三角函數(shù)典型考題習(xí)題精選精講

1、三角函數(shù)典型考題歸類解析三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的基本初等函數(shù)之一，與代數(shù)、幾何有著密切的聯(lián)系，是解決數(shù)學(xué)問題的一種有利工具.三角函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在高考試題中年年呈現(xiàn)，多數(shù)以中低檔題岀現(xiàn)，可以獨(dú)立命題，也可以與其它知識(shí)綜合滲透.下面就 07 年全國高考中解答題進(jìn)行梳理歸類，供讀者學(xué)習(xí)時(shí)參考：1 根據(jù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)例 1 (天津理)已知函數(shù)f (x) =2cosx(sin x -cosx) 1, x二R (i)求函數(shù)f (x)的最小正周期；(u)求函數(shù)f (x)在區(qū)間-，3n上的最小值和最大值.84解析：(【)f (x) = 2cos x(sinx-cosx) 1=sin 2

2、x-cos2x = . 2sini2x-n因此，函數(shù)f(x)的最小正周期為nnn3n(u)解法一：因?yàn)閒(x)=、2si ni2x在區(qū)間，-上為增函數(shù)，在區(qū)間I 4丿18 8故函數(shù)f(x)在區(qū)間n3n上的最大值為.2，最小值為-1IL8 4解法二：作函數(shù)f (x) - 2sin i 2x _n在長度為一個(gè)I 4丿圖象如下：由圖象得函數(shù)f (x)在區(qū)間n3n上的最大IL84點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角和與差公式、倍角公式、函數(shù)識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.利用三角公式將所給函數(shù)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，然后借助其性質(zhì)直接求解是研究三角函數(shù)的性質(zhì)的常規(guī)思路憑借函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)

3、，可以使問題得以形象直觀展示岀來易于解決【相關(guān)高考 1】(湖南文)已知函數(shù)f (x) = 1 - 2sin2i x 2sin i x cos i x (8丿18丿18丿求：(i)函數(shù)f (x)的最小正周期；(ii)函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間.解析：f(x)=cos(2x+n)+si n( 2x+nn(2x+in( 2x+ )= V2cos2x444422n(I)函數(shù)f (x)的最小正周期是Tn;2(II )當(dāng)2kn-n2x2kn，即knxkn(Z)時(shí)，函數(shù)f(x)、2 cos2x是增函數(shù)，故函數(shù)f (x)的單調(diào)n遞增區(qū)間是kn_2，kn(kZ).g(x0)的值.(II)求函數(shù)h(x) = f

4、(x) g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.1n解析：(I )由題設(shè)知f (x)1亠cos(2x ).62根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式解析：(1)將x=0，y = . 3代入函數(shù)y二2cosC X 二)cos =3，因?yàn)?-，所以 =-2 62n2n由已知T = n,且0，得2.Tn(2)因?yàn)辄c(diǎn)Ain,0，Q(x0,y0)是PA的中點(diǎn),2fn In又因?yàn)辄c(diǎn)P在y =2cosi2x的圖象上，且x00，得=冗，即得國=2；co:jlj nj nj nj nj n于是有f (x) =2sin I2x1,再由2kn W2xW2kn(k Z)，解得kn WxWkn(k Z).丿26263所以y二f (x)的單調(diào)增區(qū)間

5、為kn n,kn (kZ)IL63O TT(理)由題設(shè)及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，函數(shù)y = f x的周期為二，而0，貝 U=：co即得=2,f(x) =2sin(2x) -1,由2k2x2k （k三Z）解得kx_k （k三Z）,26 2 6 6即函數(shù)y = f x的單調(diào)遞增區(qū)間為k, k（k三Z）.6 6【相關(guān)高考 2】（全國 n）在ABC中，已知內(nèi)角A二，邊BC=2、3設(shè)內(nèi)角B =x，周長為y.3（1）求函數(shù)y = f （x）的解析式和定義域；（2）求函數(shù)y = f（x）的最大值.2解析：（1）ABC的內(nèi)角和A B C = ”,由 A = ,B .0, C . 0得0：B.應(yīng)用正弦定理，知3

6、33三角函數(shù)求值二cos：cos(一)sin：sin(一)1337 14714點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào)、已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力根據(jù)已知求解具有限制條件角 的三角函數(shù)值時(shí)，首先確定所求角的范圍，然后適當(dāng)進(jìn)行角的變換利用三角公式進(jìn)行求值即可、2 cos 2x 4 3.（I）求 f（x）的定義域；（n）若角 a 在第一象限，且cos a,求f（a）。【相關(guān)高考 2】（重慶理）設(shè) f（X） =6cos2xJ3s in 2x（1）求 f（x）的最大值及最小正周期；（2）若銳角a滿足f（a） = 3 2j3,4求 tan 的值.51cos2x -,3sin 2x=

7、 3cos2x -、3sin 2x 32 故f （x）的最大值為233;最小正周期T二2由f(：)=323得2 .3cos 2:-I 6丿,-AB邊最大，即AB = , 17.又tan A：tan B,A,B0,.曰etan A =sinA 1二角A最小，BC邊為最小邊.由=.2.丄2.sin A cos A = 1,得sin A.由得：BC = AB2.所以最小邊BC = .2.17sin C sin Asin C5三角與平面向量例 5 (湖北理)已知ABC的面積為3，且滿足 0AB * AC6，設(shè)AB和AC的夾角為 v .(I)求 v 的取值范圍;(II)求函數(shù)f(日)=2sin2兀+日L

