復(fù)數(shù)的運(yùn)算說課稿

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算說課稿林萍萍2012-10-21一、說教材（一）教材的地位與作用：1、依據(jù)新大綱及教材分析，復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章知識(shí)的重點(diǎn)。2、 新教材降低了對(duì)復(fù)數(shù)的要求，只要求學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及幾何意義，加減乘除運(yùn)算及加減的幾何意義。因此，復(fù)數(shù)的概念， 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，在教學(xué)中要注意與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和性質(zhì)的比較，多采用類比的學(xué)習(xí)方法，在復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)避免煩瑣的計(jì)算，多利用復(fù)數(shù)的概念解決問題。3、將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)新，有利培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。（二）學(xué)情分析：1、學(xué)生以了解復(fù)數(shù)的概念與定義以及復(fù)數(shù)在數(shù)域內(nèi)的地位。2、

2、學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富，以具有類比知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。3、學(xué)生思維活潑，積極性高，已初步形成對(duì)數(shù)學(xué)問題的合作探究能力。4、學(xué)生層次參差不齊，個(gè)體差異比較明顯。（三）教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則。2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的能力。3、情感、價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，勇于創(chuàng)新的精神。（四）教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)（五） 教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法法則。教學(xué)方法：（六）啟發(fā)式教學(xué)法關(guān)鍵：掌握復(fù)數(shù)加法、減法的定義和復(fù)數(shù)相等定義的運(yùn)用。二、說教法：1 、本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，通過類比思想體會(huì)整式的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的

3、運(yùn)算的共性，使學(xué)生體會(huì)其中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。2、例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上歸納計(jì)算方法，提高運(yùn)算能力，歸納、概括能力。三、說學(xué)法：2 、復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作鋪墊。通過對(duì)數(shù)系學(xué)習(xí)的回憶，引出課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。3 、讓學(xué)生板演運(yùn)算法則，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和主動(dòng)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。4 、通過例題學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，歸納運(yùn)算簡(jiǎn)便方法。培養(yǎng)學(xué)生歸納問題、轉(zhuǎn)化問題的努力。四、說課過程：(一)、復(fù)習(xí)提問：1、1.虛數(shù)單位i：(1)它的平方等于-1 ,即i21； (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算 律仍然成立2、i與

4、一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程 X2=-1 的一個(gè)根，方程 x2=- 1的另一個(gè)根是一 i3、復(fù)數(shù)的概念：形如 a+bi (a, b6 R)叫做復(fù)數(shù)，a, b 分別叫做它的實(shí)部和虛部。4、復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù) a+bi (a, bSR),當(dāng)b=0時(shí)，就是 實(shí)數(shù)；當(dāng)b+0時(shí)，叫做虛數(shù)； 當(dāng)a=0, b + 0時(shí)，叫做純 虛數(shù)；5、復(fù)數(shù)Z1=a1+b1i與Z2=a2+b2i相等的充要條件是 a1=a2, b1=b2o實(shí)數(shù)(b=0)復(fù)數(shù)Z a bi4的一般虛數(shù)(b 0,a 0)虛數(shù)(b 0)6、復(fù)數(shù)的分類：純虛數(shù)(b 0，a 0)虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是 也沒有大小。 uu .

5、 ., uu .7、復(fù)數(shù)的模：若向量 迎表示復(fù)數(shù)z,則稱OZ的模r為復(fù)數(shù)z 的模，z 1abi1 ,a2 b2；積或商的?？衫媚５男再|(zhì)(1) z1 L zn z1 z2 L zn , (2)Z14-z2z2z28、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bSR)可用 點(diǎn)Z(a, b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面 叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0 , 0),它所確定的復(fù)數(shù)是 z=0+0i =0表示是實(shí)數(shù).故除了 原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集C和復(fù)

6、平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系， 即復(fù)數(shù)z a bi 對(duì)應(yīng) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a(二)類比代數(shù)式，引入復(fù)數(shù)運(yùn)算：一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算類似根據(jù)代數(shù)式的加減法，則復(fù)數(shù) zi 與 Z2 的和：Zi+Z2=( a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . a,b,c,d R復(fù)數(shù) zi 與 z2 的差:zi- z2=( a+bi)-( c+di )=( a- c)+( b- d) i . a,b,c,d R二、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：zi+z2=z2+zi.證明：設(shè)z尸ai+bii,z2=a2+b2i(ai,bi,bzSR).; zi

