2極大值與極小值

1、132極大值與極小值【明目標(biāo)、知重點】1. 了解函數(shù)極值的概念，能從幾何方面理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及函數(shù)在某一點取得極值的條件.3.掌握用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的極值.填要點T己疑點1 極值的概念(1)極大值如圖，函數(shù)y = f(x)在點x = b處的函數(shù)值f(b)比它在點x = b附近其他點的函數(shù)值都大， f '(b) = 0；而且在點x = b處附近的左側(cè)f'( x)>0，右側(cè)f '(x)<0，則把f ( b)叫做函數(shù)y =f (x)的極大值.極小值如圖，函數(shù)y= f (x)在點x = a處的函數(shù)值f( a)比它在x= a附近其他點

2、的函數(shù)值都小，f'(a) =0;而且在點x= a處附近的左側(cè)f '(x) v 0，右側(cè)f '(x) > 0，則把f ( a)叫做函數(shù)y=f(x) 的極小值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.2 極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xX1左側(cè)X1X1右側(cè)f'(X)f' (x)>0f' (x) = 0f'(x)<0f(x)增(/)極大值f(X1)減()3.極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系XX2左側(cè)X2X2右側(cè)f'(X)f '(x)<0f' (x) = 0f'(x)>0f(x)減(/)極小值f(X2)增(/)

3、探要點究所然情境導(dǎo)學(xué)在必修1中，我們研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題. 但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點 附近，也存在著哪一點的函數(shù)值大， 哪一點的函數(shù)值小的問題， 如何利用導(dǎo)數(shù)的知識來判斷 函數(shù)在某點附近函數(shù)值的大小問題？又如何求出這些值？這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容.探究點一函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 思考1如圖，表示高臺跳水運動員的高度隨時間變化的函數(shù) 圖象，觀察發(fā)現(xiàn)，t = a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大.函數(shù)h(t)在此點的導(dǎo)數(shù)是什么？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng) 地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律?答 函數(shù)h(t)在點t = a處h'(a) = 0.在t = a的附近，當(dāng)th

4、(t) =-4.9 t2+ 6.5 t + 10 的函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，h'(t)>0 ； 當(dāng)t >a時，函數(shù)h( t)單調(diào)遞減，h'(t)<0.思考2如圖觀察，函數(shù)y= f(x)在d、e、f、g、h、i等點處的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ y = f(x)在這些點處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y= f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號O 8 h有什么規(guī)律？答 以d、e兩點為例，函數(shù) y = f (x)在點x= d處的函數(shù)值f (d)比它在點x = d附近其他點 的函數(shù)值都小，f'(d) = 0；在x = d的附近的左側(cè)f '(x)<0 ,

5、右側(cè)f'(x) >0.類似地，函 數(shù)y= f (x)在點x = e處的函數(shù)值f (e)比它在x= e附近其他點的函數(shù)值都大，f'( e) = 0； 在x= e附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f '(x)<0.思考3函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值和極小值是唯一的 嗎？答函數(shù)的極大值與極小值并無確定的大小關(guān)系，一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值或極小值可以不止一個.思考4若某點處的導(dǎo)數(shù)值為零，那么，此點一定是極值點嗎？舉例說明.答不一定.可導(dǎo)函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點不一定是極值點.可導(dǎo)函數(shù)

6、f (x)在X0處取得極值的充要條件是 f '(X0)= 0且在X0兩側(cè)f '( X)的符號不同.例如，函數(shù)f (x) = x解方程 x 4= 0,得 X1 = 2, X2= 2.由 f '(x)>0，得 x< 2 或 x>2; 由 f '(x)<0，得2<x<2.當(dāng)x變化時，f '( x) , f(x)的變化情況如下表:可導(dǎo)，且在x = 0處滿足f' (0) = 0，但由于當(dāng)x<0和x>0時均有f '(x)>0 , 所以x= 0不是函數(shù)f (x) = x3的極值點.1 3例1求函數(shù)f

7、 (x) = x 4x+ 4的極值.32解 f '( x) = x 4.x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+)f '(X)+00+f(x)單調(diào)遞增283單調(diào)遞減43單調(diào)遞增由表可知：當(dāng)x =-2時，f(x)有極大值f( 2) =-3；4當(dāng)x= 2時，f(x)有極小值f(2) = 3.反思與感悟 求可導(dǎo)函數(shù)f (x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f '(x)；求方程f '( X)= 0的根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間，并列成表格檢 測f'( x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f( x)在這

