2013年高考新課標(biāo)II全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2021年高考新課標(biāo)II全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題及答案     2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷  數(shù) 學(xué) 試 題     必試局部  考前須知：  考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本考前須知及各題答題要求  1本試卷共4頁(yè)，包含填空題第1題第14題、解答題第15題第20題本卷總分值160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回  2答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)寫(xiě)在答題卡的規(guī)定位置  

2、3請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚  4如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗  5請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損  一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置  上   1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z+i)(1+i)=1-ii是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)z的模z  2tana=2，那么sin(p+a)+cos(p-a)=_ sin(-a)+c

3、os(-a)  x2y23拋物線y = 8x的焦點(diǎn)到雙曲線 = 1的漸近線的距離為 2  4閱讀以下算法語(yǔ)句:  Read S¬1  For I from 1 to 5 step 2  S¬S+I  End for  Print S  End  輸出的結(jié)果是      1  5   設(shè)集合A=x1x-1<3x&l

4、t;B=x<0，那么AUB=_ 3x  1S46設(shè)等比數(shù)列an的公比q = n項(xiàng)和為Sn，那么 = _ 2a4  7在區(qū)間-5,5內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)a，那么恰好使1是關(guān)于x的不等式2x+ax-a<0的一個(gè)解的概率大小為_(kāi)  8   向量b=22-1，a=2，那么2a-b的最大值為 )  9A2,4，B1,2，C1,0，點(diǎn)Px,y在ABC內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，那么z = x y的最大值與最小值的和為_(kāi)  10設(shè)b,c表示兩條直線，a,b表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出以下命題：&#

5、160;  假設(shè)bÌa,c/a，那么b/c； 假設(shè)bÌa,b/c，那么c/a；   假設(shè)c/a,ab，那么cb； 假設(shè)c/a,cb，那么ab  其中正確的命題是_寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)  ì2x, x£0,211設(shè)函數(shù)f(x)=í，假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)-af(x)=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)  îlog2x,x>0  解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)  12函數(shù)y=f(x)g(x)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以運(yùn)用對(duì)數(shù)法

6、：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得  lny=g(x)lnf(x)，兩邊求導(dǎo)數(shù)f¢(x)y¢=g¢(x)lnf(x)+g(x)，于是y¢=f(x)g(x) yfx1éf¢(x)ù¢gxlnfx+gx()()ê()ú運(yùn)用此方法可以探求得知y=xx(x>0)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間fxúêëû為_(kāi)  x2y2  =1的上焦點(diǎn)為F，13橢圓+直線x+y+1=0和x+y-1=0與橢圓相交于點(diǎn)A，B，34 

7、 C，D，那么AF+BF+CF+DF=  14定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，f¢(x)<1，那么不等式fx2<x2+1的解集為     二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文  字說(shuō)明、證明或演算步驟  2 ()  15本小題總分值14分  如圖，點(diǎn)B在以PA為直徑的圓周上，點(diǎn)C在線段AB上，已   知  ，設(shè)ÐAPB=a

8、,ÐAPC=b，a,b均為銳角 PA=5,PB=3,P 1求b；  uuuruuuruuuruuur 2求兩條向量AC,PC的數(shù)量積AC×PC的值     A     16 本小題總分值14分  如圖，AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中點(diǎn)  1求證：AF/平面BCE；  2求證：平面BCE平面CDE E  B    

9、; C F     17本大題總分值14分  2021年上海世博會(huì)組委會(huì)為保證游客參觀的順利進(jìn)行，對(duì)每天在各時(shí)間段進(jìn)入園區(qū)和離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)以百人為計(jì)數(shù)單位作了一個(gè)模擬預(yù)測(cè)為了方便起見(jiàn)，以10分  3  鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午9點(diǎn)10分作為第一個(gè)計(jì)數(shù)人數(shù)的時(shí)間，即n=1；9點(diǎn)20分作為第二個(gè)計(jì)數(shù)人數(shù)的時(shí)間，即n=2；依此類(lèi)推LL，把一天內(nèi)從上午9點(diǎn)到晚上24點(diǎn)分成了90個(gè)計(jì)數(shù)單位第n個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)f(n)和時(shí)間nnÎN*滿足以下關(guān)  ì36&

10、#239;n-24ïï系： f(n)=í36×312  ï-3n+216ï0ïî(1£n£24)(25£n£36)，nÎN* (37£n£72)(73£n£90)  第n個(gè)時(shí)刻離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)g(n)和時(shí)間nnÎN*  ì0ïg(n)=í5n-120  ï50î()滿足以下關(guān)系：(1

