高考數(shù)列萬能解題方法

1、主 要 性 質(zhì)等和性：等差數(shù)列 an若 m n p q 則 am an ap aq推論：若m n 2 P則am an 2apan k an k 2anal an a2 an 1 a3 an 2即：首尾顛倒相加，則和相等等積性：等比數(shù)列 an若 m np q 則 am an ap aq推論：若 m n 2P則 am an (ap)2 an k an k(an)a1 ana2 an 1 a3 an 2即：首尾顛倒相乘，則積相等其它性質(zhì)1、等差數(shù)列中連續(xù) m項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：sm , s2 msm ,s3m s2 m ,等差,公差為m2d 則有 S3m 3sm sm）2、從等差數(shù)列

2、中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列。如：a1,a4,a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、 an , bn 等差，則 a2n , a2n 1 ，kan b , pan qbn 也等差。4、等差數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是 n的一次函數(shù)，即：an dn c（d 0）等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和公式是一個沒有常數(shù)項(xiàng)的n的二次函數(shù)，一_2_即：Sn An Bn（d 0）5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列有：s奇ns奇 8f禺a(chǎn)n a中s偶n 182n 1（2 n 1）an項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：組 -an-，s偶 s奇 nd1 禺 an 11、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即，sm, s

3、2m sm,s5 m s2m, 等比，公比為 q 。2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個 等比數(shù)列。如：a1，a4,a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、an,bn等比，則a2n，a2n 1，k&也等比。其中k 04、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于 n的指數(shù)函數(shù)，即：an cqn ,其中c 兔q等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個平移加振幅的n的指數(shù)函數(shù)，即：sn cqn c（q 1）5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)列是等比 數(shù)列。s2nn(an an 1)6' an m, am n 則 amn °Sn Sm 則 Smn 0(n m)sn m,Sm n則 Sm n

4、(m n)證 明 方 法證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：an 1 an d (常數(shù))2、中項(xiàng)法：an 1 an 1 2an(n 2)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1、定義法：a q (常數(shù))an22、中項(xiàng)法：an 1 an 1 (an) (n 2,an 0)設(shè) 元 技 巧三數(shù)等差：a d ,a, a d四數(shù)等差：a 3d, a d,a d ,a 3d三數(shù)等比： 且, a,aq或a,aq, aq2 q四數(shù)等比：a,aq,aq2, aq3聯(lián) 系1、若數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列Can是等比數(shù)列2、若數(shù)列 an是等比數(shù)列，且an 0，則數(shù)列l(wèi)oga 0, a 1，q是an的公比。，公比為

5、Cd ,其中C是常數(shù)，d是an的公差。a an是等差數(shù)列，公差為logaq ,其中a是常數(shù)且s數(shù)列的項(xiàng)an與刖n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：ansn(n 1)sn 1 (n 2)數(shù)列求和的常用方法:.下載可編輯1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組,轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果an等差,bn等比，那么 anbn叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以 bn的公比q,向后錯一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比3、數(shù)列求和。裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列an an 11L / (其中 an an. an 1可裂項(xiàng)an an 1

6、 d1一)，an 1an- an 1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題:1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10 ,公差d0 ,則前n項(xiàng)和Sn有最大值。（i）若已知通項(xiàng)an ,則Sn最大an0an 10（11）若已知Sn pn2 qn ,則當(dāng)n取最靠近 馬的非零自然數(shù)時Sn最大;2p2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10 ,公差d0 ,則前n項(xiàng)和Sn有最小值（1）若已知通項(xiàng)an,則Sn最小an0an 102q（ii）右已知Sn pn qn ,則當(dāng)n取最靠近的非零自然數(shù)時Sn最小;2p數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn （即a a? L anf（n）求an,用作差法：anS,(n 1)S

7、n Sn1,(n 2)已知a1g92gL ganf（n）求an,用作商法：anf(1),(nf (n)f(n 1)1),(n2)已知條件中既有Sn還有an ,有時先求Sn,若an 1 an f（n）求an用累加法：ana（n 2） oa已知 f （n）求an ,用累乘法：anan再求an ；有時也可直接求 an o(an an 1) (an 1 an 2) L(a2 a1)anan 1 ,a201A L a1 (n 2)。an 1 an 2a1已知遞推關(guān)系求an ,用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)歹U）k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待特別地，(1)形如 an kan 1 b、an kan 1 bn

