高考特訓(xùn)數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量地期望與方差解答題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高考數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差解答題考點(diǎn)預(yù)測(cè)和題型解析在高考中，離散型隨機(jī)變量的期望與方差試題的出題背景大多數(shù)源于課本上，有時(shí)也依賴于歷年的高考真題、 資料中的典型題例為背景， 涉及主要問題有：產(chǎn)品檢驗(yàn)問題、射擊、投籃問題選題、選課，做題，考試問題、試驗(yàn)，游戲，競(jìng)賽，研究性問題、旅游，交通問題、摸球球問題、取卡片，數(shù)字和入座問題、信息，投資，路線等問題。屬于基礎(chǔ)題或中檔題的層面。高考中一定要盡量拿滿分?？碱}預(yù)測(cè)離散型隨機(jī)變量的期望與方差涉及到的試題背景有：產(chǎn)品檢驗(yàn)問題、射擊、投籃問題選題、選課，做題，考試問題、試驗(yàn)，游戲，競(jìng)賽，研究性問題、旅游，交通問題、摸球球問題、取卡片，數(shù)字和

2、入座問題、信息，投資，路線等問題。從近幾年高考試題看， 離散型隨機(jī)變量的期望與方差問題還綜合函數(shù)、 方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃等知識(shí)主要考查能力。復(fù)習(xí)建議1學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵是弄清分布列, 期望和方差在統(tǒng)計(jì)中的作用.離散型隨機(jī)變量的分布列的作用是：（1）可以了解隨機(jī)變量的所有可能取值；（2）可以了解隨機(jī)變量的所有取值的概率；（3）可以計(jì)算隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率。2離散型隨機(jī)變量的分布列從整體上全面描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫的是離散型隨機(jī)變量所取的平均值，是描述隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的一個(gè)特征數(shù)。4離散型隨機(jī)變量的方差表示了離散型隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于期

3、望的集中與分散程度。知識(shí)點(diǎn)回顧1 離散型隨機(jī)變量的期望：（ 1）若離散型隨機(jī)變量 的概率分布為x1-x2xnP-p1p2pn則稱 Ex1 p1 x2 p2xn pn為的數(shù)學(xué)期望（平均值、均值）簡(jiǎn)稱為期望。 期望反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平。 E 是一個(gè)實(shí)數(shù)，由 的分布列唯一確定。 隨機(jī)變量 是可變的，可取不同值。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)E是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)。（2）期望的性質(zhì)：E(C)C (C為常數(shù)）E(ab)aEb(a,b為常數(shù)） 若 B(n, p) ，則 Enp （二項(xiàng)分布） 若 g(k , p) ，則 E1 （幾何分布）p2離散型隨機(jī)變量的方差（ 1 ）離散型隨機(jī)變量的方差：設(shè)離散型隨機(jī)

4、變量可能取的值為x1 , x2 , , xn ,且這些值的概率分別為 p1, p2 , p3 , pn ,則稱D(x1E) 2 p1 (x2 E ) 2 p2(xnE ) 2 pn ；為的方差。 反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)。 反映隨機(jī)變量取值的集中與離散的程度。D是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定。 D 越小， 取值越集中， D 越大， 取值越分散。 D 的算術(shù)平均數(shù) D 叫做隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差，記作。注：在實(shí)際中經(jīng)常用期望來(lái)比較兩個(gè)類似事件的水平，當(dāng)水平相近時(shí)，再用方差比較兩個(gè)類似事件的穩(wěn)定程度。（2）方差的性質(zhì)： D(C) 0 (C為常數(shù)） Daba 2 D(a,b為常數(shù)）() 若 B(n,

5、 p) ，則 Dnpq 其中 q1p （二項(xiàng)分布） 若 g(k , p) ，則 Dq其中 q 1p（幾何分布）p2 DE2 (E)2考點(diǎn)預(yù)測(cè)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的試題背景進(jìn)行考題類型預(yù)測(cè)：考點(diǎn) 1：產(chǎn)品檢驗(yàn)問題【例 1】已知：甲盒子內(nèi)有3 個(gè)正品元件和4 個(gè)次品元件，乙盒子內(nèi)有5 個(gè)正品元件和4 個(gè)次品元件，現(xiàn)從兩個(gè)盒子內(nèi)各取出2 個(gè)元件，試求（）取得的 4 個(gè)元件均為正品的概率；（）取得正品元件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望 .【分析及解】 （I ）從甲盒中取兩個(gè)正品的概率為P（A） = C321C727從乙盒中取兩個(gè)正品的概率為P（ B） = C5254 分C9218A 與 B 是獨(dú)立事件 P（