11、3;n£24)(25£n£72),nÎN* (73£n£90)  1試計(jì)算在當(dāng)天下午3點(diǎn)整即15點(diǎn)整時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客多少百人？提   示：1.1，結(jié)果僅保存整數(shù)  2問(wèn)：當(dāng)天什么時(shí)刻世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多？     18本小題總分值16分  設(shè)圓C1:x+y-10x-6y+32=0，  動(dòng)圓C2:x+y-2ax-2(8-a)y+4a+12=0 ，  4 2222

12、0; 1求證：圓C1、圓C2相交于兩個(gè)定點(diǎn)；  x2  +y2=1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C1的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)1，過(guò)點(diǎn)P 2設(shè)點(diǎn)P是橢圓4  作圓C2的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)2，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使無(wú)窮多個(gè)圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，說(shuō)明理由     19 本小題總分值16分  2´3n + 2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = nÎN* 1求數(shù)列an的最大項(xiàng)；  2設(shè)bn = an + pp，使

13、得bn為等比數(shù)列； n，問(wèn)：數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，* 3設(shè)mn,pÎN,m<n<p  an，ap是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說(shuō)明理由     20本大題總分值16分  函數(shù)f(x)=a|x|+2  ax(a>0,a¹1)，  1假設(shè)a>1，且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 5  2設(shè)函數(shù)g(x)=f(-x),xÎ-2,+&

14、#165;)，g(x)滿足如下性質(zhì)：假設(shè)存在最大小值，那么  最大小值與a無(wú)關(guān)試求a的取值范圍     加試局部     21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每題l0分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖?#160; 題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟   A選修4 1幾何證明選講  如圖，ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D  A 求證：ED2= EB

15、3;EC     B矩陣與變換  矩陣A=ê     C選修4 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)  假設(shè)兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為r = 1與r = 2cosq +  線段AB的長(zhǎng)     6 B D E é2-1ùé4-1ùB=，úê-31ú，求滿足AX=B的二階矩陣X ë-43ûëûp,它們相交于A，B兩點(diǎn)

16、，求     D選修4 5 不等式證明選講  設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:a3 + b3 + c3 +     【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟  22 本小題總分值10分  如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA底面ABCD，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，AM平面PBD  1求PA的長(zhǎng)；  2求棱PC與平面AMD所

17、成角的正弦值     P     A  B     23本小題總分值10分  用a,b,c,d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1(nÎN*)個(gè)字母的字符串，要求由a開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同 例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab,ac,ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc， 如下圖記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an  

18、;7 13  3n+3(-1)n  (nÎN*,n³1)； 1試用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=  4  2現(xiàn)從a,b,c,d四個(gè)字母組成的含n+1(nÎN*,n³2)個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽  取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：  21£P£  12  5íìx0<x<1üî2ýþ&#

19、160; 92  b n=1  參考答案  23  31 615  10  11a0<a<1  8  9a  3  c  a a  b a b n=2  410 84  12(0,e)     138 14(-¥,-1)U(1,+¥)&#

20、160; o15解1：因?yàn)辄c(diǎn)B在以PA為直徑的圓周上，所以ÐABP=90，所以  cosa=PB344=,sina=所以tana=，2分   PA553  cosÐCPB=cos(a-b)=   PBsin(a-b)=， =10PC7  所以tan(a-b)=1，4分 7  tanb=tana-(a-b)=  又bÎ(0,tana-tan(a-b)=1，6分 1+tanatan(a-b)8分 p  

21、;42  uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur 2AC×PC=(PC-PA)×PC=PC-PA×PC   11分   )，所以b=p  275=(-5´´=-14分 77249  116解:取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP,BP,因?yàn)镕為CD的中點(diǎn),所以FP/DE,且FP = , 2分 1又AB/DE,且AB =DE,所以AB/FP,且AB= FP, 所以四邊形ABPF為平行四邊形,所以AF/BP 4分  

22、又因?yàn)锳FÌ/平面BCE,BPÌ平面BCE, 所以AF/平面BCE 7分  該邏輯段缺1個(gè)條件扣1分  因?yàn)锳CD為正三角形,所以AFCD C  因?yàn)锳B平面ACD,DE/AB,所以DE平面ACD,  又AFÌ平面ACD,所以DEAF 9分  又AFCD，CDDE = D，所以AF平面CDE  又BP/AF，所以BP平面CDE 12分  又因?yàn)锽PÌ平面BCE，  所以平面BCE平面CDE 14分

