局部緊致空間

1、作業(yè) §7.6局部緊致空間,仿緊致空間本節(jié)重點:掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系；掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系定義7.6.1設(shè)X是一個拓撲空間,如果X中的每一個點都有一個緊致的鄰域,則稱拓撲空間X是一個局部緊致空間由定義立即可見,每一個緊致空間都是局部緊致空間,因為緊致空間本身便是它的每一個點的緊致鄰域n維歐氏空間也是局部緊致空間,因為其中的任何一個球形鄰域的閉包都是緊致的定理7.6.1每一個局部緊致的空間都是正則空間證明設(shè)X是一個局部緊致的Hausdorff空間,設(shè)xX,U是x的一個開鄰域

2、令D是x的一個緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集由推論,D作為子空間是一個緊致的Hausdorff空間,所以是一個正則空間是x在子空間D中的一個開鄰域,其中是集合D在拓撲空間X中的內(nèi)部從而x在子空間D中有一個開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W一方面V是子空間D中的一個開集,并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個開集,而W是X中的一個開集,所以V也是X中的開集另一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點x在X中的開鄰域V使得因此X是一個正則空間定理7.6.2設(shè)X是一個局部緊致的正則空間,xX,則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間

3、X在點x處的一個鄰域基證明設(shè)U是xX的一個開鄰域令D為x的一個緊致鄰域,則是x的一個開鄰域因為X是正則空間,所以存在x的開鄰域V使得閉集是x的一個閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個緊致鄰域 從前面兩個定理立即可以推出:推論7.6.3設(shè)X是一個局部緊致的Hausdorff空間,xX則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間X在點x處的一個鄰域基定理7.6.4每一個局部緊致的正則空間都是完全正則空間證明設(shè)X是一個局部緊致的正則空間我們驗證X是一個完全正則空間如下:設(shè)xX和B是X中的一個閉集,使得是x的一個開鄰域由定理,存在x的一個緊致閉鄰域V,

4、使得V作為X的一個子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的),因此是完全正則的因而存在連續(xù)映射g:V0,1,使得g(x)=0,和對于任何有g(shù)(y)=1定義映射h:使得顯然h是一個連續(xù)映射定義映射f:X0,1,使得對于任何zX 首先,映射f的定義是確切的,因為如果,則有g(shù)(z)=1=h(z)其次,都是X中的閉集,從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的最后,顯然有f(x)=0及對于根據(jù)定理定義7.6.2設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個元素包含于B中的某一個元素之中,則稱A是B的一個加細顯然,如果A是B的一個子覆蓋,則A是B的一個加細定義7.6.3設(shè)X是一個拓撲空間,A是X的子集A的一個覆蓋如果對

5、于每一個xA,點x有一個鄰域U僅與A中有限個元素有非空的交,即:AA|AU是一個有限集,則稱A是集合A的一個局部有限覆蓋有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋定義7.6.4設(shè)X是一個拓撲空間,如果X的每一個開覆蓋都有一個局部有限的開覆蓋是它的加細,則稱X是一個仿緊致空間緊致空間自然是仿緊致的離散空間也是仿緊致的,因為所有單點集構(gòu)成的集族是離散空間的一個開覆蓋并且是它的任何一個開覆蓋的局部有限的加細定理7.6.5每一個仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間證明:設(shè)X是一個仿緊致的正則空間,A是X中的一個閉集,U是A的一個開鄰域?qū)τ诿恳粋€aA,點a有一個開鄰域,使得從而集族是X的一個開覆蓋,它有一個局部有限的加細,設(shè)為

6、,令則是A的一個局部有限的開覆蓋于是是A的一個開鄰域以下證明如果,由于是局部有限的,所以x有一個鄰域W只與中有限個元素有非空的交,于是這證明了定理7.6.6每一個仿緊致的Hausdorff空間都是正則空間,因而也是正規(guī)空間證明:設(shè)X是一個仿緊致的Hausdorff空間,茲驗證X是一個正則空間如下:設(shè)xX,B是X中的一個不包含點x的閉集,對于每一個bB,存在x的一個開鄰域和b的一個開鄰域,使得特別,集族是X的一個開覆蓋,它有一個局部有限的加細,設(shè)為令集族是B的一個局部有限的開覆蓋令V是閉集B的一個開鄰域我們有(x有一個鄰域W只與中有限個元素有非空的交,因此W也只與中有限個元素,設(shè)為有非空的交如果則因此存在某一個然而易見于是得到矛盾)因此是x的一個開鄰域此外顯然根據(jù)定理,定理7.6.6及圖表6.1我們有圖表7.5:引理7.6.7設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間則X有一個開覆蓋滿