6、 A· B）=P（ A）·P（ B） =5126（II ）的分布列為01234P63253305126126126126126E061322533304512412 分12612612612612663【例 2】 某車間在三天內(nèi)， 每天生產(chǎn) 10 件某產(chǎn)品， 其中第一天， 第二天分別生產(chǎn)出了1 件、2 件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10 件產(chǎn)品中隨意抽取4 件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.（ I ）求第一天通過檢查的概率；（ II ）求前兩天全部通過檢查的概率；（ III ）若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0 分，通過 1 天、2天分別得

7、 1 分、 2分. 求該車間在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望.【分析及解】 （I ）隨意抽取 4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9 件正品，第一天通過檢查的概率為C943P1C1045（ II）同（ I ），第二天通過檢查的概率為P2C841.C1043因第一天，第二天是否通過檢查相互獨(dú)立。所以，兩天全部通過檢查的概率為： PP1P2311 .（ II ）記得分為，則的值分別為 0， 1， 2，535P(0)224 .5315P(1)32128 .533515P(2)311.535文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)因此，E04182114.1515515考點(diǎn) 2：比賽問題【例 3】 A、B 兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，共五局比賽，先

8、勝三局者奪冠，且比賽結(jié)束。根據(jù)以往成績(jī)，每場(chǎng)中A隊(duì)勝的概率為2 ，設(shè)各場(chǎng)比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立 .3（ 1）求 A 隊(duì)奪冠的概率；（ 2）設(shè)隨機(jī)變量表示比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)，求E .【分析及解】 （1） A 隊(duì)連勝3 場(chǎng)的概率為 P1(2)3，3打 4 場(chǎng)勝 3 場(chǎng)的概率為 P2C 32( 2)312(2)3，3333打 5 場(chǎng)勝 3 場(chǎng)的概率為 P3C42( 2)3 (1) 22(2)4.3333又以上事件是互斥的， A 隊(duì)獲勝的概率為64P=P +P +P =12381（2） P(3)(2)3(1 )31，（ A 隊(duì)連勝3 場(chǎng)或 B隊(duì)連勝 3場(chǎng)），333P(4) (2)3C31 2 (1)310

9、；33327P(5) C42 (1)2 ( 2) 28；3327E3141058107 .3272727【例 4】?jī)蓚€(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽采用五局三勝的規(guī)則，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽到此也就結(jié)束，假設(shè)按原定隊(duì)員組合，較強(qiáng)隊(duì)每局取勝的概率為0.6 ，若前四局出現(xiàn)2比2的平局情況，較強(qiáng)隊(duì)就換人重新組合隊(duì)員，則其在決賽局中獲勝的概率為0.7 ，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為.（）求的概率分布；（）求E.【分析及解】 （）=3， 4， 5.P(3)0.630.430.2800,P(4)C32 0.62 0.6C31 0.6 0.42 0.40.3744,P(5)C42 0.6 2 0.4 2C42 0.62 0.42

10、 0.30.3456,的概率分布為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)345P0.28000.37440.3456（） E=3×0.2800+4 × 0.3744+5 × 0.3456=4.0656.考點(diǎn) 3：射擊，投籃問題【例 5】甲、乙兩人各射擊1 次，擊中目標(biāo)的概率分別是2 和 3 ，假設(shè)兩人射擊是否擊中34標(biāo)，相互之間沒有影響.每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響.（ 1）甲射擊4 次，至少有一次未擊中目標(biāo)的概率；（ 2）求兩人各射擊4 次，甲恰好擊中目標(biāo)2 次且乙恰好擊中目標(biāo)3 次的概率；（ 3）假設(shè)某人連續(xù)2 次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊，問：乙恰好射擊5 次后，被中止射

11、擊的概率是多少？【分析及解】 （1）甲至少一次未擊中目標(biāo)的概率P1 是P1 P4 (1)P4 (2)P4 (3) P4 (4)1P4 (0)1( 2) 4(1)0653381（ 2）甲射擊4 次恰擊中 2 次概率為 P2C42 (2)2 (1)283327乙射擊 4 次恰擊中3 次概率為333127P3C 4 (4)464由乘法公式得PP2 P3827127648（ 3）乙恰好 5 次停止射擊， 則最后兩次未擊中， 前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中，第三次必?fù)糁?，故所求概率為：P (3)3(1)2C21 (3) 2( 1)34544441024【例 6】甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：

