時(shí)間序列模型

1、一、分類1按所研究的對(duì)象的多少分，有一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。2按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列兩種。3按序列的統(tǒng)計(jì)特性分，有平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。狹義時(shí)間序列：如果一個(gè)時(shí)間序列的概率分布與時(shí)間t 無(wú)關(guān)。廣義時(shí)間序列：如果序列的一、二階矩存在，而且對(duì)任意時(shí)刻 t 滿足均值為常數(shù)和協(xié)方差為 時(shí)間間隔 T 的函數(shù)。（下文主要研究的是廣義時(shí)間序列）。4按時(shí)間序列的分布規(guī)律來(lái)分，有高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。二、確定性時(shí)間序列分析方法概述時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理， 間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合。長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)：它是指時(shí)間序列

2、朝著一定的方向持續(xù)上升或下降,來(lái)研究其變化趨勢(shì)的。一個(gè)時(shí)或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢(shì)。通常用Ti 表示。季節(jié)變動(dòng)：通常用 5 表示。循環(huán)變動(dòng)：通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動(dòng)。常用 G 表示。不規(guī)則變動(dòng)。通常它分為突然變動(dòng)和隨機(jī)變動(dòng)。通常用R 表示。也稱隨機(jī)干擾項(xiàng)。常見(jiàn)的時(shí)間序列模型:加法模型:Vi = St + T| + Cl + Ri ；乘法模型: 混合模型:斤表示觀測(cè)目標(biāo)的觀測(cè)記錄，E（RJ = 6E（R）=L如果在預(yù)測(cè)時(shí)間范圍以內(nèi)， 無(wú)突然變動(dòng)且隨機(jī)變動(dòng)的方差 燈 2 較小，并且有理由認(rèn)為過(guò)去和現(xiàn) 在的演變趨勢(shì)將繼續(xù)發(fā)展到未來(lái)

3、時(shí)，可用一些經(jīng)驗(yàn)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。三、移動(dòng)平均法這三個(gè)模型中當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)時(shí),可用移動(dòng)平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測(cè)序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)。移動(dòng)平均法有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法，趨勢(shì)移動(dòng)平均法等。3.1、簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)是在某一水平上下波動(dòng)時(shí)，=（以 + + 亍7+1），f = MN + L 其預(yù)測(cè)目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為：S= V - T-N當(dāng)然我們還可以得到如下遞推關(guān)系:冷+小+y*=（”_1 + 丁 5）十一（X -兒 7）=山占十一（兒 jVN NN 的選取方式：1一般 N 取值范圍：5 N 200。當(dāng)歷史序列的

4、基本趨勢(shì)變化不大且序列中隨機(jī)變動(dòng)成 分較多時(shí)，N 的取值應(yīng)較大一些。否則 N 的取值應(yīng)小一些。2選擇不同的 N 比較若干模型的預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小者為最好。3.2、加權(quán)移動(dòng)平均法 在簡(jiǎn)單移動(dòng)平均公式中， 每期數(shù)據(jù)在求平均時(shí)的作用是等同的。 息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來(lái)情況的信心。 因此，合理的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對(duì)近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，基本思想。心二叫；+叫旳+心片 Z啟N其中叫為 M 2】權(quán)數(shù)，體現(xiàn)了相應(yīng)的 斤在加權(quán)平均數(shù)中的重要性。在加權(quán)移動(dòng)平均法中，的選擇，同樣具有一定的經(jīng)驗(yàn)性。一般的原則是：近期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)小。 至于大到什么程度和小到什么程度,

5、解和分析來(lái)可用一次簡(jiǎn)單移動(dòng)平均方法建立預(yù)測(cè)模型:但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信 把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡 這就是加權(quán)移動(dòng)平均法的則需要按照預(yù)測(cè)者對(duì)序列的了確定。3.3、趨勢(shì)移動(dòng)平均法簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法，在時(shí)間序列沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法來(lái)預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動(dòng)平均，利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律來(lái)建立直線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。這就是趨勢(shì)移動(dòng)平均法。一次移動(dòng)的平均數(shù)為F 面討論如何利用移動(dòng)平均的滯后偏差建立直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型 設(shè)時(shí)間序列yq 從某時(shí)期開(kāi)始具有直線趨勢(shì)

