對數(shù)函數(shù)知識點總結(jié)

1、精品文檔對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1 .對數(shù)的概念：一般地，如果 ax N （a 0,a 1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù), 記作：x loga N （a 底數(shù)，N 真數(shù)，log a N 一對數(shù)式）說明：注意底數(shù)的限制a 0,且a 1; ax N loga N x ； 注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lg N ； 自然對數(shù)：以無理數(shù) e 2.71828 為底的對數(shù)的對數(shù)ln N .（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a 0,且a 1 , M 0, N 0,那么： log a（M N ） log a M + log a N ；lOga M 皿M 一臉N ； NCD loga M n n

2、 loga M （n R） .注意：換底公式log c blog a b （a 0,且 a 1；c 0,且 c 1；b 0）.logc a利用換底公式推導下面的結(jié)論n n -,一1（1）logam b logab； （2） loga b -mlogb a（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y loga x（a 0,且a 1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0, +8）.注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y 210g 2x, y log x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱5其為對數(shù)型函數(shù). 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（a 0 ,且a 1）.2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

3、：a>10<a<121-22.-21，1，1產(chǎn)11010.0.10，1-2-22，I2，1-1 -定義域x > 0定義域x>0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都 過定點（1,0）函數(shù)（1,圖象都過定點0）對數(shù)函數(shù)例題解析例1.求下列函數(shù)的定義域：2 2、(1) y log a x ； y loga(4 x) ；(3) y log a (9 x ).解：(1)由x2>0得x0,，函數(shù)y log a x2的定義域是 x x 0 ;(2)由4 x 0得x 4, .函數(shù)y log a(4 x)的定義域是 x x 4 ；(3)由9- x20得-3 x 3,

4、 函數(shù)y log a (9 x2)的定義域是xx2 1八八，11八，x 3 x 3 .例2.求函數(shù)y 一 2和函數(shù)y -2 (x 0)的反函數(shù)。52即，、1 x,1解：(1) y 2 f (x) log(x 2) (x -2)；55x2 1(2)2y-2 f-1(x)Jlogjx-2)(2x5).例4.比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:(1) log 2 3.4, log 2 8.5；(2) 10g 0.38, log0.3 2.7 ；(3) log a 5.1 , loga 5.9 .解：(1)對數(shù)函數(shù)y 10g2x在(0,)上是增函數(shù)，于是10g23.410g28.5；(2)對數(shù)函數(shù)y 10g

5、o.3x在(0,)上是減函數(shù)，于是log 0.3 1.810g0.32.7 ;(3)當a 1時，對數(shù)函數(shù)y log ax在(0,)上是增函數(shù)，于是10ga5.110ga5.9,當o a 1時，對數(shù)函數(shù) y logax在(0,)上是減函數(shù)，于是1oga5.1 10ga5.9.例5.比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：(1) 10g67, 1og76； log3, 1og2 0.8；,八、,0.9 (3)1.1, 1og1.10.9, log0.70.8；(4) 1ogs3, 1og6 3, log73.解：(1) log6 7 log 6 6 1 , log7 6 log 7 7 1 , 1

6、log6 7log 7 6 ;(2) log3 log31 0, log20.8 log21 0 , log3 log2 0.8 .(3)1.10.91.10 1,10gl.10.9 10gl.11 0,0 log0.7 1 log 0.7 0.8 log0.7 0.71,09一一一一.1.110go.7 0.810gl.10.9.(4)0 log 3 5 log 3 6 log3 7 ,log53 log6 3 log 73 .例7,求下列函數(shù)的值域：22(1) y 10g2(x 3)；(2) y 10g2(3 x)；(3) y loga(x 4x 7)( a 0且a 1).解：(1)令 t