8、定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an kan 1 kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求 an。（2）形如an anJ-的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。 kan 1 bk (3)形如an i an的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。a(8)當(dāng)遇到an 1 an 1 d或q時，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式 an 1數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用 公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的

9、兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂 項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：D 1n(nD 1-k21)1了1n(n 1)( n 2) 2( .n 1 n)3 1( 2 k 11n(n k)1、1)，一k 1 k一12 n(n 1)2nV1(n 1)(n 2)(k 1)kn1k2

10、(k11)k k 1 k12=、, n(n 1)!2( Jnn!(n 1)!二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法 2、由Sn求an(n 1時，a1S1 , n 2時，an SnSn 1)3、求差(商)法111如：an 滿足a1 -a2 -an 2n 512221.解：n 1 時，一a12 1 5, -a1142數(shù)列an滿足SnSn 1 5an 1,3a14,求 an（注意到an 1Sn 1Sn代入得:又 Si4, Sn是等比數(shù)列,Sn4nn 2時，anSn Sn14、疊乘法例如：數(shù)列an 中,a13,ana n解：aa1a3a2a n a1又a15、等差型遞推公式由an an 1

11、 f(n)，a1求an，用迭加法n2時，a2a1a3a2f(2)f(3)兩邊相加，得:ana n 1f(n)an a1f(2) f(3)f(n)anao f(2) f(3)f(n)數(shù)列an ， a11, an 3nan 1 nan(an6、等比型遞推公式an can 1 dc、d為常數(shù),0, c1, d可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) anc an 1an can 1令(c 1)x d, x-da1c為公比的等比數(shù)列.an.an練習(xí)數(shù)列(anan是首項(xiàng)為1a1c 1a1an滿足a19,3a n 14,求 an7、倒數(shù)法例如:1)a11,an2ananan由已知得:an 2an 12ananan 2為等差數(shù)

12、列,anan.an數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法: 1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。如：an是公差為d的等差數(shù)列，求1 akak 1r 1解：由aakak akakd 0 ak 1k 1 akHk 1d akak 1.下載可編輯練習(xí)求和:(an3、錯位相減法:1r2aia2a2a3anan 1an 1Sn若an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn (差比數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由Sn qSn求Sn,其中q為bn的公比。如:Sn2x 3x2 4x3nxn 1Sn1時,1時,SnSn2x2 3x31 xSnn x2 x4xxn1 nx

13、nx2nxnn nx1 x4、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加oSnSna1a2anana2an相加a12Sna1ana2 ana an已知f(x)f(2)f(3)1f 1f(4)3(由 f(x)2x1 x22x1 x211x2 1.下載可編輯111原式f(1)f(2) f -f(3) f f(4) f 234-111 3-)22深圳一模(18)(本小題滿分】2分)某房地產(chǎn)公司新建小區(qū)行Ar B兩種戶型住宅，其中A戶型住宅每套面枳為100孑疔 米.R戶型住宅每會面積為80 丫仃米*該公司準(zhǔn)招從隅種戶型住宅中各拿出足作精舍給 內(nèi)部員工卜表是這24套住宅年平方米的用竹飾擠;

14、(單位；萬元;平方米卜房號J13416729101112A戶型工G2 72 62.S上91.9J.L14j.33.43.5B戶量3后375 93 B394.24 14 14 2434 5C 1 根據(jù)上表散粥，完成卜到莖葉圖*片分別求出A. B一類戶型住宅姆平方米銷 售價格的中位如A尸型B戶他(I口/公司決定對上逑24 一住房動過抽點(diǎn)方式稻苗.的瓦齊根據(jù)自己的需求只能 在關(guān)中神戶型中逋過抽卷方式隨機(jī)莪取房號 T粒購房弄只有一次抽4機(jī)會. *小朋是第 也抽簽的員工.經(jīng)測里其購買能力最塞為39用，3抽一篇所抽得住房中 將在其購買能力范國內(nèi)則確定購買.否則，將極棄此次購房空存.為他其購房成功的假 率更