12、兩人輪流投籃，每人至多投2 次，甲先投，若有人投中即停止投籃， 結(jié)束游戲， 已知甲每次投中的概率為1，乙每次投中的概率為1 .43求：（ 1）乙投籃次數(shù)不超過 1 次的概率；（ 2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【分析及解】 記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B。解法一 “乙投籃次數(shù)不超過1 次”包括三種情況：一種是甲第1 次投籃投中， 另一種是甲第 1 次投籃未投中而乙第1 次投籃投中， 再一種是甲、 乙第 1 次投籃均未投中而甲第2 次投籃投中，所求的概率是 P = P（ A+ A BABA)= P(A) P(A B) P( A BA)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)P( A)P

13、( A)P(B)P(A) P(B) P(A)1313215 .4434348答：乙投籃次數(shù)不超過1 次的概率為58解法二：“乙投籃次數(shù)不超過1 次”的對(duì)立事件是“乙投籃2 次”，所以，所求的概率是P 1 P(ABA)= 1 P(A) P(B) P(A)132354348答：乙投籃次數(shù)不超過1 次的概率為58（ 2）甲、乙投籃總次數(shù)的取值1，2， 3， 4，P(1)P( A)14311P(2)P( AB)P( A) P(B)344P(3)P( ABA)P(A)P(B)P(A)32114348P(4)P( ABA)P( A)P( B)P( A)32334348甲、乙投籃次數(shù)總和的分布列為1 234

14、P111344881 113 1321甲、乙投籃總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E2444888答：甲、乙投籃次數(shù)總和的數(shù)學(xué)期望為21 .8考點(diǎn) 4：選題，選課，做題，考試問題【例 7】甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6 ，被甲或乙解出的概率為0.92 。求：（ 1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率。（ 2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【分析及解】 （1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、 B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙獨(dú)立解出此題的概率為P2.則 P（A） =P1=0.6 ，P（ B）=P2P（ A+B） =1 P（ AB ）=1 (1 P1)(1 P2)=P1

15、+P2 P1+P2=0.92 0.6+P 20.6P 2=0.92則 0.4P 2=0.32 即 P2=0.8.（ 2） P（ =0） =P（ A ）· P（ B ） =0.4 × 0.2=0.08P( =1)=P(A)P( B )+P( A )P(B)=0.6× 0.2+0.4 × 0.8=0.44P( =2)=P(A) ·P(B)=0.6 × 0.8=0.48的概率分布為：012P0.080.440.48E =0 × 0.08+1× 0.44+2× 0.48=0.44+0.96=1.4D =(0 1.

16、4) 2· 0.08+(1 1.4) 2· 0.44+(2 1.4) 2 ·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.4 ，方差為 0.4 ?！纠?8】某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響.已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08 ，只選修甲和乙的概率是0.12 ，至少選修一門的概率是0.88 ，用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.（）記“函數(shù) f ( x) x2x 為 R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件 A的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望 .【分析及解】 設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分

17、別為x、 y、 zx(1y)(1z)0.08,x0.4依題意得 xy(1z)0.12,解得 y0.61 (1x)(1 y)(1 z) 0.88,z0.5（I ）若函數(shù) f( x)x 2x 為 R上的偶函數(shù)，則=0當(dāng) =0 時(shí)，表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選P( A)P(0)xyz(1x)(1y)(1z)=0.4 ×0.5 × 0.6+ （ 1 0.4 ）（ 10.5 ）（ 10.6 ） =0.24事件 A 的概率為0.24（ II ）依題意知 =0.2則 的分布列為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)02P0.240.76的數(shù)學(xué)期望為E=0× 0.24+2 × 0.76

18、=1.52考點(diǎn) 5：試驗(yàn)，游戲，競(jìng)賽，研究性問題【例 9】某家具城進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)滿1000 元，便可以獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為1 ，若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金1000 元，某顧客購(gòu)買5一張價(jià)格為3400 元的餐桌，得到3 張獎(jiǎng)券，設(shè)該顧客購(gòu)買餐桌的實(shí)際支出為元.（ I ）求的所有可能取值；（ II ）求的分布列；（ III ）求的期望 E .【分析及解】解法一（ I ）的所有可能取值為3400， 2400，1400， 400（ II） P(3400)( 4)364P(2400)C31 ( 1)( 4) 248512555125P(1400) C32 ( 1)