6、，且認(rèn)為未來(lái)時(shí)期也按此直線趨勢(shì)變化，則可 設(shè)此直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為元訂=+b/、T = 12其中 t 為當(dāng)前時(shí)期數(shù)；T 為由 t 至預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)；站為截距，bi 為系數(shù)，兩者均稱為平滑系數(shù)。 可以推算出:勺=話-半)趨勢(shì)移動(dòng)平均法對(duì)于同時(shí)存在直線趨勢(shì)與周期波動(dòng)的序列, 以有效地分離出來(lái)周期變動(dòng)的方法。四、指數(shù)平滑法一次移動(dòng)平均實(shí)際上認(rèn)為最近 N 期數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值影響相同，都加權(quán) 幵；而 N 期以前的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值沒(méi)有影響，加權(quán)為 0。但是，二次及更高次移動(dòng)平均數(shù)的權(quán)數(shù)卻不是冠，且次 數(shù)越高，權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，但永遠(yuǎn)保持對(duì)稱的權(quán)數(shù)，即兩端項(xiàng)權(quán)數(shù)小，中間項(xiàng)權(quán)數(shù)大，不 符合一般系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性。一般說(shuō)來(lái)歷史

7、數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)值的影響是隨時(shí)間間隔的增長(zhǎng)而遞減的。所以，更切合實(shí)際的方法應(yīng)是對(duì)各期觀測(cè)值依時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)平均作為預(yù)測(cè)值。指數(shù)平滑法可滿足這一要求，而且具有簡(jiǎn)單的遞推形式。指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等，分別介紹如下：N二次移動(dòng)的平均數(shù)為陸=-(M十+N是一種既能反映趨勢(shì)變化，又可6=2M導(dǎo)4.1、一次指數(shù)平滑法，二cn; +(1-二s +-)其中 a 為加權(quán)系數(shù)。 預(yù)測(cè)模型為：即丁r+l二理齊+（l-a）已也就是以第 t 期指數(shù)平滑值作為 t +1 期預(yù)測(cè)值。如何選擇加權(quán)系數(shù) a?具體如何選擇一般可遵循下列原則:度，使預(yù)測(cè)模型能包含較長(zhǎng)時(shí)間序

8、列的信息;模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。如何確定初值 具體如何選擇一般可遵循下列原則：1當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在 20 個(gè)以上時(shí)，初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很少，可選用 第一期數(shù)據(jù)為初始值。2如果時(shí)間序列的數(shù)據(jù)較少，在 20 個(gè)以下時(shí)，初始值對(duì)以后的預(yù)測(cè)值影響很大，這時(shí)， 就必 須認(rèn)真研究如何正確確定初始值。一般以最初幾期實(shí)際值的平均值作為初始值。4.2、二次指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，采用二次指數(shù)平滑法syi =即+(1-訥 1其中 5為一次指數(shù)的平滑值；、為二次指數(shù)的平滑值。當(dāng)時(shí)間序列卩.,從某時(shí)期開(kāi)始 具有直線趨勢(shì)時(shí)，類似趨勢(shì)移動(dòng)平均法，可用直線趨勢(shì)模型如果時(shí)

9、間序列波動(dòng)不大，比較平穩(wěn)，貝 ya應(yīng)取小一點(diǎn)，如（0.10.5）。以減少修正幅如果時(shí)間序列具有迅速且明顯的變動(dòng)傾向，則a 應(yīng)取大一點(diǎn)，如（0.60.8）。使預(yù)測(cè)3在實(shí)用上，類似移動(dòng)平均法，多取幾個(gè) a值進(jìn)行試算，看哪個(gè)預(yù)測(cè)誤差小，就采用哪個(gè)。升寸=%+4廠，r = i2勺=2Sy)S嚴(yán)進(jìn)行預(yù)測(cè)。4.3、三次指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)表現(xiàn)為二次曲線趨勢(shì)時(shí)，則需要用三次指數(shù)平滑法。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次平滑，其計(jì)算公式為S：剛+(l-a)S：嚴(yán)=於嚴(yán)+(1 -Sf)二aS嚴(yán) +0 -式中(可為三次指數(shù)平滑值 三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為:元寸=%+切廠+ 尸，T = 12其