15、A,他應(yīng)課選擇啷一抻戶4 Illi等?深圳二模IS,(本小圈滿分U分)2016年全國兩會，即中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會第四次會議和中國人民政治協(xié)商會議 第十二屆全國委員會第四次會議，分別于2016年3月5日和3月3日在北京開幕.為了解哪些人更關(guān)注兩 .工 某機(jī)構(gòu)隴如取年齡在15 754之間的1加入進(jìn)行司。并按年齡繪制的頻率分布直川鼬 卜1月 不，其分組區(qū)間為：15,25) , 25,35), 35.45), 55.65) . 65.7習(xí)，把年殿落在區(qū)間口零力和3%西 內(nèi)的人分別稱為&青少年人”和“中老年人) 經(jīng)統(tǒng)計(jì).青少年人"和.中老年人"的人數(shù)之比為9

16、：11 ,C1：求圖中仃、b的值根：C2)若疝青少年人”中有15人關(guān)注兩會，根據(jù)己知條件完成卜曲的2x2列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果能否有99%的把握認(rèn)為“中老年人”比父存少年人”更加關(guān)注兩會？關(guān)注不關(guān)注含訃行少年人15中老年人合計(jì)5050100附：參考公式制臨界值去：rt( -bc).K ( 其中 =h + b +d+ b)(a + c)(b + d 3 + d)尸迷匕4)0.05opi0.0013846.62510.S2S65,75). 73,25內(nèi)強(qiáng)率之比為率2:1,廣州一模（18）（本小題滿分12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的順策指標(biāo)值，出剿量結(jié)果得到如圖所示的撅辛

17、分布直方國，京上指標(biāo)值落住區(qū)間55,65）, I I ）求這些產(chǎn)品質(zhì)垃指稱伯落花區(qū)間75,85內(nèi)的頻率；< II）用分層抽樣的方法在區(qū)間45,75）內(nèi)抽 IR 個容嵌為6的杵本，將廢樣本看成 個總體，從中任意獨(dú)取2件產(chǎn)乩，求這2 件產(chǎn)品都在區(qū)間45f 5）內(nèi)的概率.廣州二模（18） 1本小題滿分12分）%種商品價格另讀商品日需求量之間的IM時照數(shù)據(jù)如F表二價格*元/kg）1015202530H需求顯年（kg）1110860Q）求P關(guān)于m的線性回歸方法in利用（1）中的回歸方程，當(dāng)價格5=40元/蛆時，日需求量N的預(yù)測值為多少?WV r.-IW r. -7參考公式：線性回歸方程W二加十日，

18、其中匕=看，。二亍一。土韶關(guān)調(diào)研C18） C本小題澗分12分）據(jù)計(jì),2015年 F 1T天貓總成交金額突破912億元.某購物網(wǎng)站為優(yōu)化營鋪策略, 對在11月11 H當(dāng)天在該網(wǎng)站進(jìn)行網(wǎng)購消費(fèi)”.消費(fèi)金額不超過1000元的1000咎網(wǎng)購者（其中 有女性800名男性200名）進(jìn)行抽樣分析，采用根據(jù)性別分層抽樣的方法從這1000名網(wǎng)購 者中抽取100名進(jìn)行分析，得到卜消費(fèi)金額單位：元）女性消費(fèi)情況:消費(fèi)金額(0,200)200,400)400,600)600,800)800.1000人數(shù)5101547X招性消費(fèi)情況:消費(fèi)金額(0.200)200400)4001600)600.800)800.1000人

19、數(shù)2310V2（I ）計(jì)算的值；在抽出的100名且消費(fèi)金額在-00,1000單位:元）的網(wǎng)購者中潴機(jī)選出兩名發(fā)放網(wǎng)購紅包，求選出的兩名冏購行恰好是一男一女的概女士總計(jì)網(wǎng)購達(dá)人1"可購達(dá)人總訐（II ）若消費(fèi)金獲不低于600元的網(wǎng)購者為 “網(wǎng)購達(dá)人7悵J 600人的網(wǎng)賺者為非網(wǎng)嬲達(dá)人二 根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫百面2其：!列聯(lián)表，并回答能 在花犯錯誤的概率不超過。10的前提下認(rèn)為“是否 為，網(wǎng)購達(dá)人與性別有關(guān)？”卜好之勺）0,100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879n(ucl _bc f-j (h=，其中打三仃+力+1+ )(白 + b )(c + cl + c)( bd)jrIS. SO