數(shù)學中考壓軸題旋轉(zhuǎn)問題 答案版

1、 旋轉(zhuǎn)拔高練習一、選擇題1. （廣東）如圖，把一個斜邊長為2且含有300角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)900到A1B1C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積是【 】A B C D1、【分析】因為旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積分為三部分扇形ACA1、 BCD和ACD 計算即可：在ABC中，ACB=90°，BAC=30°，AB=2，BC=AB=1，B=90°BAC=60°。設(shè)點B掃過的路線與AB的交點為D，連接CD，BC=DC，BCD是等邊三角形。BD=CD=1。點D是AB的中點。S。 故選D。2. （湖北）如圖，O是正ABC內(nèi)一點，

2、OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，下列結(jié)論：BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；點O與O的距離為4；AOB=150°；其中正確的結(jié)論是【 】A B C D 2【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到。故結(jié)論正確。 連接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等邊三角形。OO=OB=4。故結(jié)論正確。在AOO中，

3、三邊長為OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150°。故結(jié)論正確。故結(jié)論錯誤。如圖所示，將AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至O點易知AOO是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5直角三角形。則。故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選A。3. （四川）如圖，P是等腰直角ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP，已知APB=135°，PA：PC=1：3，則PA：PB=【 】。A1： B1：2 C：2 D1：3、【分析】如圖，連接AP，B

4、P繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP，BP=BP，ABP+ABP=90°。又ABC是等腰直角三角形，AB=BC，CBP+ABP=90°，ABP=CBP。在ABP和CBP中， BP=BP，ABP=CBP，AB=BC ，ABPCBP（SAS）。AP=PC。PA：PC=1：3，AP=3PA。連接PP，則PBP是等腰直角三角形。BPP=45°，PP= 2 PB。APB=135°，APP=135°-45°=90°，APP是直角三角形。設(shè)PA=x，則AP=3x，在RtAPP中，。在RtAPP中，。，解得PB=2x。PA：PB=x：2

5、x=1：2。 故選B。4. （貴州）點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與A、B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，連接BE，則CBE等于【 】A75° B60° C45° D30°4【分析】過點E作EFAF，交AB的延長線于點F，則F=90°，四邊形ABCD為正方形，AD=AB，A=ABC=90°。ADP+APD=90°。由旋轉(zhuǎn)可得：PD=PE，DPE=90°，APD+EPF=90°。ADP=EPF。在APD和FEP中，ADP=EPF，A=F，PD=PE，APDFE

6、P（AAS）。AP=EF，AD=PF。又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF。AP=BF。BF=EF又F=90°，BEF為等腰直角三角形。EBF=45°。又CBF=90°，CBE=45°。故選C?！敬鸢浮緾。5. （廣西）如圖，等邊ABC的周長為6，半徑是1的O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則O自轉(zhuǎn)了：【 】A2周B3周C4周D5周5【分析】該圓運動可分為兩部分：在三角形的三邊運動以及繞過三角形的三個角，分別計算即可得到圓的自傳周數(shù)：O在三邊運動時自轉(zhuǎn)周數(shù)：6÷2

7、=3：O繞過三角形外角時，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)：360°，即一周。O自轉(zhuǎn)了3+1=4周。故選C。二、填空題6. （四川）如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長是 cm. 6【分析】如圖，將ADC旋轉(zhuǎn)至ABE處，則AEC的面積和四邊形ABCD的面積一樣多為24cm2，,這時三角形AEC為等腰直角三角形，作邊EC上的高AF，則AF=EC=FC, SAEC= AF·EC=AF2=24 。AF2=24。AC2=2AF2=48 AC=4。7. （江西南昌）如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將AEF

8、繞頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，BAE的大小可以是 7【分析】正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解： 當正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，如圖1，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，AB=AD，AE=AF。當BE=DF時，在ABE和ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60°，BAE+FAD=30°。BAE=FAD=15°。當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉(zhuǎn)小于1800時，如圖2，同上可得ABEADF（SSS）。BAE=FAD

9、。EAF=60°，BAF=DAE。900600BAFDAE=3600，BAF=DAE=105°。BAE=FAD=165°。當正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時針旋轉(zhuǎn)大于1800時，如圖3，同上可得ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60°，BAE=90°，90°DAE=60°DAE，這是不可能的。此時不存在BE=DF的情況。綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，BAE的大小可以是15°或165°。8. （吉林?。┤鐖D，在等邊ABC中，D是邊AC上一點，連接BD將BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)

10、60°得到BAE，連接ED若BC=10，BD=9，則AED的周長是_ _.8【分析】BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BAE， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，CD= AE，BD=BE。ABC是等邊三角形，BC=10，AC= BC=10。AEAD=AC=10。又旋轉(zhuǎn)角DBE=600，DBE是等邊三角形。DE=BD=9。AED的周長=DEAEAD=910=19。三、解答題9. （北京市）在中，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ。（1） 若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出CDB的度數(shù)

11、；（2） 在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3） 對于適當大小的，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍。9【答案】解：（1）補全圖形如下：CDB=30°。（2）作線段CQ的延長線交射線BM于點D，連接PC，AD，AB=BC，M是AC的中點，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD與CPD中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。

