn)率、打折的意義，通過分析產(chǎn)品買賣前后的價(jià)格變化，從而根據(jù)公式解決這類問題。 定價(jià)（售價(jià)） =成本 +利潤(rùn) 利潤(rùn) =成本利潤(rùn)率 定價(jià)（售價(jià)） =成本 (1+ 利潤(rùn)率 ) 利潤(rùn)率 =利潤(rùn)成本 利潤(rùn)率 =( 售價(jià) - 成本 ) 成本 100% 售價(jià) =定價(jià)折扣的百分?jǐn)?shù) 利息 =本金利率期數(shù) 本息和 =本金 (1+利率期數(shù) )= 本金 +利息 【例題 1】一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜 12%，兩店同樣按 20%的利潤(rùn)定價(jià)，這樣 1 件商品乙店比甲店多收入 24 元，甲店的定價(jià)是多少元 ?() 【答案及解析】這道利潤(rùn)問題比較簡(jiǎn)單，可用方程法求解：設(shè)乙店進(jìn)貨

38、價(jià) 為 x 元，則甲店進(jìn)貨價(jià)為（ 1-12%）x 元，可列方程 20%x-20%(1-12%)x=24 ，解得 x=1000，故甲店定價(jià)為 1000(1-12%) (1+20%)=1056 元。 【例題 2】某商品按原定價(jià)出售，每件利潤(rùn)為成本的 25%，后來(lái)按原定價(jià)的90%出售，結(jié)果每天售出的件數(shù)比降價(jià)前增加了 1.5 倍，每天經(jīng)營(yíng)這種商品的總利潤(rùn)比降價(jià)前增加了百分之幾 ? 【答案及解析】此題可用數(shù)值代入法解。設(shè)這種商品的成本為 100 元，原 來(lái)每天賣 2 件，現(xiàn)在每天賣 2+2 1.5=5( 件), 原來(lái)每件商品的利潤(rùn)是 100 25%=25(元), 每天的利潤(rùn)是 252=50(元) ?，F(xiàn)

39、在每件商品的利潤(rùn)是 100(1+25%) 19 90%-100=12.5( 元 ), 每天的利潤(rùn)是 12.5 5=62.5( 元 ) 。比降價(jià)前增加了 (62.5-50) 50=25%。 【例題 3】 某個(gè)體商販在一次買賣中，同時(shí)賣出兩件上衣，每件都以 135 元出售，若按成本計(jì)算，其中一件盈利 25%，另一件虧本 25%，則他在這次買賣 中是賺還是賠？賺（賠）了多少？ 【答案及解析】根據(jù)利潤(rùn)問題的核心公式：售價(jià) =成本 * （1+利潤(rùn)率）， 即成本 =售價(jià) / （1+利潤(rùn)率），第一件上衣成本 =135/(1+25%)=108，第二件上衣成 本 135/(1-25%)=180( 虧損即利潤(rùn)率為負(fù) ) ，由此可得總成本為 288 元，而總銷售額為 270 元。所以，賠了 18 元。 20 八、極值問題 題目給出幾個(gè)數(shù)的和，求“極值” ，解題方案為：如果求“最大值” ，則：