10、中：再=3$”一3#+sr切=2(1-a)川6 加)Sy一2(5-4a)S嚴(yán)+(4-3S嚴(yán)CL為創(chuàng)一坪*選擇 a 值的一些基本準(zhǔn)則：指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型是以時(shí)刻 t 為起點(diǎn)，綜合歷史序列的信息，對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)的。選擇合適 的加權(quán)系數(shù) a 是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，a 的取值范圍一般以 0.10.3為宜。a 值愈大，加權(quán)系數(shù)序列衰減速度愈快，所以實(shí)際上 a 取值大小起著控制參加平均的歷史數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的作用。a 值愈大意味著采用的數(shù)據(jù)愈少。(1)如果序列的基本趨勢(shì)比較穩(wěn)，預(yù)測(cè)偏差由隨機(jī)因素造成，則修正幅度，使預(yù)測(cè)模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息。(2 )如果預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)已發(fā)生系統(tǒng)地變化，

11、則a 值應(yīng)取得大一些。這樣，可以偏重新數(shù)據(jù)的信息對(duì)原模型進(jìn)行大幅度修正，以使預(yù)測(cè)模型適應(yīng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的新變化。a 值應(yīng)取小一些，以減少如何確定初值？初始值可以取前 35 個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為初始值。五、差分指數(shù)平滑法 當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)具有直線趨勢(shì)時(shí)， 用一次指數(shù)平滑法會(huì)出現(xiàn)滯后偏差，據(jù)不滿足模型要求。因此，我們也可以從數(shù)據(jù)變換的角度來(lái)考慮改進(jìn)措施， 滑法以前先對(duì)數(shù)據(jù)作一些技術(shù)上的處理，使之能適合于一次指數(shù)平滑模型，果作技術(shù)上的返回處理，使之恢復(fù)為原變量的形態(tài)。差分方法是改變數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢(shì)的簡(jiǎn)易方 法。5.1、一階差分指數(shù)平滑法 當(dāng)時(shí)間序列呈直線增加時(shí)，可運(yùn)用一階差分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)。巧屮=込,+

12、 （1 -伉）住山=兀1 + X其中的？為差分記號(hào)。第一個(gè)式子表示對(duì)呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個(gè)平 穩(wěn)的新序列，第二個(gè)式子表示把經(jīng)過(guò)一階差分后的新序列的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值與變量當(dāng)前的 實(shí)際值迭加， 作為變量下一期的預(yù)測(cè)值。指數(shù)平滑值實(shí)際上是一種加權(quán)平均數(shù)。因此把序列中逐期增量的加權(quán)平均數(shù)（指數(shù)平滑值）加上當(dāng)前值的實(shí)際數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，比一次指數(shù)平滑法只用變量以往取值的加權(quán)平均數(shù)作為下一期的預(yù)測(cè)更合理。從而使預(yù)測(cè)值始終圍繞實(shí)際值上下波動(dòng)，從根本上解決了在有直線增長(zhǎng)趨勢(shì)的情況下，用一次指數(shù)平滑法所得出的結(jié)果始終落后于實(shí)際值的問(wèn)題。5.2 二階差分指數(shù)平滑模型當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)二次曲線增長(zhǎng)時(shí)，可用二階差