8、個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f (x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f (x)在這個根處無極值.3跟蹤訓(xùn)練1 求函數(shù)f(x) = + 3ln x的極值.x3解 函數(shù)f (x) = -+ 3ln x的定義域為(0 ,+),x,333 x1f ( x)=二+=2.x x x令 f '(x) = 0，得 x= 1.當(dāng)x變化時，f'(x)與f (x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1 , +m)f '(X)0+f(x)單調(diào)遞減3單調(diào)遞增因此，當(dāng)x= 1時，f(x)有極小值f(1) = 3.探究點二已知函數(shù)極值求參數(shù)的值思考已知函數(shù)的極值，如何求函數(shù)解

9、析式中的參數(shù)？答解這類問題，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程， 從而求出參數(shù)的值.需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點處取得 極值的必要條件，所以必須對求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗，看是否符合函數(shù)取得極值的條件.例2 已知f (x) = x3 + 3ax2+ bx+ a2在x= 1時有極值0，求常數(shù)a, b的值.解因為f (x)在x = 1時有極值0,92且 f '(x) = 3X + 6ax+ b,1 0,1 0,a= 2, 或心9.3 6a + b = 0, 即= + 3ab+a2=0.a= 1,解之得ib= 322當(dāng) a= 1, b= 3

10、 時，f '(x) = 3x + 6x+ 3= 3(x + 1) >0, 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去.當(dāng) a= 2，b= 9 時，2f '(x) = 3x + 12x+ 9 = 3(x + 1)( x+ 3).當(dāng)x ( 3, 1)時，f (x)為減函數(shù)；當(dāng)x ( 1,+)時，f (x)為增函數(shù)，所以f(x)在x= 1時取得極小值，因此 a= 2, b= 9.0和極值兩個條件列反思與感悟 (1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值處導(dǎo)數(shù)為方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因為“導(dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點取得極值”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后,必須驗證

11、根的合理性.2跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)當(dāng)x= 1與x=2時，函數(shù)f (x) = aln x+ bx + x取得極值.(1)試確定常數(shù)a和b的值； 判斷當(dāng)x= 1, x= 2時函數(shù)f(x)取得極大值還是極小值，并說明理由.2解(1) v f(x) = aln x + bx + x,af '(X)= a+ 2bx+1.由極值點的必要條件可知：f' (1) = f'=o,a a+ 2b+ 1 = 0 且+ 4b + 1 = 0,2 1解方程組得，a= 2, b= 1.3 62 1 2由(1)可知 f (x) = ?ln x x + x,21 2且函數(shù)f (x) =;In x+ x的定義

12、域是(0，+m),36,2 !1x 1 x2f(X)= 3x 3x+1 = 3x當(dāng) x (0,1)時，f ' (x) v 0; 當(dāng) x (1,2)時，f ' (x) > 0;當(dāng) x (2 ,+8)時，f ' ( x) v 0;所以，x= 1時函數(shù)f(X)取得極小值，x= 2時函數(shù)f (x)取得極大值.探究點三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用3例 3 設(shè)函數(shù) f (x) = x - 6x+ 5, x R(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若關(guān)于x的方程f (x) = a有三個不同的實根，求實數(shù) a的取值范圍.2 解 f'(x) = 3x -6，令 f '(x)

13、 = 0,解得 Xi = J2, X2= 2.因為當(dāng) x> 2或 x<2時，f'( x) > 0;當(dāng)2< x <2時，f '(x) < 0.所以，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,冬：2)和(/2,+8);單調(diào)遞減區(qū)間為(一2,2).當(dāng)x=2時，f (x)有極大值5+ 4 2;當(dāng)x= , 2時,f (x)有極小值5 4 2. 由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示.所以，當(dāng) 5 4 .2<a< 5+ 4 2時，直線y= a與y= f (x)的圖象有三個不同的交點， 即方程f (x) = a有三個不同的實根.反思

14、與感悟用求導(dǎo)的方法確定方程根的個數(shù)，是一種很有效的方法. 它通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù).跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f (x) = 2x3 6x + k在R上只有一個零點，求常數(shù)k的取值范圍.3解 f(x) = 2x 6x + k,則 f '( x) = 6x2 6,令 f '(x) = 0,得 x= 1 或 x= 1 ,可知f (x)在(1,1)上是單調(diào)減函數(shù)，f (x)在(8, 1)和(1 ,+8 )上是單調(diào)增函數(shù).f (x)的極大值為f ( 1) = 4 + k,f (x)的極小值為f(1) = 4 + k.要使函數(shù)f(X

