第五節(jié)曲面及其方程ppt課件

1、水桶的表面、臺(tái)燈的罩面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡跡曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念m,X Y Z曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形xyzOS0),(

2、zyxF以下給出幾例常見(jiàn)的曲面以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.例例 1 1 建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)),(0000zyxM、半徑為、半徑為R的球面方程的球面方程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡(jiǎn)得所求方程化簡(jiǎn)得所求方程. 07262 zyx解解解解設(shè)設(shè)),(zy

3、xM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為0423222 yxzyx：方方程程例例表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？5)2()1(222 zyx解：配方的的球球面面、半半徑徑為為球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)5)0 , 2, 1( 研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（1 1已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面（2 2已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀討論柱面、二次曲面討論柱面、

4、二次曲面zxyo* *例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz)1(1)2()1(22 zzyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底c二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面由一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一由一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫做旋這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸轉(zhuǎn)曲面的軸. .xozy0),( zyf), 0(111zyM

5、 M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz |122yyxd 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd 0,22 zyxf同理：同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zxyf平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)，軸坐標(biāo)變量不變，而將平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)，軸坐標(biāo)變量不變，而將曲線方程中的另一變量改寫成該變量與第三個(gè)曲線方程中的另一變量改寫成該變量與第三個(gè)變量的平方和的正負(fù)平方根。變量的平方和的正負(fù)平方根。 0,22 zyxfxoy 面上的曲線面上的曲線C ：0),

6、( yxf繞繞X X軸軸 0,22 zyxf 繞繞Y軸軸 0,22 yzxfzox zox 面上的曲線面上的曲線C C ：0),( zxf繞繞X軸軸 0 , 22 zyxf繞繞Y軸軸 0,22 zyxfxozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例例5 5 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czayx繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122

7、222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面定義定義:三、柱面三、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面直線所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線叫柱面的母線. .CLLC柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的特征從柱面方程看柱面的特征（其他類推）（其他類推）C0),( yxF實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 母線母線 / / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 母線母線 / / 軸軸zpzx2