高考數(shù)學(xué)18個(gè)常見問題專項(xiàng)突破---?？紗栴}15　橢圓、雙曲線、拋物線的基本問題

1、?？紗栴}15橢圓、雙曲線、拋物線的基本問題(建議用時(shí)50分鐘)1(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析直線AB的斜率k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以得·.又x1x22，y1y22，所以k×，所以，又a2b2c29，由得a218，b2E的方程為1.答案D2已知雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為()A5x2y21 B

2、.1C.1 D5x2y21解析由于拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，即c1，又e，可得a，結(jié)合條件有a2b2c21，可得b2，又焦點(diǎn)在x軸上，則所求的雙曲線的方程為5x2y21.答案D3(2013·湖州一模)已知拋物線y24px(p0)與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AFx軸，則雙曲線的離心率為()A. B.1 C.1 D.解析依題意，得F(p,0)，因?yàn)锳Fx軸，設(shè)A(p，y)，y>0，y24p2，所以y2p.所以A(p,2p)又點(diǎn)A在雙曲線上，所以cp，所以1，化簡(jiǎn)，得c46a2c2a40，即462e232，e1.答案B4已知雙曲線C與橢圓1

3、有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且離心率互為倒數(shù)若雙曲線右支上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為4，則PF2的中點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離等于()A3 B4 C2 D1解析由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得橢圓的半焦距c2，故橢圓的離心率e1，則雙曲線的離心率e22.因?yàn)闄E圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，所以雙曲線的半焦距也為cC的方程為1(a>0，b>0)，則有a1，b2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義，可得|PF1|PF2|2a2，又|PF2|4，所以|PF1O為F1F2的中點(diǎn)，M為PF2的中點(diǎn)所以|MO|PF1|3.答案A5(2013·山東卷)拋物線C1：yx2(p>

4、0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：y21的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A. B. C. D.解析拋物線C1：yx2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py，其焦點(diǎn)為F；雙曲線C2：y21的右焦點(diǎn)F為(2,0)，其漸近線方程為y±x.由yx，所以x，得xp，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由點(diǎn)F，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線可求p.答案D6(2013·陜西卷)雙曲線1(m>0)的離心率為，則m等于_解析由題意得c，所以，解得m9.答案97(2013·合肥二模)設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)PAl，A為垂足，如果AF的斜率為，那么|P

5、F|_.解析拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線為x2，因?yàn)镻A準(zhǔn)線l，設(shè)P(m，n)，則A(2，n)，因?yàn)锳F的斜率為，所以，得n4，點(diǎn)P在拋物線上，所以8m(4)248，mP(6，4)，|PF|PA|6(2)|8.答案88(2013·福建卷)橢圓T：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓T的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析直線y(xc)過點(diǎn)F1，且傾斜角為60°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2，在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c

6、，所以該橢圓的離心率e1.答案19設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求|AB|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值解(1)由橢圓定義知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去y，得(1b2)x22cx12b20，則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.則(x1x2)24x1x2，解得b.10已知橢圓

7、C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；(2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，由已知得解得又b2a2c2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x，y)，其中x4,4，由已知2及點(diǎn)P在橢圓C上可得2，整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2112，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y±(4x4)軌跡是兩條平行于x軸的線段當(dāng)時(shí)，方程變形為1，其中x4,4當(dāng)0<<時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為

8、中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足4x4的部分；當(dāng)<<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足4x4的部分；當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓11(2013·天津卷)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若··8，求k的值解(1)設(shè)F(c,0)，由，知ac.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有1，解得y±，于是，解得b，又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k2x1x2，x1x2，因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以&