13、分指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)，計(jì)算公式如下：YVrYVr = = X X - - Z-1Z-1=Vy,-Vv,.,=可嘰+ Vy, + X其中 0 表示二階差分。差分方法和指數(shù)平滑法的聯(lián)合運(yùn)用，除了能克服一次指數(shù)平滑法的滯后偏差之外，對(duì)初始值的問(wèn)題也有顯著的改進(jìn)。因?yàn)閿?shù)據(jù)經(jīng)過(guò)差分處理后，所產(chǎn)生的新序列基本上是平穩(wěn)的。這時(shí)，初始值取新序列的第一期數(shù)據(jù)對(duì)于未來(lái)預(yù)測(cè)值不會(huì)有多大影響。其次，它拓展了指數(shù)平滑法的適用范圍，使一些原來(lái)需要運(yùn)用配合直線趨勢(shì)模型處理的情況可用這種組合模型來(lái) 取代。但是，對(duì)于指數(shù)平滑法存在的加權(quán)系數(shù)a 的選擇問(wèn)題，以及只能逐期預(yù)測(cè)問(wèn)題，差分指數(shù)平滑模型也沒(méi)有改進(jìn)。六、自適應(yīng)濾波法6.1

14、、自適應(yīng)濾波法的基本過(guò)程其原因在于數(shù) 即在運(yùn)用指數(shù)平 以后再對(duì)輸出結(jié)指數(shù)曲線的數(shù)學(xué)模型為:y =腫自適應(yīng)濾波法與移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法一樣，也是以時(shí)間序列的歷史觀測(cè)值進(jìn)行某種 加權(quán)平均來(lái)預(yù)測(cè)的， 它要尋找一組“最佳”的權(quán)數(shù)，其辦法是先用一組給定的權(quán)數(shù)來(lái)計(jì)算一個(gè)預(yù)測(cè)值，然后計(jì)算預(yù)測(cè)誤差， 再根據(jù)預(yù)測(cè)誤差調(diào)整權(quán)數(shù)以減少誤差。這樣反進(jìn)行，直至找出一組“最佳”權(quán)數(shù)，使誤差減少到最低限度。 由于這種調(diào)整權(quán)數(shù)的過(guò)程與通訊工程中的傳 輸噪聲過(guò)濾過(guò)程極為接近，故稱為自適應(yīng)濾波法。自適應(yīng)濾波法的基本預(yù)測(cè)公式為：兒1 = wy+叫兒1 +叭幾曲=WJH+I1=其中為第 t+i 期的預(yù)測(cè)值，wi 為第 t-i+1

15、期的觀測(cè)值權(quán)數(shù)，丫、小為第期的觀測(cè)值，N 為權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)。其調(diào)整權(quán)數(shù)的公式為：w.=w.+2k弋式中 i = 1. 2,，l=NN + I,n,n 為序列數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，Wi 為調(diào)整前的第 i 個(gè)權(quán)數(shù)，U為 調(diào)整后的第 i 個(gè)權(quán)數(shù)，k 為學(xué)習(xí)常數(shù)，硏卜 I 為第 t+i 期的預(yù)測(cè)誤差。該式表明調(diào)整后的一組權(quán)數(shù)應(yīng)等于舊的一組權(quán)數(shù)加上誤差調(diào)整項(xiàng)，這個(gè)調(diào)整項(xiàng)包括預(yù)測(cè)誤差、原觀測(cè)值和學(xué)習(xí)常數(shù)等三個(gè)因素。學(xué)習(xí)常數(shù)k 的大小決定權(quán)數(shù)調(diào)整的速度。6.2 N, k 值和初始權(quán)數(shù)的確定在開(kāi)始調(diào)整權(quán)數(shù)時(shí)，首先要確定權(quán)數(shù)個(gè)數(shù) N 和學(xué)習(xí)常數(shù) k。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)時(shí)間序列的觀測(cè)值呈季節(jié)變動(dòng)時(shí)，N 應(yīng)取季節(jié)性長(zhǎng)度值。如序列以一年