19、2 ( 4)12P(400)C53(1)31551255125的分布列為 3400 2400 1400 400P6448121125125125125（III ） E3400642400481212800.1251400400125125125解法二設(shè)該顧客中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券張，則34001000 B(3,1)(4)3645（II ） P(3400)P(0)5125P(2400)P(1)C31 (1)(4) 24855125P(1400)P(2)C32 (1) 2 ( 4)1255125P(400)P(3)C33(1) 315125（III ） E34001000 E3400 1000328005P(6

20、)1 (11)1 ,326P(9)111 ,326所以的數(shù)學(xué)期望E =0× P（ =0） +6× P（ =3） +9×（ =9） =2.5文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)由于按先 A 后 B 或先 B 后 A 的次序答題，獲得獎(jiǎng)金期望值的大小相等，故獲得獎(jiǎng)金期望值的大小與答題順序無(wú)關(guān) .【例 10】某小組有 7個(gè)同學(xué)，其中4 個(gè)同學(xué)從來(lái)沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).（ 1）現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2 個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，求恰好選到 1 個(gè)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率；（ 2）若從該小組隨機(jī)選2 個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，則活動(dòng)

21、結(jié)束后， 該小組沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量， 求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 E .【分析及解】 （）記“恰好選到12 個(gè)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件A，則其概率為C41C314P(A).C727（）隨機(jī)變量=2， 3， 4P（ =2） = C422 .P（ =3） = C41C314 .C727C727（=4） = C321隨機(jī)變量的分布列為P.C727234P241777E =2× 2+3× 4+4× 1=207777考點(diǎn) 6：旅游，交通問題【例 11】春節(jié)期間，小王用私家車送 4 位朋友到三個(gè)旅游景點(diǎn)去游玩，每位朋友在每

22、一個(gè)景點(diǎn)下車的概率均為 1 ，用 表示 4 位朋友在第三個(gè)景點(diǎn)下車的人數(shù)，求：3（）隨機(jī)變量的分布列；（）隨機(jī)變量的期望 .【分析及解】 解法一：（ I ） 的所有可能值為 0， 1，2， 3， 4，由等可能性事件的概率公式得文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)P(0)(2) 416,P( 1)C412332,3813481P (2)C42 2283)C43 2834, P(34,2781P(4)(1) 41381從而的分布列為01234P16328818181278181（ II ）由（ I ）得的期望為E0161322838414 .81812781813解法二：（ I ）考察一位朋友是否在第三個(gè)景點(diǎn)下車為一次試

23、驗(yàn)，這是 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) .故 B(4, 1),即有 3P(k )C 4k ( 1) k ( 2) 4 k , k0,1,2,3,4.33解法三：（ II ）由對(duì)稱性與等可能性，在三個(gè)景點(diǎn)任意一個(gè)景點(diǎn)下車的人數(shù)同分布，故期望值相等。即3E4,從而 E4 .3【例 12】旅游公司為3 個(gè)旅游團(tuán)提供4 條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條.（ 1）求 3 個(gè)旅游團(tuán)選擇 3 條不同的線路的概率（ 2）求恰有 2 條線路沒有被選擇的概率 .（ 3）求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的期望.【分析及解】 （1） 3 個(gè)旅游團(tuán)選擇3 條不同線路的概率為：P =A4334381C42 C32 A229（ 2）恰有兩條線

24、路沒有被選擇的概率為：P2 =4316（ 3）設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為，則 =0， 1， 2， 3P（ =0） = 3327P（ =1） = C 31 322743644364文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)C 3139P（ =3）=C331P（ =2） =36436444 的分布列為0123272791P64646464期望 E =0×27 +1× 27 +2× 9+3× 1 =3646464644考點(diǎn) 7：摸球問題【例 13】甲盒有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3 的 3 個(gè)紅球；乙盒有標(biāo)號(hào)分別為1、2 、 n（ n 2）的n 個(gè)黑球， 從甲、乙兩盒中各抽取一個(gè)小球，抽取的標(biāo)號(hào)恰好分

