人教版八年級上《13.3.2 等邊三角形》教案設計

1、京翰初中家教專業(yè)對初中學生開設初二數(shù)學輔導補習班13.3.2 等邊三角形（1） （二）能力訓練要求 1經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維 2經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點 （三）情感與價值觀要求 1積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲 2在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心重點難點重點：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 難點：1等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 2引導學生全面、周到地思考問題 教學方法 探索發(fā)現(xiàn)法 教具準備 多媒體課件，投影儀

2、 教學過程 提出問題，創(chuàng)設情境 師我們在前兩節(jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形回答下面的三個問題 （演示課件） 1把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？ 2一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？ 3你認為有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流 （教師應給學生自主探索、思考的時間） 生甲由等邊對等角的性質(zhì)可知，等邊三角形的三個角相等，又由三角形三內(nèi)角和定理可知，等邊三角形的三個角相等，并且都等于60 生乙等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認為只要腰

3、和底邊相等，等腰三角形就是等邊三角形了 生丙等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且分別都等于60，我認為等腰三角形的三個內(nèi)角都等于60，也就是說這個等腰三角形就是等邊三角形了 （此時，部分同學同意此生看法，部分同學不同意此生看法，引起激烈的爭論，教師可讓同學代表發(fā)表自己的看法） 生丁我不同意這個同學的看法，因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形根據(jù)等角對等邊，三個內(nèi)角都是60，所以它們所對的邊一定相等，但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費! 師給三個角都是60，這個條件確實有點浪費，那么給什么條件不浪費呢？下面同學們可以在小組內(nèi)交流自己的看法

4、 導入新課 探索等腰三角形成等邊三角形的條件 生如果等腰三角形的頂角是60，那么這個三角形是等邊三角形 師你能給大家陳述一下理由嗎？生根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，頂角是60，等腰三角形的兩個底角的和就是180-60=120，再根據(jù)等腰三角形兩個底角是相等的，所以每個底角分別是1202=60，則三個內(nèi)角分別相等，根據(jù)等角對等邊，則此時等腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為60的等腰三角形為等邊三角形 生等腰三角形的底角是60，那么這個三角形也是等邊三角形，同樣根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊、等邊對等角的性質(zhì) 師從同學們自主探索和討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在等腰三角形中，不論底角是60，還是頂角是60，那么

5、這個等腰三角形都是等邊三角形你能用更簡潔的語言描述這個結(jié)論嗎？ 生有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形 （這個結(jié)論的證明對學生來說可能有一定的難點，難點是意識到分別討論60的角是底角和頂角兩種情況這是一種分類討論的思想，教師要關注學生得出證明思路的過程，引導學生全面、周到地思考問題，并有意識地向?qū)W生滲透分類的思想方法） 師你在與同伴的交流過程中，發(fā)現(xiàn)了什么或受到了何種啟示？生我發(fā)現(xiàn)我的證明過程沒有意識到“有一個角是60”，在等腰三角形中有兩種情況： （1）這個角是底角；（2）這個角是頂角也就是說我們思考問題要全面、周到 師我們來看有多少同學意識到分別討論60的角是底角和頂角的情況，我們鼓掌表

6、示對他們的鼓勵 今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形，我們在證明這個定理的過程中，還得出了三角形為等邊三角形的條件，是什么呢？ 生三個角都相等的三角形是等邊三角形 師下面就請同學們來證明這個結(jié)論 （投影儀演示學生證明過程） 已知：如圖，在ABC中，A=B=C 求證：ABC是等邊三角形 證明：A=B， BC=AC（等角對等邊） 又A=C， BC=AC（等角對等邊） AB=BC=AC，即ABC是等邊三角形 師這樣，我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到 （演示課件） 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60； 三個角都相等的三角形

7、是等邊三角形 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形 師有了上述結(jié)論，我們來學習下面的例題，體會上述定理 （演示課件）例4如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得APB=60，AP=BP=200m，他們便得出一個結(jié)論：A、B之間距離不少于200m，他們的結(jié)論對嗎？ 分析：我們從該問題中抽象出APB，由已知條件APB=60且AP=BP，由本節(jié)課探究結(jié)論知APB為等邊三角形 解：在APB中，AP=BP，APB=60， 所以PAB=PBA=（180-APB）=（180-60）=60 于是PAB=PBA=APB 從而APB為等邊三角形，AB的長是200m，由此可以得出興趣小組的結(jié)論是正確的 隨堂練習

8、（一）課本練習 1、2 1等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？它們分別是什么線段？ 答案：等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，它們分別是三個角的平分線（或是三條邊上的中線或三條邊上的高線）2如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，BDE=CDF=60，圖中有哪些與BD相等的線段？ 答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF （二）補充練習如圖，ABC是等邊三角形，B和C的平分線相交于D，BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F，求證：BE=CF 證明：連接DE，DF，則BE=DE，DF=CF 由ABC是等邊三角形，BD平分ABC，得1=30，故2=30，從而DEF=60