16、為周期進(jìn)行季節(jié)變動(dòng)時(shí)，若數(shù)據(jù)是月 度的，則取 N=12，若季節(jié)是季度的，則取 N=4。如果時(shí)間序列無(wú)明顯的周期變動(dòng)，則可用自 相關(guān)系數(shù)法來(lái)確定，即取 N 為最高自相關(guān)系數(shù)的滯后時(shí)期。k 的取值一般可定為 1/N，也可以用不同的 k 值來(lái)進(jìn)行計(jì)算，以確定一個(gè)能使S 最小的 k 值。初始權(quán)數(shù)的確定也很重要，如無(wú)其它依據(jù)，也可用 1/N 作為初始權(quán)系數(shù)用。自適應(yīng)濾波法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：一是技術(shù)比較簡(jiǎn)單，可根據(jù)預(yù)測(cè)意圖來(lái)選擇權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和學(xué)習(xí)常數(shù)，以控制預(yù)測(cè)。也可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)選定。 二是它使用了全部歷史數(shù)據(jù)來(lái)尋求 最佳權(quán)系數(shù)，并隨數(shù)據(jù)軌跡的變化而不斷更新權(quán)數(shù)，從而不斷改進(jìn)預(yù)測(cè)。由于自適應(yīng)濾波法的預(yù)測(cè)模

17、型簡(jiǎn)單，又可以在計(jì)算機(jī)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所以這種預(yù)測(cè)方法應(yīng)用較為廣泛。七、趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法趨勢(shì)外推法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)時(shí)資料，尋求事物發(fā)展規(guī)律，從而推測(cè)出事物未來(lái)狀況的一種比較常用的預(yù)測(cè)方法。利用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要包括六個(gè)階段：（a）選擇應(yīng)預(yù)測(cè)的參數(shù)；（b）收集必要的數(shù)據(jù)；（C）利用數(shù)據(jù)擬合曲線；（d）趨勢(shì)外推；（e）預(yù)測(cè)說(shuō)明；（f ）研究預(yù)測(cè)結(jié)果在進(jìn)行決策中應(yīng)用的可能性。 趨勢(shì)外推法常用的典型數(shù)學(xué)模型有：指數(shù)曲線、修正指數(shù)曲線、生長(zhǎng)曲線、包絡(luò)曲線等。7.1、指數(shù)曲線一般來(lái)說(shuō)，技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)的增長(zhǎng)，在其未達(dá)飽和之前的新生時(shí)期是遵循指數(shù)曲線增 長(zhǎng)規(guī)律的，因此可以用指數(shù)曲線對(duì)發(fā)展中的事物

18、進(jìn)行預(yù)測(cè)。N其中系數(shù)溝和 K 值由歷史數(shù)據(jù)利用回歸方法求得。對(duì)該式取對(duì)數(shù)得 12 = 5 +KI,令 Y = lny, A = lnyn，則丫 =人+ 1D,ai),Qb 72.yr.i；第三部分:y2ni 1 1，yZri + 2$2二工力=工（K +卅）=fnK+亦曲（1 + b +，+護(hù)T）32 -Si)奶-1)2是否適應(yīng)修正指數(shù)曲線？檢驗(yàn)方法是看給定數(shù)據(jù)的逐期增長(zhǎng)量的比率是否接近某一常數(shù)yt+1 -ytN byt-yi-1yt-yi-17.3、Compertz 曲線曲線的一般形式K 0,0 O#1,0 0 ,對(duì)上式做變換n + aH仿照修正指數(shù)曲線的三和法估計(jì)參數(shù)，令K= mS_必（護(hù)

19、-1）6-1在發(fā)展時(shí)期則突然加快， 曲線（生長(zhǎng)曲線），很多事物，如 曲線在預(yù)測(cè)中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。LogisticLogisticr0S| =兀，s? =工”/=1/=yn+lf=2m+lfrt77）啟b_l7.5 趨勢(shì)線的選擇趨勢(shì)線的選擇有以下幾種方式。1 由散點(diǎn)圖選擇趨勢(shì)線。2. 由數(shù)據(jù)本身的取值規(guī)律選擇趨勢(shì)線。3. 比較預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差大小當(dāng)有幾種趨勢(shì)線可供選擇時(shí)，應(yīng)選擇S 最小的趨勢(shì)線。八、平穩(wěn)時(shí)間序列模型這里的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，其特性是序列的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化,方差不隨時(shí)間的平移而變化。8.1、一般自回歸模型 AR(n)假設(shè)時(shí)間序列圧僅與凡 hXt有線性關(guān)系，而在Xi航21 撿“