25、別為1 和 n 的概率為1.12（ 1）求 n 的值；（ 2）現(xiàn)從甲、乙兩盒各隨機(jī)抽取 1 個(gè)小球，抽得紅球的得分為其標(biāo)號(hào)數(shù)；抽得黑球，若標(biāo)號(hào)數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標(biāo)號(hào)數(shù)為偶數(shù)，則得分為零，設(shè)被抽取的2 個(gè)小球得分之和為，求的數(shù)學(xué)期望 E.【分析及解】 （1）由 111 得 n=4（2） 甲盒3n12乙盒1 2 31234是被抽取的 2 個(gè)小球得分之和則有 （=1）= 121P346P（=2） =1212234346P（=3）= 1212234346P（=4）= 121346概率分布表：12341221 E=126261146415512P36666466626【例 14】一個(gè)口袋中裝有大小

26、相同的2 個(gè)白球和4 個(gè)黑球。（ 1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求兩球恰好顏色不同的概率；（ 2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求摸得白球的個(gè)數(shù)的期望和方差.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【分析及解】 解法一“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，“兩球恰好顏色不同”共2× 4+4× 2=16 種可能，P( A)164669解法二“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)每次摸出一球得白球的概率為P21634“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為P2 (1)C21(1p)9（ 2）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為，依題意得P(0)4 3 2,

27、P(1)42248 ;P(2)2 116556565156515E0 118212 , D(02 ) 22(12 ) 28(22) 21162151533531531545考點(diǎn) 8：摸卡片，數(shù)字問題【例 15】在一個(gè)盒子里放有 6 張卡片，上面標(biāo)有數(shù)字 1， 2，3， 4， 5，6，現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩片 .（ I ）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12 的概率；（ II ）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析及解】（ I ）取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12 的事件為3，4，5，

28、6 四個(gè)數(shù)中取出兩個(gè)，且應(yīng)除去3， 4 兩個(gè)數(shù)字。C42 11故所求事件概率 P.C623（ II ）若每次取出后不再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字隨機(jī)變量，=2， 3， 4， 5， 6.P(2)11 ,P(3)C 212 ,P(C313 ,C 624)C 621515C 6215P(5)C4146)C 515C 62, P(C 62.1515E213243546514 每次取出后再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字是隨機(jī)變量， =1， 2， 3， 4， 5，6.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)P(1)1, P(2)3, P(3)54)75)93636, P(, P(,3

29、63636P(6)1136E1123354759611161.36363636363636在每次取出后再放回和每次取出后不再取回這兩種取法中，得到的兩張卡上的數(shù)字中最大數(shù)字的期望值不相等 .【例 16】袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2， 3， 4， 5 的小球各2 個(gè)，從袋中任取3 個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3 個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：（）取出的3 個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；【分析及解】 ( ) “一次取出的3 個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則 PA= C53C21C21C212 .C1033（）由題意得，有可能的取值為：2， 3，4

30、， 5.P(2)C22 C21C21C221C42 C21C41C222C103， P(3)1530C103P(4)C62 C21C61 C223C82C21C81C228C103， P(5)1510C103所以隨機(jī)變量的概率分布為2345P123830151015因此的數(shù)學(xué)期望為E2132435813 .301510153考點(diǎn) 9：入座問題【例 17】編號(hào) 1， 2， 3 的三位學(xué)生隨意入坐編號(hào)為1， 2， 3 的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是.（ 1）求隨機(jī)變量的概率分布；（ 2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【分析及解】 （） P(0)21;P(

31、1)C311 ;P(2)0; P(3)11 ;A333A332A336概率分布列為：0123P1101326（） E1131 （ 9分）216D(10) 21(11) 21(12)20(31) 211.326注：可以不列出“ P（2)0 ” .【例 18】有編號(hào)為1， 2， 3， n 的 n 個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)為1， 2， 3， n 的 n 個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為，已知=2 時(shí)，共有6 種做法，（ 1）求 n 的值；（ 2）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 .【分析及解】 （）當(dāng)2 時(shí)，有 Cn2種坐法，Cn26 ，即 n(n1)6 ，2n

32、2n120， n4 或 n3 （舍去）n4（）的可能取值是 0, 2, 3,4 ，又P011P2C42161A44，A4424，244P3C43281493A4424， P24，38的概率分布列為：0234P111324438則 E01213 1433 24438文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn) 10：信息問題【例 19】如圖， A、B 兩點(diǎn)由 5 條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為 2，3，4，3，2，現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過的最大信息總量為.（）寫出最大信息總量的分布列；（）求最大信息總量的數(shù)學(xué)期望 .【分析及解】 （1）由已知，的取值為 7，8， 9， 10.P(7)C22 C211C53,5P(8)C22C11C22 C213 ,C5310P(9)C21C21 C112C53