(完整版)一線三等角專題訓(xùn)練

1、一線三等角問題一、問題引入如圖，ABC中，B90 ，CDAC，過 D 作 DEAB交 BC 延長線與 E。求證： ABC CEDADBCE其他常見的一線三等角圖形（等腰三角形中底邊上一線三等角）（等腰梯形中底邊上一線三等角）AEDFBC（直角坐標(biāo)系中一線三等角）（ 1）等腰三角形中一線三等角（矩形， 正方形中一線三等角）例 1、 如圖，已知在 ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一點， BD =2，E 是 BC 上一動點，聯(lián)結(jié)DE ，并作DEFB ，射線 EF 交線段 AC 于 F （ 1）求證： DBE ECF；（ 2）當(dāng) F 是線段 AC 中點時，求線段BE 的長；（

2、3）聯(lián)結(jié) DF ，如果 DEF 與 DBE 相似，求FC 的長AADFDBECB (備用圖 )C（ 1、 本題中，第一問的結(jié)論是這類題共同的特性，只要等腰三角形底邊上有三等角，必有三角形相似；（ 2、 第二問中根據(jù)相似求線段的長， 也很常見； 有時候會反過來問， 線段的長是多少時，三角線相似。變式練習(xí)1 就是這類題型；（ 3、第三問，中間的三角形與左右兩個形似時，有兩種情況，一種是DF 與底邊平行，一種是 E 為中點；（ 4、 在等腰梯形中，將腰延長會交于一點，也構(gòu)成等腰三角形，故而以上三點，在等腰梯形中也適用。變式練習(xí)1 （浦東新區(qū)22 題）如圖，已知等邊ABC的邊長為8，點DFEAB BC

3、ACBD3，、 分別在邊、上，E為 AC中點，當(dāng) BPD 與 PCE 相似時，求 BP 的值 .變式練習(xí)2（寶山 22 題）如圖6，已知ABC 中，ABAC,點E、F在邊BC 上，滿足EAF=C.求證：BF CEAB 2；ABCEF（圖 6）（ 2）等腰梯形中一線三等角例 2.（長寧區(qū) 18 題）如圖，等腰梯形ABCD 中， AD BC ， AD2，BC4 2 ，B45?E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜，直角三角板含 45 度角的頂點邊與CD 交于點 F . 若 ABE 為等腰三角形，則CF 的長等于.ADFBEC第 18題例 3（徐匯區(qū)25）如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC

4、， AB CDBC 6 ，AD 3點M 為邊 BC 的中點，以 M 為頂點作 EMFB ，射線 ME 交腰 AB 于點 E ，射線 MF交腰 CD于點 F ，聯(lián)結(jié) EF（1）求證： MEF BEM ；（2）若 BEM 是以 BM 為腰的等腰三角形，求EF 的長；（3）若 EFCD ，求 BE 的長例 4、（楊浦區(qū)基礎(chǔ)考）四邊形 ABCD 中， AD BC ，ABC0o90o ，AB DC 3， BC5 點 P 為射線 BC 上動點（不與點B 、 C 重合），點 E 在直線 DC上，且 APE記PAB1，EPC2， BPx ， CEy （1）當(dāng)點 P 在線段 BC 上時，寫出并證明1與2的數(shù)量關(guān)

5、系；（2）隨著點 P 的運動，（ 1）中得到的關(guān)于1 與2 的數(shù)量關(guān)系，是否改變？若認為不改變，請證明；若認為會改變，請求出不同于（1）的數(shù)量關(guān)系，并指出相應(yīng)的x 的取值范圍；（3）若 cos=1 ，試用 x 的代數(shù)式表示y 3（ 3）坐標(biāo)系中一線三等角例 5（金山區(qū)24）如圖，住平面直角系中，直線AB ： y4x 4 a 0 分別交 x 軸、 ya軸于B 、A 兩點，直線AE 分別交x 軸、 y 軸于E 、A 兩點， D 是 x 軸上的一點，OAOD ，過 D作CDx 軸交AE于C，連接B C ，當(dāng)動點B 在線段OD 上運動（不與點O 點 D重合）且 ABBC 時(1) 求證： ABO BC

6、D ；(2) 求線段 CD 的長（用 a 的代數(shù)式表示） ；(3) 若直線AE 的方程是y13xb ，求tanBAC 的值16變式練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系XOY中 ，AOB的位置如圖所示，已知AOB900,A600 , 點 A 的坐標(biāo)為3,1（ 1） 求點 B 的坐標(biāo)；（ 2） 若拋物線 y ax 2 bx c 經(jīng)過 A、 O、 B 三點，求函數(shù)解析式。（ 4）矩形中一線三等角例 6、（長寧區(qū)24 題）如圖，在矩形的一個動點，將三角板的直角頂點重合于點ABCD中， AB4， AD6，點 P是射線P ，三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過點DA 上C ，另一直角邊交射線BA于點 E （1）判斷 EAP

7、與 PDC 一定相似嗎？請證明你的結(jié)論；（2）設(shè)PDx ，AEy ，求y 與 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）是否存在這樣的點P ，是EAP 周長等于PDC 周長的2 倍？若存在，請求出PD的長度；若不存在，請簡要說明理由PADEBC一線三等角與因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的綜合題目（徐匯24）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC5,AD =2，BC=8 ，MENB MEN的頂點E 在邊BC 上移動，一條邊始終經(jīng)過點A ，另一邊與CD 交于點F，聯(lián)接AF （ 1）設(shè) BEx, DFy ，試建立 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；（ 2）若 AEF 為等腰三角形，求出 BE 的長MADADNFBCBEC備用圖（虹口期中24）梯形 ABCD,AD BC,AB=CD=5，AD=3.5 ，sinB= 4,E 在 AB 邊上， BE=3，P是5BC 上動點，聯(lián)結(jié)EP 做