12、又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180°。APQ+ADC=360°（PAD+PQD）=180°。ADC=180°APQ=180°2，即2CDB=180°2。CDB=90°。（3）45°60°?！痉治觥浚?）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出CMQ是等邊三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60°，M是AC的中點，BMAC，AM=AC。將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ，AM=MQ，AMQ=120°。

13、CM=MQ，CMQ=60°。CMQ是等邊三角形。ACQ=60°。CDB=30°。（2）首先由已知得出APDCPD，從而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180°，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90°，且PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=180°2。點P不與點B，M重合，BADPADMAD。2180°2，45°60°。10. （福建）在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示放置，點A在x軸上，點B的坐標為（m，1）（m0），將此矩形繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OABC（1）

14、寫出點A、A、C的坐標；（2）設(shè)過點A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）試探究：當m的值改變時，點B關(guān)于點O的對稱點D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時m的值 10【答案】解：（1）四邊形ABCD是矩形，點B的坐標為（m，1）（m0），A（m，0），C（0，1）。矩形OABC由矩形OABC旋轉(zhuǎn)90°而成，A（0，m），C（1，0）。（2）設(shè)過點A、A、C的拋物線解析式為y=ax2bxc，A（m，0），A（0，m），C（1，0），解得。此拋物線的解析式為：y=x2（m1）xm。（3）點B與點D關(guān)于原點對稱

15、，B（m，1），點D的坐標為：（m，1），假設(shè)點D（m，1）在（2）中的拋物線上，0=（m）2（m1）×（m）m=1，即2m22m1=0，=（2）24×2×2=40，此方程無解。點D不在（2）中的拋物線上?！痉治觥浚?）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，點B的坐標為（m，1）（m0），求出點A、C的坐標，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A、C的坐標即可。（2）設(shè)過點A、A、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、A、C三點的坐標代入即可得出abc的值，進而得出其拋物線的解析式。（3）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點用m表示出D點坐標，把D點坐標代入拋物線的解析式看是否符合即

16、可。11. （江蘇）(1)如圖1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足DBE=ABC(0°CBEABC)。以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ABC，得到BEA（點C與點A重合，點E到點E處），連接DE。求證：DE=DE. （2）如圖2，在ABC中，BA=BC，ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足DBE=ABC(0°CBE45°).求證：DE2=AD2+EC2.11【答案】證明：（1）BEA是BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ABC得到， BE=BE，EBA=EBC。DBE=ABC，ABDEBC =ABC。 ABDEBA =ABC，

17、即EBD=ABC。EBD=DBE。在EBD和EBD中，BE=BE，EBD=DBE，BD=BD，EBDEBD（SAS）。DE=DE。（2）以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ABC=90°，得到BEA（點C與點A重合，點E到點E處），連接DE 由（1）知DE=DE。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知EA=EC，E AB=ECB。又BA=BC，ABC=90°，BAC=ACB=45°。E AD=E ABBAC=90°。 在RtDEA中，DE2=AD2+EA2，DE2=AD2+EC2?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得BE=BE，EBA=EBC，由已知DBE=ABC經(jīng)等量代換可

18、得EBD=DBE，從而可由SAS得EBDEBD，得到DE=DE。（2）由（1）的啟示，作如（1）的輔助圖形，即可得到直角三角形DEA，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論。12. （四川德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BEDB交x軸于點E.求經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式；將DBE繞點B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請說明理由.過中的點F的直線交射線CB于點P，交中的拋物線在第一象限的部分于點Q

19、，且使PFE為等腰三角形，求Q點的坐標.12【答案】解：（1）BEDB交x軸于點E，OABC是正方形，DBC=EBA。在BCD與BAE中，BCD=BAE=90°， BC=BA ，DBC=EBA ， BCDBAE（ASA）。AE=CD。OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），E（6，0）設(shè)過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則有：，解得 。經(jīng)過點D、B、E的拋物線的解析式為：。（2）結(jié)論OF=DG能成立理由如下：由題意，當DBE繞點B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，同理可證得BCGBAF，AF=

20、CG。xM=，。M（）。設(shè)直線MB的解析式為yMB=kx+b，M（），B（4，4），解得。yMB=x+6。G（0，6）。CG=2，DG=4。AF=CG=2，OF=OAAF=2，F(xiàn)（2，0）。OF=2，DG=4，結(jié)論OF=DG成立。（3）如圖，PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：若PF=FE。FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，此時P點位于射線CB上。F（2，0），P（2，4）。此時直線FPx軸。來xQ=2。，Q1（2，）。若PF=PE。如圖所示，AF=AE=2，BAFE，BEF為等腰三角形。此時點P、Q與點B重合。Q2（4，4）。若PE=EF。FE=4，BC與OA平行線之間距