7、 x 3 ,則 y 1og2t ,. t 0 , y R ,即函數(shù)值域為R .(2)令 t 3 x2,則 0 t 3,y log 2 3 ,即函數(shù)值域為(,1og 2 3 .(3)令 t x2 4x 7 (x 2)2 3 3,當a 1時，yloga 3 ,即值域為log a 3,),當 0 a 1 時，y log a 3 ,即值域為(,10g a 3 .例8.判斷函數(shù)f(x) 10g2“x2 1 x)的奇偶性。解:1 x恒成立，故f(x)的定義域為(),f( x)10g2(Jx2 1 x)1X 1 x_- 一10g2 j 2 log2=_210g2Jx 1 X f(x),所以，f(x)、X 1

8、 X( ；X 1) X為奇函數(shù)。例9.求函數(shù)y 210g i(xu g(x) x ax a 在區(qū)間( 3x 2)的單調(diào)區(qū)間。 33 o 13解：令 u x 3x 2 (x -)在-, 242一 2又 x 3x 2 0 ,. x 2或 x故u X2 3x 2在(2,)上遞增，在(）上遞增，在（，3上遞減，1,1）上遞減，又y 21og1U為減函數(shù),所以，函數(shù)y 21og 1（x2 3x 2）在（2,）上遞增，在（，1）上遞減。3例10.若函數(shù)y10g2（x2 ax a）在區(qū)間（,1 73）上是增函數(shù)，a的取值范圍。解：令 u g(x) x2 ax a,.函數(shù)y 10g 2 u為減函數(shù),173）上

9、遞減，且滿足u 0 ,21m ，解得2 2出g(13) 02,所以，a的取值范圍為2 2j3,2.3x 2【例1】(1)求函數(shù)y= log i 3的定義域.y 1 2x i(2)求函數(shù)y = .1 (a>0,且aw 1)的定義域.1 loga(x a)(3)已知函數(shù)f(x)的定義域是0, 1,求函數(shù)y = flog 1(3 x)的定義log解由至2x2x3x 21 >02 2x 12>01產(chǎn)03x 2<12x 1(3x 2)(2x 1)>01xW 2x 1<02x 1一 12x< 或 x > 一21xW 一211,-<x< 121 2

10、x< 二或x> 二2 31"2 2:所求JE義域為x|Vx<13'解(2).1 1 log a(x + a) >0, log a(x + a) v 1.當a>1時，0vx+ava,函數(shù)的定義域為 (一a,當0vav1時，x+a>a,，函數(shù)的定義域為 (0, +°0).解(3)f(x)的定義域為0, 1, .函數(shù)y = flog(3 x)有意義,31必須滿足 0< log 1 (3 -x) & 1,即 10gli & log 1 (3 x) & log 1;,3333 31 /A8x<1,2<

11、;x< -.故函數(shù) y= log 1(3x)的定乂域為2,338-_ _10x【例2】 已知函數(shù)丫 =T,試求它的反函數(shù)，以及反函數(shù)的定義 域和值域.1 10解已知函數(shù)的定義域為xx10,10R , - y =文. y w 1,由 y =得1 101 10x(1 y)10 =y,.d x y,10 =1 y>00<y<1,即為函數(shù)的值域.由 10x = y1 y得 x=ig y-1 yx,即反函數(shù)f 1(x) = ig1 x反函數(shù)的定義域為(0 , 1),值域為yC R.【例3】作出下列函數(shù)的圖像，并指出其單調(diào)區(qū)間.y=lg( x) (2)y=log 2|x + 1|(

12、3)y =|log 1 (x-1)|, (4)y = log2(1-x).2解 y=lg(x)的圖像與y=lgx的圖像關(guān)于y軸對稱，如圖2. 83所示，單調(diào)減區(qū)間是(一°°, 0).解(2)先作出函數(shù)y=log 2|x|的圖像，再把它的圖像向左平移1個單位就得y= log 2|x + 1|的圖像如圖 2. 84所示.單調(diào)遞減區(qū)間是(一°°, - 1),單調(diào)遞增區(qū)間是(一 1, +00 ).解(3)把y = log9的圖像向右平移1個單位得到y(tǒng) = log2(x1)的圖像，保留其在x2 2軸及x軸上方部分不變，把 x軸下方的圖像以x軸為對稱軸翻折到x軸上方

