第4課時 直線和平面垂直

1、基礎(chǔ)過關(guān)第4課時 直線和平面垂直1直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面的 直線垂直，那么這條直線和這個平面互相垂直2直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的 直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3直線和平面垂直性質(zhì)若a，b則 若a，b則 若a，a則 過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條4點到平面距離過一點作平面的垂線 叫做點到平面的距離5直線到平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上 到這個平面的距離叫做直線到平面距離典型例題例1. OA、OB、OC兩兩互相垂直，G為ABC的垂心求證：OG平面ABCBACOG證明：OA、OB、OC兩兩互相垂直O(jiān)A平面OBC OABC又

2、G為ABC的垂心 AGBC, BC面OAGBCOG同理可證：ACOG 又BCACCOG平面ABCSABCFE變式訓(xùn)練1：如圖SA面ABC，ABC90°，AESB，且SBAEE，AFSC，且AFSCF，求證：(1) BC面SAB；(2) AE面SBC；(3) SCEF證明：(1) BC面SAB(2) 由(1)有AE面SBC(3) 由(2)有SC面AEFSCEF例2 如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點(1) 求證：MNCD；(2) 若PDA45°，求證：MN面PCDPMBCDAN證明：(1) 連AC取中點O，連NO、MO，并且MO交CD于RN為PC中

3、點 NO為PAC的中位線 NOPA而PA平面ABCD NO平面ABCDMN在平面ABCD的射影為MO，又ABCD是矩形M為AB中點，O為AC中點 MOCDCDMN(2) 連NR，則NRM45°PDA又O為MR的中點，且NOMRMNR為等腰三角形 且NRMNMR45°MNR90° MNNR 又MNCDMN平面PCD變式訓(xùn)練2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PBAC，PAAB 求證： ABCD是正方形； PCBC證明：略PDABCFE例3如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分別為CD、PB的中點(1) 求證：EF平面PAB

4、；(2) 設(shè)ABBC，求AC與平面AEF所成的角的大小(1) 證明：連結(jié)EPPD底面ABCD，DE在平面ABCD中，PDDE，又CEED，PDADBC，RtBCERtPDE，PEBEF為PB中點，EFPB由垂線定理得PAAB，在RtPAB中，PFAF，又PEBEEA，EFPEFA，EFFA PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線，EF平面PAB(2) 解：不防設(shè)BC1，則ADPD1，AB，PA，ACPAB為等腰直角三角形且PB2，是其斜邊中點，BF1，且AFPBPB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直PB平面AEF連結(jié)BE交AC于G，作GHBP交EF于H，則GH平面AEFGAH為AC與平面A

5、EF所成的角由EGCBGA可知EGGB，EGEB，AGAC由EGHBGF可知GHBFsinGAHAC與面AEF所成的角為arc sin變式訓(xùn)練3：如圖，在三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，BADBDC90°，ABAD3，BC2CD求：(1) 求AC的長；(2) 求證：平面ABC平面ACD；(3) 求D點到平面ABC的距離dABDC解：(1) (2)略(3)因VADBC(DC×BD)×OA6，又VDABC(AB×AC)×dd，VABCDVDABC，則d6，解得d.例4：如圖，棱長為4的正方體AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱

6、CC1上，且CC14CPA1C1D1ABCDPHOB1(1) 求直線AP與平面BCC1B1所成角的大小；(2) 設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；(3) 求點P到平面ABD1的距離答案： (1) APBarctan(2) AP在面AC上的射影為AC 又ACBDPABD 而BDB1D1 B1D1AP而B1D1在平面D1AP上的射影為D1H D1HAP(3) 面ABD1面BC1 過P作PMBC1于M則PM變式訓(xùn)練4：三棱錐VABC的三條側(cè)棱VA、VC兩兩垂直，頂點V在底面內(nèi)的射影是H(1) 求證H是ABC的垂心；(2) VEHACBD(1) 證明：連結(jié)AH交BC于D點，連接CH交AB于E點，VAVB，VAVC，VBVCV，VAVBC面，又BCVBC面，BCVAVHABC面，BCABC面，BCVH，又VAVHA，BCVHA面又ADVHA面，ADBC，同理可得CEAB，H是ABC的垂心(2) 連接VE，在RtVEC中，VE2EH×