9、 同理DFE=60， 故DEF是等邊三角形 所以DE=DF，因而BE=CF 課時小結(jié) 這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對這個結(jié)論的證明有意識地滲透分類討論的思想方法這節(jié)課我們學的定理非常重要，在我們今后的學習中起著非常重要的作用 活動與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB，AC上分別截取AD=AEADE是等邊三角形嗎？試說明理由 過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解等邊三角形的性質(zhì)及判定 結(jié)果： 已知：三角形ABC為等邊三角形D，E為邊AB，AC上兩點，且AD=AE判斷ADE是否是等邊三角形，并說明理由 解：ADE是等邊三角形， ABC是等邊三角形， A=

10、60 又AD=AE， ADE是等腰三角形 ADE是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形） 板書設計 一、探索等邊三角形的性質(zhì)及判定 問題：一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形 二、等邊三角形的性質(zhì)及判定 三、應用例題講解 四、隨堂練習 五、課時小結(jié) 六、課后作業(yè)備課資料 等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定的條件等腰三角 形（含等 邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形的三個角都相等，且每個角都是60三個角都相等的三角形是等邊三角形 參考例題 1已知，如圖，房屋的頂

11、角BAC=100，過屋頂A的立柱ADBC屋椽AB=AC，求頂架上B、C、BAD、CAD的度數(shù) 解：在ABC中， AB=AC（已知）， B=C（等邊對等角） B=C=（180-BAC）=40（三角形內(nèi)角和定理） 又ADBC（已知）， BAD=CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合） BAD=CAD=50 2已知：如圖，ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD 求證：DB=DE 證明：ABC是等邊三角形，且BD是中線， BDAC，ACB=60，DBC=30 又CD=CE， CDE=E=ACB=30 DBC=E DB=DE 3已知：如圖，ABC是等邊三角形，DEBC，交

12、AB、AC于D、E 求證：ADE是等邊三角形 證明：ABC是等邊三角形（已知）， A=B=C（等邊三角形各角相等） DEBC， ADE=B，AED=C（兩直線平行，同位角相等） A=ADE=AED ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）12.3.2 等邊三角形（2） 教學目標 （一）教學知識點 1探索發(fā)現(xiàn)猜想證明直角三角形中有一個角為30的性質(zhì) 2有一個角為30的直角三角形的性質(zhì)的簡單應用 （二）能力訓練要求 1經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系 2培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力 （三）情感與價值觀要求 1

13、鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲 2體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學的嚴謹性重點難點重點：含30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明 難點：1含30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明 2引導學生全面、周到地思考問題 教學方法 探索發(fā)現(xiàn)法 教具準備 兩個全等的含30角的三角尺； 多媒體課件； 投影儀 教學過程 提出問題，創(chuàng)設情境 師我們學習過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)大家可能已猜到，我讓大家準備好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？ 問題：用兩個全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個

14、等邊三角形嗎？說說你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，30角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？你能證明你的結(jié)論嗎？ 導入新課 （讓學生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時引導學生意識到，通過實際操作探索出來的結(jié)論，還需要給予證明）生用含30角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形 其中，圖（1）是等邊三角形，因為ABDACD，所以AB=AC，又因為RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形 生圖（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等邊三角形 師同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是

15、等邊三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所對的直角邊與斜邊的關系嗎？ 生在直角三角形中，30角所對直角邊是斜邊的一半 師我們僅憑實際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？ 生可以，在圖（1）中，我們已經(jīng)知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC而ADB= 90，即ADBC根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=BC所以BD=AB，即在RtABD中，BAD=30，它所對的邊BD是斜邊AB的一半 師生共析這位同學能結(jié)合前后知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了不起下面我們一同來完成這個定理的證明過程 定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 已知：如圖

16、，在RtABC中，C=90，BAC=30求證：BC=AB 分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD 證明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，則B=60 延長BC至D，使CD=BC，連接AD. ACB=60，ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的對應邊相等） ABD是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形） BC=BD=AB 師這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系，下面我們就來看一個例題 （演示課件） 例5右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中

17、點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD，DE要多長？ 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAED與RtACB中，由于 A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點，所以DE=AB解：因為DEAC，BCAC，A=30，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=7.4=3.7（m） 又AD=AB，所以DE=AD=3.7=1.85（m） 答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m 師再看下面的例題 例等腰三角形的底角為15，腰長為2a，求腰上的高已知：如圖，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的長 分析：觀察圖形可以

18、發(fā)現(xiàn)，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一個外角，則DAC=152=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD 解：ABC=ACB=15， DAC=ABC+BAC=30 CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半） 師下面我們來做練習 隨堂練習 （一）課本練習 RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系？ 答案：B=60，A=30，AB=2BC （二）補充練習 1已知：如圖，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求證：BD=AB 證明：在RtABC中，A=30， BC=AB

19、在RtBCD中，B=60， BCD=30 BD=BC BD=AB 2已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角的平分線把對邊分成兩條線段 求證：其中一條是另一條的2倍 已知：在RtABC中，A=90，ABC=2C，BD是ABC的平分線 求證：CD=2AD 證明：在RtABC中，A=90，ABC=2C， ABC=60，C=30 又BD是ABC的平分線， ABD=DBC=30 AD=BD，BD=CD CD=2AD 課時小結(jié) 這節(jié)課，我們在上節(jié)課的基礎上推理證明了含30的直角三角形的邊的關系這個定理是個非常重要的定理，在今后的學習中起著非常重要的作用 活動與探究 在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30 過程：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”從輔助線的作法