動態(tài)幾何問題中的相似

1、專題課堂（五）動態(tài)幾何問題中的相似【例】如圖，在平面直角坐標系內，已知點A(0，6)，點B(8 0).動 點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時 動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動設點P，Q移動的時間為t秒.(1)求直線AB的解析式;4yAP0B x(2)當偽何值時，ZXAPQ與ZXAOB相彳以？并求出此時點P的坐標.分析：(1)運用待定系數法求出直線AB的解析式即可；(2)分APQs/XAOB和厶AQP-AAOB兩種情況，根據相似三角形的 性質定理，結合圖形計算即可.解：(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，由題意得H=0，解k= 3

2、得 4；直線AB的解析式為y=；x+6 (2)由題意知AP=t，b=6，AQ=1O 2t可分兩種情況討論：當ZAPQ=ZAOB時，有厶APQsAAOB，如圖110-2t1036TT P(0當ZAQP=ZAOB 時，有厶AQPAAOB，如圖2，75 =蔦彳'解得 t=| APO=AO-AP=6-|=f| AP(0 H)綜上所述，當t為晉秒或彩秒時，AAPQ與厶AOB相似，兩種情況下點P 的坐標為（0，普）或（0，H）對應訓練1如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動點P 連接PD，線段PD繞點P順時針旋轉90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接解：(1)由題意得 P

3、D=PE，ZDPE=90° ，ZAPD+ZQPE=90，丁 四邊形 ABCD 是正方形ZA=90°， ZADP+ ZAPD = 90° ，.ZADP=ZQPE VEQ丄AB，二 ZA= ZQ = 90° ，又PD =PE，ADP$ZQPE(AAS)，.PQ = AD=1 (2) V APFDABFP， PF_PD*BF = PB，昕PF，V ZADP= ZBPF，ZCBP=ZADAPsPBF罟=器，需=| 9 PA = PB=£aB=* .I 當 PA，APFDABFP2如圖，在矩形ABCD中，AB = 10c加，BC=12cm，點E，F，G分

4、別 從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的 運動速度為1 cm/s，點F的運動速度為3 cm/s，點G的運動速度為1.5 cm/s， 當點F到達點C(即點F與點C重合)時，三個點隨之停止運動.在運動過程 中，AEBF關于直線EF的對稱圖形是AEBF設點E，F，G運動的時間為 t(單位：5).(1) 當1= 2一5 s時，四邊形EBFB，為正方形；(2) 若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相 似，求t的值.解：(1)2.5點撥：若四邊形EBFB'為正方形，則BE=BF，由題意可得BE=10t，BF=3t，.1Ot=3t，解得t=2.5

5、(2)分兩種情況FR r>pi n f討論如下：若 EBF-AFCG，則有走=花'即TI二It=T3tFB BF10t3tt=28；若 EBF-AGCF，則有比=疋，即二久?解得1=142/69(不合題意 啥去)或 t= 14+2/69. /.當 t=14+2/69)5時，以點E，B，尸為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似3 如圖，在7?rAABC中，ZC = 90°，AB = 10 c加，AC ： BC = 4 : 3，點P從點A岀發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1 cm/s，同時點Q從點B岀發(fā) 沿BC>A方向向點A運動，速度為2 cm/s，當一個運動

6、點到達終點時， 另一個運動點也隨之停止運動.(1)求AC，BC的長；設點P的運動時間為x($)，APBQ的面積為y(cm2) 當APBQ存在時， 求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.解：(1)設 AC=4x，BC = 3x，在 RtABC 中，AC2+BC2 = AB2，即(4x)2+ (3x)2= IO?，解得 x 2，.AC = 8c加 BC = 6 cm(2)當點Q在邊BC上運動時，如圖1，過點Q作QH丄AB于點H，TAP=x，.BP=10-x，BQ = 2x ZAQHBAACB，器=器，VxW3)；一即罟=希 > .,.QH=|x，.y = £BP QH = *10 x) |x=-|x2+8x(0當點Q在邊CA±運動時，如圖2，過點Q作QH'丄AB于點H，TAP=x，ABP=10-x，AQ=14