20、已知條件下，XL與凡 i 無(wú)關(guān)，(i = n + lm + 2,h 別是一個(gè)獨(dú)立于 Xi2 嚴(yán)眉的白噪聲序列, ILN（?？?2）。則各個(gè)系數(shù)為:血(礦-1)KJm即均值和協(xié)Xt= plXt_ 1 +屮2Xt-2 + + tPnXi _n +冊(cè)上式也可以表示為：去=XL1 - gXt 2屮贏 n可見(jiàn) AR(n)系統(tǒng)響應(yīng)汕具有 n 階動(dòng)態(tài)性。AR(n)通過(guò)把 X 沖依賴于忌凡 2、忌，的部 分消除掉之后，使得具有 n 階動(dòng)態(tài)性的序列 汕轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的序列 創(chuàng)。因此，人R5)擬合模型的 過(guò)程也就是使相關(guān)序列獨(dú)立化的過(guò)程。系統(tǒng)函數(shù)就叫做記憶函數(shù)，也叫格林函數(shù)。不妨另定義后移算子 B，u2Xi=Xt_b

21、8.2、移動(dòng)平均模型 MA(ni)AR(n)系統(tǒng)的特征是系統(tǒng)在 t 時(shí)刻的響應(yīng) XL僅與其以前時(shí)刻的響應(yīng) Xt nXi_2/*At n 有關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)無(wú)關(guān)。如果一個(gè)系統(tǒng)在t 時(shí)刻的響應(yīng) t X，與其以前時(shí)刻的響應(yīng) X1 nXin 無(wú)關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)趾詢 V 向m 存在著一定的相關(guān)關(guān)系，那么，這一類系統(tǒng)為系統(tǒng)MA(m) OXt =寺-01奇 -1- 0 典 t -OfA - m8.3、自回歸移動(dòng)平均模型一個(gè)系統(tǒng)，如果它在時(shí)刻 t 的響應(yīng)冥不僅與其以前時(shí)刻的自身值有關(guān),而且還與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)存在一定的依存關(guān)系，那么，這個(gè)系統(tǒng)就是自回歸移動(dòng)平均系統(tǒng)。AR

22、MA(ii,iii)模型為Xt -(PiXt. -2 - * + + - PiX. =- 013| . - Ozat 2 1 -0訕1TI對(duì)于平穩(wěn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由于 AR(ii)、MAO)、AimAgni)模型都是 ARMA(ii,n- 1)模 型的特例，我們以AkMA(ii,n-l)模型為一般形式來(lái)建立時(shí)序模型。九、ARMA 模型的特征在時(shí)間序列的時(shí)域分析中，線性差分方程是極為有效的工具。事實(shí)上，任何一個(gè) 模型都是一個(gè)線性差分方程。9.1、系統(tǒng)的格林函數(shù) 格林函數(shù)就是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。ARMA設(shè) Xt 1 = yCtJ,則有7(1+ 1) -tpiVCt) = ai顯然這是一個(gè)一階非齊

23、次差分方程，依次遞推下去得:0000Xt=上式就是格林函數(shù)的解。方程解的系數(shù)函數(shù)wr 客觀地描述了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性，故這個(gè)這樣可寫成(1 -(Pi B)Xi = at解為：Xt = y Gj 遍-ji = o222 = 0 + J嶄+4卩20-AW+4由于格林函數(shù)就是差分方程解的系數(shù)函數(shù)，格林函數(shù)的意義可概括如下:(1) 是前 j 個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)帝 j 對(duì)系統(tǒng)現(xiàn)在行為(響應(yīng))影響的權(quán)數(shù)。(2) 5 客觀地刻畫了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)衰減的快慢程度。(3 )對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在某一時(shí)刻由于受到進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)位置(即平均數(shù)-零)，描述系統(tǒng)回到平衡位置的速度，的值較小，速度較快；甲 1 的值