13、，就得到y(tǒng)=|log1(x1)|的圖像.如圖2. 8-5所 示2圖二 6-3圖二 ET E 2.6-5單調(diào)減區(qū)間是(一1, 2.單調(diào)增區(qū)間是2, +8).解(4) ,函數(shù)y=log 2( x)的圖像與函數(shù) y=log ?x的圖像關(guān)于y軸對稱，故可先作y=log 2( -x)的圖像，再把 y= log 2( x)的圖像向右平移1個單位得到y(tǒng)=log 2（1 一x）的圖像.如圖 2. 8 6所示.單調(diào)遞減區(qū)間是（一00, 1）.【例4】 圖2. 87分別是四個對數(shù)函數(shù)，的圖像，那么a、b、c、d的大小關(guān)系是A. d>c>b>a B. a> b>c>dC. b&g

14、t;a>d>c D. b> c>a>d解 選C,根據(jù)同類函數(shù)圖像的比較，任取一個y=log ax y=log bx y=log cx y=log dxx> 1 的值，易得 b>a> 1 >d>c.【例5】 已知log a3>log b3,試確定a和b的大小關(guān)系.解法一 令 y1=log ax, y2=logbx, log ax>log b3,即取 x=3 時，y1 >y2,所以它們的圖像，可能有如下三種情況:當log a3>log b3>0時，由圖像2.8-8,取 x=3,可得 b>a>1.(

15、2)當0>log a3>log b3時，由圖像2.89,得 0vavbv1.當log a3>0>log b3時，由圖像2.8-10,得 a>1>b> 0.圖 2.8-6圖 2.3-10log ab的大小順序是：【例6】若 a2>b>a>1, WJloga'a、 log b b > log ba>babab解 a >b> a> 1,0< _ < 1, >1, loga_ < 0, 10gb一baba0, 0<logba< 1, logab> 1.由a2 &g

16、t;b>a>1 得a> ' >1 10gb' < 10gba< aaab1,故行：loga - < logb _ < log ba< logab.ba【例8】已知函數(shù)f(x) = loga(x+Ji x2)(a>0,且 /1),判斷其 奇偶性.解法一已知函數(shù)的定義域為R則一xC R f( 一X)= lOga(Vl+ x2 -x).2、.2、(1 x x)( 1 x x)=log a 2一 1 x xlOga1 x2lOga ,1=loga( 1 x2 x) f (x) .f(x)是奇函數(shù).解法二已知函數(shù)的定義域為由 f

17、(x) +f( x) = loga(v1+ x2 +x) + 10gH1+ x2 x)=loga( 1+ x2 x)( .1+ x2 x)=log a1=0.f(x)= f(x),即 f(x)為奇函數(shù).單元測試一、選擇題(每小題 5分，共50分).1.對數(shù)式log a 2(5 a) b中，實數(shù)a的取值范圍是()A. (,5)B. (2,5)C. (2,)2.如果 lgx=lga+31gb 5lgc ,那么A. x=a+3bc0 3abB. x5cC. x,3 abD.(2,3) (3,5)( )D. x=a+b3 c33.設(shè)函數(shù)y=lg(x 2 5x)的定義域為M函數(shù)y=lg(x 5)+lgx

18、的定義域為N,則A. MU N=RB. M=NC. M ND. M N4 .若 a>0, b>0, ab>1, log 1 a =ln2 ,則 log ab與 log a 的關(guān)系是A. log abv log 1 a2C. log ab> log1 a2B. log ab=l0gl a2D. log abw 10gl a25 .若函數(shù)log 2(kx 2+4kx+3)的定義域為R,則k的取值范圍是A.。,4B. 0,34C.0,4D.(,。:,6.卜列函數(shù)圖象正確的是1而7.已知函數(shù)g(x)f(x),其中 log 2f(x)=2x , x R 則 g(x)A.是奇函數(shù)又