8、 J3cos2日的最大值與最小值.14丿解析：(I)設(shè)ABC中角A,B, C的對(duì)邊分別為a, b,c,1n n I則由一bcsin r - 3,0bccos v6，可得0cot v1,二 一，一.2IL42(n)f(R=2sin2inv - ,3cos - 1 - cosn2 3cos2 14丿12丿=(1+sin 2日)一苗cos2 8= sin 2日一73cos28 +1 = 2sin 2日一n+1.k3丿2n,2，-，22sin 121f (x)max2且me f (x)min+2，14 2/ 1 cm v4，即m的取值范圍是(1,4).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及

9、運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力.8三角函數(shù)與極值例 8 (安徽文)設(shè)函數(shù)f x = -cos2x 4tsin cos 4t3t2- 3t 4, x R22其中t0，t0,0二)是 R 上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)m(二，0)對(duì)稱，且在區(qū)間0，32上是單調(diào)函數(shù)，求 G 和.的值。正解：由f (x)是偶函數(shù)，得f(x)=f(x)故sin(rx亠處)二sin(x亠住)，-cos t：sin，x二cos sin，x對(duì)任意 x 都成立，且門,0,. cos：G = 0依題設(shè) 0w 皿 w ?.，；.：=223由f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得f(X) - - f(x)34233取x=0得f (

10、)=-f(), f ()=034433cox兀3cox3ox、小f (二)=sin() = cos( ),. cos( ) = 0442443仇兀又門0，得-k二，k= 0,1,242r -(2k1), k =0,1,2322兀兀當(dāng)k = 0時(shí)，f (x) = sin( x)在0,上是減函數(shù)。3322當(dāng)k =1時(shí)， =2, f(x) =sin(2x )在0,上是減函數(shù)。2210兀兀當(dāng)k 2 時(shí)，灼=f(x)=si n(國x+ )在0上不是單調(diào)函數(shù)。3 2 22所以，綜合得或.=2。3誤解：常見錯(cuò)誤是未對(duì) K 進(jìn)行討論，最后-只得一解。兀、10對(duì)題目條件在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)，不進(jìn)行討論，故對(duì)-

11、 不能排除23基礎(chǔ)練習(xí)題1、在 ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，則.C 的大小應(yīng)為()A.二B.二C.二或2 -D.二或匕636633正確答案：A 錯(cuò)因：學(xué)生求.C 有兩解后不代入檢驗(yàn)。2、已知 tan - tan F 是方程X+3 _ 3x+4=0 的兩根，若-，：.，則-+:=（）2 2A.二B.二或-?-C.-二或2-D. - 2333333正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生不能準(zhǔn)確限制角的范圍。3、若sinv cost -1，則對(duì)任意實(shí)數(shù)n,sin- cos二的取值為（）正解:冗.n.12、如果log1|x |-log勺，那么sin x的取值范圍是(23221 1

12、 1 11 1A-匕，2B-匕，1c匕，1)(2，1D2 - 錯(cuò)因：只注意到定義域 X - ，而忽視解集中包含 x = 33正解：B.13、函數(shù)y = .sin xcosx的單調(diào)減區(qū)間是()14、在厶 ABC 中，3sin A 4cos B= 6,4sinB 3cosA=1,則/ c 的大小為（）A、30B、150C、30 或 150D、60 或 150正確答案：A111錯(cuò)誤原因：易選 c,無討論意識(shí)，事實(shí)上如果C=150_則 A=30 .sin A，二3sin A 4cosB6 和題設(shè)矛盾2222口22口15、已知5cos a +4COSp=4cosa，則COS a + COSP 的取值范圍

13、是 _ .錯(cuò)誤分析：由5cos2：亠4cos2：=4cos、f得cos2：= cos cos2:4代入cos2二 cos:中，化為關(guān)于cos的二次函數(shù)在1-1,1上的范圍，而忽視了cos的隱含限制，導(dǎo)致錯(cuò)誤.答案：畑.略解：22門2門52由皿，5將（1）代入cos2a + cosp 得cos2 a+cos? P = 1（COS- 2 f+14卄八-八、丄75 sin A+4cos A16、右A匸（0,兀），且sin A +cos A =,則-=_13 15sin A 7cosA722fn ）錯(cuò)誤分析：直接由si nA+cosA=，及sin2A+cos2A=1求sin A, cos A的值代入求

14、得兩解，忽略隱含限制円|出錯(cuò).132丿y = As in ( ) (A 00)的形式(注意必須是正弦)17、22、已知函數(shù) f(x)= - sin2x+sinx+a， ( 1 )當(dāng) f(x)=0 有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a 的取值范圍；(2)若 x R，有 1 f(x) 4 .242a _sin x -sin x 1123(sin x ) 3/. 3 a0,3將(,1)代入 f(x)得 f( =)=sin(6,si n(x綜上 f(x)=-sinx0,-2二 . 二)，其圖象如圖所示。2(1)求函數(shù)(2)求方程2y=f(x)在-，的表達(dá)式;32的解。2f(x)=解：(1)由圖象知A=1, T=4(2)=2二,362二 -=-T/ -二 .22 2/. .=2 .在卜 236Q qr時(shí)f(x)=sin(x+3)y=f(x)關(guān)于直線 x=-3對(duì)稱.在卜6-_ 時(shí) f(x)=-sinx6f(x)=在區(qū)間-二2 6ty=f(x)關(guān)于 x=-對(duì)稱624、