24、較大，回復(fù)的速度就較慢。9.2、ARMA(2/1)系統(tǒng)的格林函數(shù)9.2.1、ARMA(2J)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式ARMAC24)模型是一個(gè)二階非齊次差分方程一0心02兀2=-恥它的解為:XfjRj7=0若米用 B 算子(1一0 B -卩2爐)XF= (1 -勺(次工G屛 m丿同時(shí)我們也可以得到：G你=1, G= 0廠Gj = PG尸+02GJ-2J = 3彳仔9.2.2、ARMMZl)系統(tǒng)的格林函數(shù)的顯式ARMAC24)模型是一個(gè)二階非齊次差分方程云-Xi一申兒1=e-仇4一1該齊次方程得到的特征方程為 ：兄2-儼兄_02 = 0其特征根為：站的作用，離開(kāi)其平衡該齊次方程的通解為：G j =A

25、/ +(?異系數(shù) Cl,C2 也可以求得,最終得到結(jié)果為:4+J9.3、逆函數(shù)和可逆性前面的格林函數(shù)，把 汕表示為過(guò)去站對(duì) XL的影響，或者說(shuō)系統(tǒng)對(duì)過(guò)去 罰的記憶性，也就 是用一個(gè) MA模型來(lái)逼近汕的行為。平穩(wěn)序列汕的這種表達(dá)形式稱為汕的“傳遞形式”。同樣我 們也可以用過(guò)去的 XL的一個(gè)線性組合來(lái)逼近系統(tǒng)現(xiàn)在時(shí)刻的行為。即;=J我們把這種表達(dá)形式稱為 ML的“逆轉(zhuǎn)形式”。其中的系數(shù)函數(shù) 就】0 = 1)稱為逆函數(shù)，可見(jiàn)它是一個(gè)無(wú)窮階的自回歸模型。一個(gè)過(guò)程是否具有逆轉(zhuǎn)形式， 也就是說(shuō)逆函數(shù)是否存在的性質(zhì)，通常稱為過(guò)程是否具有可逆性，如果一個(gè)過(guò)程可以用一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型逼近，逆函數(shù)存在，我們就

26、稱該過(guò)程具有可逆性，否則，就是不可逆的。對(duì)于 AR(2)模型Xt=0兀7 +02心 +6有/ = 0 ,婦=卩2，1 j=67= 34 可見(jiàn)，所謂可逆性，是指移動(dòng)平均模型可以用 AR 莫型表示。MA(1)模型：X,=(1一0/)勺那么:% =（1+恥+&河+）尤=+X駅x-j7=1可見(jiàn)，llA山j(luò),顯然，只有 Ilul時(shí)，才有戶016故叭1)的可逆性條件 為 kMv 1 十、時(shí)間序列建模的基本步驟1.數(shù) ffi 的預(yù)處理；數(shù)擁的別取及捉取趨勢(shì)項(xiàng)，2+取n = l,擬合ARMA(2?J,2/r-l)Li|JARMA(2J)模世_J)p = 3,擬和AR(p)BK%設(shè)所要擬合的摸型為A；=件Xz+倂2扎：+阿X +%， 用愎小二乘法擬合出系.數(shù)訶，撿倂盯注怠到對(duì)于AR(卩)模型，卩丿=，這里足模型的逆函數(shù)，于是可得到/】昇2,厶2 ,于是厶-倂(2 =0=仇=厶.厶注總:土以AR中的厶替代ARMM2)中的/，。厶是一利I近似代替。逋過(guò)這種方法求得的6的絕對(duì)值若大于1,則取其倒數(shù)作為初始值，以滿足町逆性條件 知道婦仏及q, M用卜式來(lái)確定磁M A1)模里中的加化：審=+%：% =