19、是減函數(shù)C.是奇函數(shù)又是增函數(shù)9 .如果y=log 2aix在(0 , +°°)內(nèi)是減函數(shù),A. | a | > 1 B. | a | < 210 .下列關(guān)系式中，成立的是0.1A log 3 4 log 1 105301C.log 3 4 log 1 10 一35二、填空題：(每小題6分，共24分).11.函數(shù)y/log i (2x5'的定義域是 2B.是偶函數(shù)又是增函數(shù)D.是偶函數(shù)又是減函數(shù)則a的取值范圍是()C. a , 2D. 1 a .2()01.,B.log1 10-log 3 43501D. log 1 10 log 3 4 一35，值域是

20、12.方程 log 2(2 x+1)log 2(2 x+1+2)=2 的解為 13 .將函數(shù)y 2x的圖象向左平移一個單位，得到圖象 。，再將。向上平移一個單位得到 圖象Q,作出。關(guān)于直線y=x對稱的圖象 Q,則。的解析式為14 .函數(shù)y=log1 (x2 4x 12)的單調(diào)遞增區(qū)間是三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共76分).x 115. (12分)已知函數(shù) f (x) log2 log2(x 1) log2(p x).x 1(1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)求函數(shù)f (x)的值域.16. ( 12分)設(shè) x,y, z R+,且 3x=4y=6z.1(1) 求證： z

21、11，一;(2) 比較3x, 4y, 6z的大小.x 2y17 . (12分)設(shè)函數(shù) f(x) lg(x Vx21).(1)確定函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性；(3)證明函數(shù)f (x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù);(4)求函數(shù)f(x)的反函數(shù).1 .18 .現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)一的細胞每小時分裂一次，即由 1個細胞分裂成2個2細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過1010個？(參考數(shù)據(jù)：lg3 0.477,lg 2 0.301 )20. (14分)已求函數(shù)y loga(x x2)(a 0, a 1)的單調(diào)區(qū)間必修1數(shù)學章節(jié)測試(7)第二單元

22、(對數(shù)函數(shù))一、DCCAB BDBDA二、11 . 尬 11,72 ,0,;12. 0;13. y log2(x 1) 1;14. (,2)；三、15. 解：(1)函數(shù)的定義域為(1 , p).(2)當 p>3 時,f (x)的值域為(°°, 210g 2(p+1)2);當 1vp 3 時，f (x)的值域為(，1+log2(p+1).16. 解：(1)設(shè)3x=4y=6z=t.x>0, y>0, z>0, . t > 1, lgt >0, lgtlgtlgtx log31 ,y ,z lg3lg4lg6- 11lg 6lg3lg 2lg4

23、1.zxlg tlg tlg t2 lg t2y(2)3 x< 4y6z.17.解：(1)由x、；x2 1 0得xTR,定義域為R. (2)是奇函數(shù).(3) 設(shè)x1, x2 c R,且 x2 1 0x1<x2,則 f(X1)X1f(X2) lgX22 2X11 .令 t X vxY2X21則t1t2(XiXi2 1) (X2x2 1).(XiX2) ( X12 1X2 1)(XiX2)(X1 X2)(Xi X2)x21X21(Xi22X2)(X11X21X1X2X121X21 X1X2<0, ”21 X10,X2 1X2 . 11 t 2< 0, 1- 0< 11<t 2, 1- 0f (x 1)f (x2)< lg1=0 ,即 f (x1)vf (x 2),函數(shù)f(X)在R±是單調(diào)增函數(shù).(4)反函數(shù)為y102X 1(xR).2 10x18.解：現(xiàn)有細胞 100個,先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細胞總數(shù),1小時后,細胞總數(shù)為2小時后,細胞總數(shù)為3小時后,細胞總