7、+z2=(ai+bii)+( a2+b2i )=( ai+a2)+( bi+b) i .Z2+zi=(a+b2i)+( ai+bii )=( &+&)+( b2+bi) i .又 ai+a2=a2+ai, bi+b2=b2+bi.，Zi+Z2=Z2+Zi.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.2、 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(Zi+Z2)+Z3=Zi + (Z2+Z3)證明：設(shè) Zi=ai+=&+b2i , Z3=a3+hi (ai, a2, a3, bi, b2, a6 R).( Zi+Z2)+ Z3= (ai+bii)+( a2+b2i) +(a3+b3i)=(ai+a2)+

8、( bi+b2) i +(a3+b3) i=(ai+a2)+a31+ (bi+b2)+b31i=( ai+a2+a3)+( bi+b2+b3) i .Zi+(Z2+Z3)=( ai+bii)+ (a2+b2i)+( a3+b3i)=(ai+bii)+ (a2+a3)+( b2+b3) i =ai+( a2+a3) + bi+( b2+b3) i=(ai+a2+a3)+( bi+b+b3)i( ai+a2)+ a3=ai+( az+a) , (bi+b)+ b3=bi+( b2+b3).，(Zi+Z2)+ Z3=Zi+( Z2+Z3).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意

9、義復(fù)數(shù)的加(減)法(a+bi) ± (c+di )=( a± c)+( b± d) i .與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí) 部，虛部與虛部分別相加(減).一一哥由一 uuiu1 .復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量OZuuiu2 . 復(fù)數(shù)Z a bi 對(duì)應(yīng)平面向量OZ3 .復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù) zi=a+bi , Z2=c+di ,在復(fù)平面上所 對(duì)應(yīng)的向量為OZ；、OZ；,即0Z；、OZ；的坐標(biāo)形 式為0乙=（a, b）, 0Z2=（c, d）以0乙、。乙為令日邊作平行四邊形 0ZZZ2,則對(duì)角線 0Z寸應(yīng)的向量是oz,oz = 0Z1 + O

10、Z2 =（a , b）+（ c , d）=（ a+c , b+d）=(a+c)+( b+d) i4 .復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=（a- c）+（ bd）i ,所以zz產(chǎn)Z2, Z2+Z產(chǎn)z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以O(shè)z為一條對(duì)角線，。1為一條邊畫平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的另一邊0Z所表示的向量 近就與復(fù)uuur uur數(shù)z- zi的差（a c）+（ b- d） i對(duì)應(yīng)由于0Z2 Z1Z ,所以，兩個(gè) 復(fù)數(shù)的差zzi與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量 對(duì)應(yīng).講解范例：例 1 計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

11、= (5-2-3)+(-6-1-4) i= -11 i例 2 計(jì)算:(1 2i )+( 2+3i )+(3 4i )+( 4+5i )+ +( 2002+2003i )+(2003 2004i )解法一：原式=(1 2+3 4+ - 2002+2003)+( 2+3 4+5+20032004i)=(2003 - 1001)+(1001 - 2004) i =1002 - 1003i .解法二：二 (1 2i)+( 2+3i )= 1+i ,(3 4i)+( 4+5i )= 1+i ,(2001 -2002i )+( - 2002+2003) i =1+i .相加得(共有1001個(gè)式子)：原式=

12、1001( 1+i )+(2003 -2004i )=(2003 -1001)+(1001 - 2004) i =1002- 1003i例3已知復(fù)數(shù)Z1=2+i z=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,求而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z, z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？ 解：z=Z2- Z1=(1+2i) (2+i )= 1+i ,.z 的實(shí)部 a=1v0,虛部 b=1>0, ，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng) 的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即AB所表示的復(fù)數(shù)是zbza ,而函所表示的復(fù)數(shù)是 za zb,故切不可把被 減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)盡管

13、向量 AB的位置可以不同，只要它們的終 點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量AB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它 只與其方向和長(zhǎng)度有關(guān)，而與位置無關(guān)5、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：z1z2= (a+bi)( c+di )=( ac bd)+( bc+ad) i .a,b,c,d R復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即 對(duì) z1,z2,z3 CC及m,nCN9： z 嗎n=zm+n (z ,n=zmn (z 1z2) n=z1nz2n.6、共輾復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為 相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)