15、)只有一個零點，只需4+ k<0或一4 + k>0(如圖所示)即 k< 4 或 k>4. k 的取值范圍是(一8, 4) U (4 ,+).當(dāng)堂測查疑缺1. “函數(shù)y = f(x)在一點的導(dǎo)數(shù)值為 0”是“函數(shù)y= f (x)在這點取得極值”的 條件.答案必要不充分解析 對于 f (x) = X3, f '(x) = 3x2, f ' (0) = 0,不能推出f(x)在x = 0處取極值，反之成立.2 下列函數(shù)存在極值的是 .(填序號)1 y = x : y= x ex; y= x3+ x2+ 2x 3; y= x3.x答案1解析 中f '( x

16、)=二，令f'( x) = 0無解，x中函數(shù)無極值. 中 f'( x) = 1 e ,令 f'( x) = 0 可得 x= 0.當(dāng) x<0 時，f'(x)>0，當(dāng) x>0時，f '(x)<0. y = f (x)在 x= 0 處取極大值，f(0) = 1.2 中 f'(x) = 3x + 2x+ 2, = 4 24= 20<0. y=f (x)無極值也無極值.323. 已知f (x) = x + ax + (a+ 6)x +1有極大值和極小值，則a的取值范圍為 .答案 a< 3或a>6解析 f'(

17、x) = 3x + 2ax + (a + 6),因為f(x)既有極大值又有極小值，2那么= (2a) 4X3X( a+ 6)>0 ,解得a>6或a< 3.4. 直線y= a與函數(shù)y= x3 3x的圖象有三個相異的交點，貝Ua的取值范圍是 .答案 2<a<2解析 f '(x) = 3x2 3.令f '(x) = 0可以得到x = 1或x = 1,/f (1) = 2, f ( 1) = 2 , 2<a<2.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x = xo處取得極值的充要條件是f '(xo)=0且在x=

18、xo兩側(cè)f '( X)符號相反.2禾U用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點問題40分鐘課時作業(yè)一、基礎(chǔ)過關(guān)1.函數(shù)y = f (x)的定義域為(a, b) , y = f'(x)的圖象如圖，則函數(shù) y= f (x)在開區(qū)間(a, b) 內(nèi)取得極小值的點有 個.答案 1解析 當(dāng)滿足f '(x) = 0的點，左側(cè)f '(x)<0,右側(cè)f'(x)>0時，該點為極小值點，觀察題圖，只有一個極小值點.2下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是 .(填序號) 導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點； 函數(shù)的極小值一定小于它的極大值； 函數(shù)在定義域

19、內(nèi)有一個極大值和一個極小值； 若f (x)在(a, b)內(nèi)有極值，那么f (x)在(a, b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).答案解析由極值的概念可知只有正確.323. 若a>0,b>0,且函數(shù)f(x) = 4x ax 2bx+ 2在x = 1處有極值，則ab的最大值為 答案 92解析 f '(x) = 12x 2ax 2b, f (x)在x= 1處有極值， f ' (1) = 12 2a 2b= 0, a+ b= 6.又 a>0, b>0,. a+ b>2 ab,.2 ,abw6, ab<9,當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 3時等號成立， ab的最大值為9.4. 函數(shù)

20、 y= x3 3x2 9x( 2<x<2)的極大值為 .答案 5解析 由 y '= 3x 6x 9 = 0,得 x= 1 或 x = 3,當(dāng) x< 1 或 x>3 時，y' >0.當(dāng)1<x<3 時，y' <0.故當(dāng)x= 1( 2<x<2)時，函數(shù)有極大值 5.5. 函數(shù)f(x) = ax3 + bx在x= 1處有極值2,貝U a、b的值分別為 、.答案 1 3解析 因為 f'(x) = 3ax2 + b,所以 f' (1) = 3a + b= 0.又x= 1時有極值2,所以a+ b= 2.由解得

21、a= 1, b= 3.6. 若函數(shù)y= x3 3ax+ a在(1,2)內(nèi)有極小值，則實數(shù) a的取值范圍是 答案 1<a<4解析 y'= 3x2 3a,當(dāng)a<0時，y'0恒成立,函數(shù)y= x3 3ax+ a為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng) a>0 時，y '= 3x2 3a= 0? x=± a,不難分析,當(dāng)1< ,a<2,即卩1<a<4時，函數(shù)y = x3 3ax + a在(1,2)內(nèi)有極小值.7. 求下列函數(shù)的極值：(1) f(x) =x3 2x 12；15 f (x) = x2e x解(1)函數(shù)的定義域為(一a,