23、 E B F *17解：1當(dāng)0£n£24且nÎN時(shí)，f(n)=36，當(dāng)25£n£36且nÎN時(shí)，  f(n)=36×3  n-2412 9  所以S36=f(1)+f(2)+f(3)+L+f(24)+f(25)+f(26)+L+f(36)  é-1=36×24+36   ×   ù=864+792=1656；2分  另一方面，已經(jīng)離開(kāi)的游客總?cè)藬?shù)是

24、：  T12=g(25)+g(26)+L+g(36)=12×5+12´11´5=390；4分 2  所以S=S36-T12=1656-390=1266百人  故當(dāng)天下午3點(diǎn)整即15點(diǎn)整時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客1266百人 6分  2當(dāng)f(n)-g(n)³0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞增；當(dāng)f(n)-g(n)<0時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞減 i當(dāng)1£n£24時(shí)，園區(qū)人數(shù)越來(lái)越多，人數(shù)不是最多的時(shí)間；8分 ii當(dāng)25£n£36時(shí)，令5n-120£3

25、6，得出n£31，  即當(dāng)25£n£31時(shí)，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來(lái)越多；10分 iii當(dāng)32£n£36時(shí)，36×3n-24  12>5n-120，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，  總?cè)藬?shù)越來(lái)越多；12分 當(dāng)37£n£72時(shí)， 令-3n+216=5n-120時(shí)，n=42，  即在下午4點(diǎn)整時(shí)，園區(qū)人數(shù)到達(dá)最多  此后離開(kāi)人數(shù)越來(lái)越多，故園區(qū)內(nèi)人數(shù)最多的時(shí)間是下午4點(diǎn)整 14分 答：1當(dāng)天下午3點(diǎn)整即15

26、點(diǎn)整時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有游客1266百人；  2在下午4點(diǎn)整時(shí)，園區(qū)人數(shù)到達(dá)最多     18解1將方程x+y-2ax-2(8-a)y+4a+12=0 化為 22  x2+y2-16y+12+(-2x+2y+4)a=0，  ìx2+y2-16y+12=0ìx=4ìx=6令í得í或í，所以圓C2過(guò)定點(diǎn)(4,2)和(6,4)，4分 y=2y=4îîî-2x+2y+4=0  將í

27、36;x=422代入x+y-10x-6y+32=0，左邊=16+4-40-12+32=0=右邊，故îy=2  點(diǎn)(4,2)在圓C1上，同理可得點(diǎn)(6,4)也在圓C1上，所以圓C1、圓C2相交于兩個(gè)定點(diǎn)(4,2)和(6,4)；6分  10  2設(shè)P(x0,y   0)，那么PT1=  8   分  PT2=， 10分  PT1=PT2  即  -10x0-6y0+32=-2ax0-2(8-

28、a)y0+4a+12  ，整理得  (x0-y0-2)(a-5)=0*12分  ìx0-y0-2=0ï  存在無(wú)窮多個(gè)圓C2，滿足PT1=PT2的充要條件為íx2有解，解此方程組得  20  +y0=1ïî4  6ìx=  ìx0=2ïï05  或í，14分 í  îy0=0&#

29、239;y=-4  0ï5î  故存在點(diǎn)P，使無(wú)窮多個(gè)圓C2，滿足PT1=PT2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為  64  (2,0)或(,-)16分  55  19解 由題意an = 2 +  4  2 + + p  (2 + p)(3n 1) + 4(2 + p)3n + (2 p)  bn = = = bn為等比數(shù)列，  那么bn+1 bnbn+2= 0nÎN

30、* 所以 2 + p3n+1 + 2 p2 2 + p3n + 2 p2 + p3n+2 + 2 p = 0nÎN*， 化簡(jiǎn)得4 p22·3n+1 3n+2 3n = 0即 4 p2·3n·4 = 0,解得p = ±2 7分  反之,當(dāng)p = 2時(shí),bn = 3n,bn是等比數(shù)列;當(dāng)p = 2時(shí),bn = 1,bn也是等比數(shù)列所以,當(dāng)且僅當(dāng)p = ±2時(shí)bn為等比數(shù)列 10分 因?yàn)閍m=2+  2  4  隨著n的增大而減小,所以an中的最大項(xiàng)為a1 =

31、4 4分 444  a=2+a=2+，假設(shè)存在三項(xiàng)am，an，ap，npmnp  3-13-13-1  使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，那么2an=am+ap，所以     11  2(2+  444)2+2+=，12分 3n-13m-13p-1  化簡(jiǎn)得3n(2´3p-n-3p-m-1)=1+3p-m-2´3n-m*，因?yàn)閙,n,pÎN*,m<n<p，所以p-m³p-1，p-m&#

