教學(xué)課題§4 具有某些特性的函數(shù)

1、教學(xué)課題：4 具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的：深刻理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性；理解奇偶性、周期性。教學(xué)重點(diǎn)：有界性、單調(diào)性的應(yīng)用教學(xué)過程在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù)。其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)學(xué)過，因此，這里只是簡單地復(fù)習(xí)一下。一、有界函數(shù)1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義 設(shè)為定義在上的函數(shù)，若存在數(shù)，使得對每一個有，則稱為上的有上（下）界函數(shù)，稱為在上的一個上（下）界。注： 在上有上（下）界，意味著值域是一個有上（下）界的數(shù)集；又若為在上的一個上（下） 界，則任何大于（小于）的數(shù)也是在上的上（下）界。2有界函數(shù)定義定義 設(shè)為定義

2、在上的函數(shù)。若存在正數(shù)，使得對每一個有，則稱為上的有界函數(shù)。注：（）幾何意義：為上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在和之間；（）在上有界在上既有上界又有下界；例子：；（3）關(guān)于函數(shù)在上無上界、無下界或無界的定義。在上無上界使（其余敘述類似）3例題例 證明為上的無上界函數(shù)。證 使 故上無界。例設(shè)為上的有界函數(shù)。證明：（）；（）.二、單調(diào)函數(shù) 定義 設(shè)為定義在上的函數(shù)， （）若，則稱為上的增函數(shù)；若，則稱為上的嚴(yán)格增函數(shù)。（）若，則稱為上的減函數(shù)；若，則稱為上的嚴(yán)格減函數(shù)。例證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù)。證明 當(dāng)，有 故例討論函數(shù)在上的單調(diào)性。例討論函數(shù)在上的單調(diào)性。注：）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān)。在定義域的

3、某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào)。）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象與任一平行于軸的直線至多有一個交點(diǎn)。這一特征保證了它必有反函數(shù)?？偨Y(jié)得下面的結(jié)論：為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù)。提示： 嚴(yán)格按定義證例討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性。例6證明：當(dāng)時在上嚴(yán)格增，當(dāng)時在上嚴(yán)格遞減。證：設(shè)，注意當(dāng)時，嚴(yán)格遞增。，利用有理數(shù)的稠密性知，故有 嚴(yán)增。同理當(dāng)時，嚴(yán)格遞減。注：由例6及定理1.2知: （）當(dāng)時嚴(yán)增，當(dāng)嚴(yán)減。三、 奇函數(shù)和偶函數(shù)定義. 設(shè)為對稱于原點(diǎn)的數(shù)集，為定義在上的函數(shù)。若對每一個有（），則稱為上的奇函數(shù)；（），則稱為上的偶函數(shù)。注：從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（中心對稱），偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ。例 是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；而既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。四、周期函數(shù) 定義設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)，若存在，使得對一切有，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個周期。 幾點(diǎn)說明：（） 若是的周期，則也是的周期，所以周期若存在，則不唯一。如。若在周期函數(shù)的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為的“基本周期”，簡稱“周期”，常用來表示。例 ，周期=；（） 任給一個函數(shù)不一定是周期函數(shù)，如： ；既使存在周期也不一定有基本周