21、離為4，此時P點位于射線CB上。E（6，0），P（6，4）。設(shè)直線yPF的解析式為yPF=kx+b，F(xiàn)（2，0），P（6，4），解得。yPF=x2。Q點既在直線PF上，也在拋物線上，化簡得5x214x48=0，解得x1= ，x2=2（不合題意，舍去）。xQ=2。yQ=xQ2=。Q3（）。綜上所述，Q點的坐標為Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（）。【分析】（1）由正方形的性質(zhì)和BCDBAE求得E點坐標，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式。（2）求出M點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點坐標，從而得到線段CG、DG的長度；由BCGBAF，可得AF=CG，從而求得OF的長

22、度比較OF與DG的長度，它們滿足OF=DG的關(guān)系，所以結(jié)論成立；（3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三種情況，逐一討論并求解。13. （遼寧）（1）如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90°當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；將圖1中的ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角（0°90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由（2）當ABC和ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由甲：AB：AC=AD：AE=1

23、，BAC=DAE90°； 乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90°13【答案】解：（1）結(jié)論：BD=CE，BDCE。結(jié)論：BD=CE，BDCE。理由如下：BAC=DAE=90°，BADDAC=DAEDAC，即BAD=CAE。在RtABD與RtACE中，AB=AC，BAD=CAE ，AD=AE，ABDACE（SAS）。BD=CE。延長BD交AC于F，交CE于H。在ABF與HCF中，ABF=HCF，AFB=HFC，CHF=BAF=90°。BDCE。（2）結(jié)論：乙AB：AC=AD：AE，

24、BAC=DAE=90°?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）BD=CE，BDCE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得BD=CE、對應(yīng)角相等ABF=ECA；然后在ABD和CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得CFD=90°，即BDCF。BD=CE，BDCE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得BD=CE、對應(yīng)角相等ABF=ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構(gòu)建對頂角ABF=HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得BHC=90°

25、。（2）根據(jù)結(jié)論、的證明過程知，BAC=DFC（或FHC=90°）時，該結(jié)論成立了，所以本條件中的BAC=DAE90°不合適。14. （遼寧本溪）已知，在ABC中，AB=AC。過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，直線a交BC邊于點P（點P不與點B、點C重合），BMN的邊MN始終在直線a上（點M在點N的上方），且BM=BN，連接CN。（1）當BAC=MBN=90°時，如圖a，當=45°時，ANC的度數(shù)為_；如圖b，當45°時，中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；（2）如圖c，當BAC=MBN90°時，請直接寫出A

26、NC與BAC之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明。14【答案】解：（1）450。不變。理由如下過B、C分別作BDAP于點D，CEAP于點E。BAC =90°，BADEAC=90°。BDAP，ADB =90°。ABDBAD=90°。ABD=EAC。又AB=AC，ADB =CEA=90°，ADBCEA（AAS）。AD=EC，BD=AE。BD是等腰直角三角形NBM斜邊上的高，BD=DN，BND=45°。BN=BD=AE。DNDE=AEDE，即NE=AD=EC。NEC =90°，ANC =45°。（3）ANC =90°BAC

27、?！痉治觥浚?）BM=BN，MBN=90°，BMN=BNM=45°。 又CAN=45°，BMN=CAN。又AB=AC，AN=AN，BMNCAN（SAS）。ANC=BNM=45°。過B、C分別作BDAP于點D，CEAP于點E。通過證明ADBCEA從而證明CEN是等腰直角三角形即可。 （2）如圖，由已知得： =18002ABC1（AB=AC） =1800261（BAC=MBN，BM=BN） =（180021）6 =3456（三角形內(nèi)角和定理） =656=5（34=ABC=6）。 點A、B、N、C四點共圓。 ANC =ABC =90°BAC。15.（

28、山東德州） 已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45º，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）FBACE第15題圖FBADCEG第15題圖 FBADCEG第15題圖15 解：（1）證明：在RtFCD中， G為DF的中點， CG=FD 1分同理，在

29、RtDEF中， EG=FD 2分 CG=EG3分（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG4分證法一：連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點FBADCEGMNN圖 （一）在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5分在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分FBADCEGM圖 （二）在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 8分證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF，ME，EC， 4分在D

30、CG 與FMG中，F(xiàn)G=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，F(xiàn)MGDCG MFCDAB5分在RtMFE 與RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE6分MECMEFFECCEBCEF90° 7分 MEC為直角三角形 MG = CG，F(xiàn)BADCE圖G EG=MC 8分（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG其他的結(jié)論還有:EGCG10分16、（襄陽）如圖1，點A是線段BC上一點，ABD和ACE都是等邊三角形（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；（2）如圖2，將ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到ABD當旋轉(zhuǎn)角為60度時，邊AD落在AE上；在的條件下，延長D

31、D交CE于點P，連接BD，CD當線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，BDD與CPD全等？并給予證明16、解（1）證明：ABD和ACE都是等邊三角形AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=60°，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=DAC，在BAE和DAC中，BAEDAC（SAS），BE=CD；（2）解：BAD=CAE=60°，DAE=180°60°×2=60°，邊AD落在AE上，旋轉(zhuǎn)角=DAE=60°；當AC=2AB時，BDD與CPD全等理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，AB與AD重合，AB=BD=DD=AD，四邊形ABDD是菱形，ABD=DBD=ABD=×60°