14、復(fù)數(shù)叫互為共輾復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為 0的兩個(gè)共輾復(fù)數(shù)也叫做共輾虛數(shù)；z a bi，z a bi a，b R ,兩共輾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí) 軸對(duì)稱。z |z| 'F及2 4zizza2 b2 R,z z |z2|z2zi z2zi z2， zi z2z2，F(xiàn)I亙abiacbd bc ad.7、復(fù)數(shù)的除法：z2(a+bi)(c+di)= Cdi= c2d2 c2 d2a，b，c，d R ,分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算，典型例題精析：例4. (1)復(fù)數(shù)等于() 1 ii +i C.-1+ i D.-1i2 2i 口,，(1+i) i(1 i) 1 i ,解析：復(fù)數(shù)一=1 i，選C.

15、1 i(2)若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足z z = 2i, z=iz ( i為虛數(shù)單位)，則z解：已知Z iZ 2i Z d i 1 1 i（3）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z(mì) |z| 2 i ,求z;22解：設(shè)z=a+bi （a,b為頭數(shù)），由已知可得a bi a b 2 i a a2 b22q233a , b 1z 由復(fù)數(shù)相等可得：b 1,解得 4,所以 4設(shè)z=a+bi-x+yi （a,b為實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。（4）若x C,解方程|x| 1 3 x22解：設(shè)乂=2+舊（a,b 6 R）代入條件得："a b 1 a （3 b）i,由復(fù)數(shù)相、a2 b2 1 a等的定義可得：3bo ,.a=_4, b=

16、3,.x= 4+3i。22例4: （1）復(fù)數(shù)z滿足1z i | |z i| 1 ,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為（A）A.直線 B.圓 C .橢圓 D .拋物線解：令 z=x+yi (x, y6R),貝U x2+(y+1)2 x 2+(y 1)2=1 , . .y=1/4。故選A8.復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧:（1） i的周期性：4n=1 ni4=1,所以，產(chǎn)i4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n,4n1, 4n2,4n3 cii i i 0n Z1 i ,1 i.2 2_i _i6 i) 2i。D 2i1 i 1 i1-3. i(3) “1”的立方根 2 2的性質(zhì)：1.1 一_3_

17、2_21 一110擴(kuò)充知識(shí):9、特別地，zuuBZb-Za,超ABzB zA為兩點(diǎn)間的距離。；|z z0| r,七,Z對(duì)應(yīng)的Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的|Z Z1| |Z4殳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段乙Z2z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓;|z z11 |z Z2I 2a 乙Z2點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓;|zZ1 |zZ2I2a乙Z2 2a軌跡是雙曲線。Z1Z22Z1Z22Z1Z2210、顯然有公式:z1Z2z1Z2Z1Z211、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問題:(1)當(dāng)b24ac。時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根x1，x2 o此時(shí)有b2x1注意兩種題型:4ac。時(shí)，方程有兩個(gè)共鈍虛根，其中x22Cx1 x2x1,2a且b 一 i2a °

18、(1) x1 x2(2) x1x2X2虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題:不能用判別式法,般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知x2 X1是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根，求x2 xi 的方法： 12-(1)當(dāng) b 4ac 0時(shí)，-2 -vb2 4acx2 x1 q(x1 x2)4x1 x2 a ,2當(dāng) b 4ac。時(shí)，X2Xi、(XlX2)24x1x24ac b2已知X1，X2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2 bX c 0的兩個(gè)根，求X2 X1的方法:12-(1)當(dāng) b 4ac 0時(shí),c 一-0X2X1X1 X20,即a ,則bX1X2a_c 0X2 X12)X1 X20,即 a ,則2(2)當(dāng) b 4ac 0時(shí)，.2位"勺 b 4acX1 x2*;(X1 x2) 4X1X2ax2x12 x12 Jx1 x2_19962.3 i上2_例6 (1)計(jì)算：1 2內(nèi)1 i答案：1 i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：|z 3 風(fēng)再，求|z|的最大值與最小值;解：|z|的最大值為36,最小值為 晶;(3)若 x C ,解方程 |x| 1 3i x2, 2解：設(shè)乂=2+舊(a,b 6 R)代入條件得