22、 1) U (1 ,+).-f'(x)=2 x 1令 f '( x) = 0，得 X1 = 1, X2= 2.當(dāng)x變化時，f '( X), f(x)的變化情況如下表:x(m, 1)1(1,1)1(1,2)2(2 +m ),f'(X)+0一+0+f(x)單調(diào)遞增3一 8單調(diào)減遞單調(diào)遞增3單調(diào)遞增故當(dāng)x= 1時，函數(shù)有極大值,3并且極大值為f ( 1) = ?無極小值.函數(shù)的定義域為R,f'( x) = 2xe 7 + x2x 2x=2xe x e=x(2 x)e ,令 f '( x) = 0，得 x= 0 或 x= 2.當(dāng)x變化時，f '(

23、 x) , f(x)的變化情況如下表:X(m, 0)0(0,2)2(2 ,+)f'(X)一0+0一f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增4e 2單調(diào)遞減由上表可以看出，當(dāng) x= 0時，函數(shù)有極小值，且為f(0) = 0;當(dāng)x= 2時，函數(shù)有極大值，且為f(2) = 4e2.、能力提升&設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為R,當(dāng)x = Xo(XoM 0)時f (x)取得極大值，以下結(jié)論一定正確的是.(填序號) ? x R, f (x) < f (Xo); 當(dāng)x= Xo時f ( x)取得極小值； 當(dāng)x= Xo時一f (x)取得極小值； 當(dāng)X= X0時一f ( X)取得極小值.答案解析 錯，因為極大

24、值未必是最大值.錯，因為函數(shù)y = f(x)與函數(shù)y = f( x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x= X0時f ( x)取得極大值.錯，函數(shù) y= f (x)與函數(shù)y = f (x)的 圖象關(guān)于x軸對稱，當(dāng)x = X0時一f (x)取得極小值.對，函數(shù) y= f (x)與y = f ( x)的 圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng) x = Xo時y = f ( x)取得極小值.9.函數(shù)f (x) = x3 + 3ax2 + 3( a + 2)x + 3既有極大值又有極小值，則實數(shù) a的取值范圍是答案(R, 1) U (2 ,+)2 2 2解析 / f '(x) = 3x + 6ax+ 3(a+ 2)，令 3

25、x + 6ax+ 3( a+ 2) = 0，即 x + 2ax+ a+ 2= 0,函數(shù)f (x)有極大值和極小值，方程x2 + 2ax+ a+ 2= 0有兩個不相等的實數(shù)根，即=210.如果函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷:函數(shù)y = f (x)在區(qū)間單調(diào)遞增;-2，函數(shù)y = f(x)在區(qū)間3內(nèi)單調(diào)遞減;4a 4a 8>0,解得 a>2 或 av 1.函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)x= 2時，函數(shù)y = f(x)有極小值;1 當(dāng)x=-時，函數(shù)y=f (x)有極大值.則上述判斷正確的是 .(填序號)答案解析當(dāng) x ( a, 2)時，f&#

26、39;( x)<0 ,所以f (x)在(一a, 2)上為減函數(shù)，同理f (x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(一2,2)上是增函數(shù)，在(4 ,+a)上為增函數(shù)，所以可排除和，可選擇.由于函數(shù)在x = 2的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，所以當(dāng)x = 2時，函數(shù)有極大值；1而在x=的左右兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，一 1 一故函數(shù)在x= 2的左右兩側(cè)均為增函數(shù)，1所以x= 2時函數(shù)無極值排除和.,3122. .511.已知函數(shù)f (x) = x + mx 2mx 4( m為常數(shù)，且 m>0)有極大值一，求m的值.2 2解 / f '(x) = 3x + mx- 2m= (x + n)(3 x

27、2n),2令 f' ( x) = 0，貝U x= m或 x= 3m3當(dāng)x變化時，f '( x), f(x)的變化情況如下表:x(a, mm- m |m)23m護(hù)+a)f '(X)+00+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增31335/. f (x)極大值=f ( m = m+ m+ 2m 4= 3,m= 1.12.設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f (x) = x3 x2 x + a.(1)求f (x)的極值； 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y = f (x)與x軸僅有一個交點?2解 f '(x) = 3x 2x 1.1令 f '(x) = 0，貝y x=

28、3或 x = 1.當(dāng)x變化時，f '( x), f(x)的變化情況如下表:x1(8 3),1一 31(3, 1)1(1 ,+7f '(X)+00+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增15 f (x)的極大值是 f ( 3) = 27 + a,極小值是f(1) = a 1.(2)函數(shù) f (x) = x x x+ a2=(x 1) (x+1) + a 1,由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有 f(x)>0 ,x取足夠小的負(fù)數(shù)時，有 f (x)<0 ,曲線y = f(x)與x軸至少有一個交點. 由(1)知 f(x)極大值=f( 3) = 27 + a,f (x)極小值=f (1) = a 1.t曲線y = f (x)與x軸