32、179;n-m+1，所以3n+  p-m  ³3  -p1+n  -p  =3´3，  n  3p-m³3n-m+1=3´3n-m，*的  左邊£3n(2´3p-n-3´3p-n-1)=3n(-3p-n-1)<0， 右邊³1+3´3  n-m  -2´3n-m=1+3n-m>0，所以*式

33、不可能成立，  故數(shù)列an中不存在三項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列 16分  x20解：1令a=t，x>0，因?yàn)閍>1，所以t>1，所以關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)  不同的正數(shù)解等價(jià)于關(guān)于t的方程t+  2  2  =m有相異的且均大于1的兩根，即 關(guān)于t的方t  程t-mt+2=0有相異的且均大于1的兩根，2分  ìD=m2-8>0,ïïm所以í

34、>1,，4分   ï22ïî1-m+2>0  解得<m<3，故實(shí)數(shù)m   的取值范圍為區(qū)間6分 2g(x)=a|x|+2ax,xÎ-2,+¥)  當(dāng)a>1時(shí)，ax³0時(shí)，ax³1，g(x)=3ax，所以 g(x)Î3,+¥)，b-2£x<0時(shí)，  1-xx-xxx  g(x)=a+2a，所以 g'(x)=-alna+2alna=

35、63;a<12  a     當(dāng)  2(ax)-1  2  a  x  lna8分  1>   1<a<"xÎ(-2,0)，g'(x)>0，所以 g(x)在-2,0)上遞增， 2a所以 g(x)Îa2+  222  g(x)，綜合a b有最小值為與a有關(guān)，不符10分 ,3)a+22 

36、; aa  12     當(dāng)  111g'(x)=0£   a³得，且當(dāng)x=-log2-2<x<-loga2時(shí)，a  a222  11  g'(x)<0，當(dāng)-loga2<x<0時(shí)，g'(x)>0，所以 g(x)在-2,-loga2上遞減，在  22  1æ1ö  -lo

37、ga2,0上遞增，所以g(x)min=gç-loga2÷=a b g(x)有最小   2è   2ø  值為a無(wú)關(guān)，符合要求12分  當(dāng)0<a<1時(shí)，a x³0時(shí)，0<ax£1，g(x)=3ax，所以 g(x)Î(0,3 b -2£x<0時(shí)，1<ax£  1  ，g(x)=a-x+2ax， 2a  2(ax)-1  2

38、  所以 g'(x)=-a-xlna+2axlna=所以 g(x)Î(3,a2+  ax  lna <0，g(x)在-2,0)上遞減，  222  g(x)，綜合a b 有最大值為與a有關(guān)，不符14分 a+22  aa  綜上所述，實(shí)數(shù)a   的取值范圍是a³16分  數(shù)學(xué)附加題  21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每題l0分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖?

39、#160; A 題卡指定區(qū)域  A選修4 1幾何證明選講  證明: 因?yàn)镋A是圓的切線,AC為過(guò)切點(diǎn)A的弦,所以  B ÐCAE = ÐCBA D  又因?yàn)锳D是ÐBAC的平分線,所以ÐBAD = ÐCAD 所以ÐDAE = ÐDAC + ÐEAC = ÐBAD + ÐCBA = ÐADE  所以,EAD是等腰三角形,所以EA = ED 6分 又EA2 = EC·EB

40、,  所以ED2 = EB·EC 4分 B矩陣與變換： 解：由題意得A  -1  E  é3=ê2êë21ù  2ú，5分 ú1û  1ùé9  4-1éù  =ê22úêúú-31ûê  1ûë&#

41、235;5  13   é3  QAX=B，X=A-1B=ê2  êë2     ù-1ú  10分 ú-1û  C選修4 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)  假設(shè)兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為r = 1與r = 2cosq +  p  ,它們相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)  解 首先將兩曲線

42、的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,得 2222  x + y = 1與x + y x + 3y = 06分  22  ìx + y = 1  解方程組í2 2  îx + y x + 3y = 013  得兩交點(diǎn)坐標(biāo)1,0,   所以,線段AB1(1 + 2 + (0 + 2= 3  即AB = 310分  D選修4 5 不等式證明選講 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:a3 + b3 + c3 +  1  3 3  證明 因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),所以a3 + b3 + c33abc = 3abc>05分 又3abc +  13abc·  3 所以a3 + b3 + c3 +  1&