光譜方程解讀

1、一、原子自發(fā)輻射的經(jīng)典模型物理模型：按簡(jiǎn)諧振動(dòng)或阻尼振動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)的電偶極子，稱為簡(jiǎn)諧振子。簡(jiǎn)諧振子模型認(rèn)為，原子中的電子被與位移成正比的彈性恢復(fù)力束縛在某一平衡位置x=0 （原子中的正電中心）附近振動(dòng)（假設(shè)一維運(yùn)動(dòng)情況），當(dāng)電子偏離平衡位置而具有位移時(shí)，就受到一個(gè)恢復(fù)力f =- Kx的作用。如果沒(méi)有其它力作用在電子上，則電子運(yùn)動(dòng)方程為mX + Kx = O x（t） = Xogg 嚴(yán) 0 = jK/m當(dāng)運(yùn)動(dòng)電子具有加速度時(shí)，它將向外界發(fā)射電磁波。發(fā)射電磁波的功率為-S e2(X)26"0c3（或輻射上式所表示的電子能量在單位時(shí)間內(nèi)的損失也可認(rèn)為是輻射對(duì)電子的反作用力 阻力）在單位時(shí)間

2、內(nèi)所作的負(fù)功，即可表示為6他）26%c3（ 3）將上式在一個(gè)周期的時(shí)間間隔t2t1內(nèi)對(duì)時(shí)間積分t2t2 e2（Q ）2W = Fx=J Fuedt=J -' dttiti6%c3推導(dǎo)過(guò)程根據(jù)分部積分，得到最終結(jié)果為t2L (F -gPedt =2e ,d u 3'eoC3t2e e t1(5)由于選取t2t1是一個(gè)周期時(shí)間間隔,故等式右方為零。故得到阻力的大小為6yX(6)考慮到作用在電子上的輻射反作用力 改寫(xiě)為F，將F帶回到公式（1）中，則電子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)e2(7)考慮到輻射作用力比恢復(fù)力小得多，x（t） = XodXI將公式（1）中得到的結(jié)果進(jìn)行變形帶回到公式（7）oX（ 8

3、）(9)最終得到電子運(yùn)動(dòng)方程如下，其中，Y稱為經(jīng)典輻射阻尼系數(shù)2 2XXf 2x = 0,Y = e%36g0c m通過(guò)求解微分方程最終的得到的結(jié)果如下，其中,X0為初始振幅。x(i)= Xoe1722H2t(10)其中，角頻率w =Wo1 -)2，w的頻偏為2 2wo'W 0其中，Y很小則頻偏很小, 強(qiáng)的表達(dá)為C28 w 0可以忽略不計(jì)。其中，輻射場(chǎng)強(qiáng)與振幅(11)x成正比，則輻射場(chǎng)E = Eoe#由上式可知，考慮輻射阻尼后，振子作簡(jiǎn)諧阻尼振蕩。O& 0圖1電子做的簡(jiǎn)諧阻尼振蕩表1電子的受力分析受力分析受彈性恢復(fù)力受彈性恢復(fù)力和輻射阻力運(yùn)動(dòng)方程mW + Kx = 0X+ YX

4、i0解x(t)=沁如t. x(t) = Xoe 2 e'E特性簡(jiǎn)諧無(wú)阻尼振蕩簡(jiǎn)諧阻尼振蕩、原子自發(fā)輻射形成的電場(chǎng)與光強(qiáng)的關(guān)系以原子發(fā)射開(kāi)始記時(shí)，我們將以上阻尼振動(dòng)表示為:I0ElEoe春當(dāng)t<0當(dāng)0(13)對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換,根據(jù)傅里葉變換公式-He.E(w) = J E(t)e'wtdt-iwt(14)經(jīng)過(guò)計(jì)算最終得到E(w)=E0i(w - w0) + (15)光強(qiáng)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系2*E2ol(w) T E(w) I2 = E(w)E (w) =0(w-Wo)2 +(2)2由于電偶極子的原子的衰減振動(dòng)可展開(kāi)成頻率W在一定范圍內(nèi)連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧波，所以(16)光強(qiáng)在譜線

5、范圍內(nèi)頻率 W有一個(gè)分布。其中， W0為譜線中心頻率。以 g(W)表示在頻率w附近單位頻率間隔的相對(duì)光強(qiáng)隨頻率的分布，則有g(shù) (W) =L2 2(W-W0)十(？)(17)將g ( W )進(jìn)行歸一化，即求的 A使下式成立-Heg (w )dw = 1(18)得到A =，帶回公式17得到下式1g(W)=L*Y(WW0)2 +(2)2其中，根據(jù)公式圖2 g ( W)表現(xiàn)出的洛倫茲線型19知g ( W)的最大值在W = W0時(shí)，帶回公式19得到光2(7)(20)W2 = Wo12g(Wo)=,得到對(duì)應(yīng)的f的值分別為W1 =7巧，其中，也w丫，是g(W)的值降至最大值的1/2時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率之差，稱為原子譜線的半值寬度。最后，將公式17寫(xiě)成A W來(lái)表示的光譜線型函