淺談初中平面幾何常見添加輔助線的方法

1、淺談初中平面幾何常見添加輔助線的方法當今社會, 數學作為一門基礎學科,發(fā)揮著越來越來越重要的作用,學 好數學尤為重要。作為新世紀的教師,教學要堅持“以人為本,以學生的發(fā) 展為本” ,要能真正展現學生是數學學習的主人,使學生積極地參與教學活 動,探索知識的形成過程,學得并掌握獲取知識的方法和途徑,使思維的能 力在探索過程不斷升華和發(fā)展。因此我在教學過程中,相應地采用各種教學 方法去啟發(fā)和促進他們的求知和探索欲, 引導學生歸納知識點之間的內在聯(lián) 系,總結解題規(guī)律,使數學的學習更有時效性。初中數學包括代數與平面幾何兩大部分。 代數部分的學習, 一般都有公 式可套,題型較為集中,學生學習起來比較輕松。

2、而平面幾何是一門提高學 生邏輯思維和分析能力的學科。對于大部分學生來說學習起來比較困難。往 往學生最為頭痛的就是如何在這些錯綜復雜的幾何圖形去添加合適的輔助 線,其實添加輔助線也是有規(guī)律可循,教師在教學的過程中,不但要引導學 生對知識進行系統(tǒng)的整理,同時也要引導學生對教材(包括例、習題深入 挖掘、提煉總結其思想實質,揭示歸納方法因素,以其更好地發(fā)揮思想方法 的整體功效,從而提高解題技巧。這里介紹幾種常見的添加輔助線的方法。 一、 過分點添平行線相似形是初中數學的重要內容, 由于近年來各地的中考試題向重視學生 能力方面快速傾斜,我們在學習相似形內容時,不僅需要掌握相似形的一些 基本概念、性質和基

3、本題形,還需要靈活運用所學相似形的基本知識進行補 充、延伸、拓寬。這里,筆者通過大量的習題研究證明一些線段成比例的題 型中,發(fā)現了過分點添平行線的一種比較好的添線方法,現說明如下:在證明一些線段成比例的題型中, 若圖形中未出現相似三角形中的基本 題型:A 字型與 X 型, 通常需要通過找一些分點添平行線去構造這些基本題型。而且找分點還是有規(guī)律可循。通?？砂褩l件中出現的已知比例或分點的 線段和結論中所要證明的線段所在的直線稱為 熱線 , 把幾條熱線的交點稱為 熱點 。那么過分點添平行線即可實際操作為過 熱點 添 熱線 的平行線。以下 舉一道例題加以說明:例:點 D 是 三角形 ABC 邊 AC

4、上的中點,過 D 的直線交 AB 于點 E , 交 BC 的延長線于點 F ,求證:。 BFCF EB AE = 分析:條件中出現已知中點的線段是 AC 、結論中有關的線段落在 AB 和 BF 上, 所以本題中的熱線為 AC 、 AB 和 BF , 這三條線段的交點分別為 A 點、 B 點和 C 點,此三點即為三個熱點。所以本題的證明方法主要有三種。解法一:過熱點 A 作熱線 BF 的平 行線,交 FE 的延長線于點 G ,那么就 有 。 BFAG EB AE = 只要證得 AG=CF即可。 證明:過點 A 作 BF 的平行線, 交FE 的延長線于點 G 。 AG BF BF AG EB AE

5、 = DCAD CF AG = 又 D 為 AC 的中點, AD=DC AG=CF BFCF EB AE = 解法二:過熱點 B 作熱線 AC 的平行線, 交 FE 的延長線于點 H , 那么就有 BH AD EB AE =及 BHDC BF CF =, 只 要 證 得 AD=CD,本題即可得證。解法三:過熱點作 C 熱線 AB 的平行線, 交 FE 的延長線于點 H , 那么就有FBFCF EB CH , 只要證得 CH=AE,本題即可得證。 F一題本來比較復雜的幾何題型,通過熱線熱點這些較為通俗易懂的字 眼,使題目簡單化,既能提高學生學習幾何的興趣,引導了學生歸納知識點 之間的內在聯(lián)系,總

6、結解題規(guī)律,從而提高學生歸納及解題能力。 二、 在梯形中常添的輔助線初二幾何中梯形面積公式的教學,教材中給出作對角線、把梯形分成兩 個三角形的解法,教學中不應該停留在這種表層的認識上,應引導學生這種 方法的深層次含義,既通過“分解與組合”思想,實現把未知問題轉化為已 知問題,并進而引導學生運用這種思想方法去探求問題的其他解法,培養(yǎng)學 生思維的靈活性。在梯形中常見的有以下六種題型:(1 已知兩底之差或求兩底之差的題型, 常過上底的一個端點添一腰的平行線與下底相交; 達到把梯形分解成一個平行四邊形與三角形的目的;求(圖 1 ;(2 已知梯形的上底和底,求面積,常過上底的兩個端點向下底作垂線,添高;

7、 (圖 2 ;(3 延長兩腰交于一點,可得到一對相似三角形 (圖 3 ;(4 已知梯形對角線相等或互相垂直的題型, 常過上底的一個端點作一對角線的平行線,與下底的延長線相交,體現組合的思想(圖4 ;(5 有 中點時, 常過一腰的中點作另一腰的平行線, 分別與上底的延長線、下底相交(圖 5 ;(6 有 中點時, 也常連接上底的一端點與另一腰的中點并延長, 與下底的延長線相交(圖 6 。 (6(5(4(3(2(1例 已知等腰梯形 ABCD 的高是 9, AB CD , A C BD ,求它的 面積。 F 三 、連接兩點法三角形包括三條邊、三個角這六個元素,若已知或需證明某些邊、角的 等量關系時,若

8、不能直接從已知的條件中進行證明,那么此時可以考慮連接 兩點構造新的三角形,使所證的元素在所構造的新的三角形中?？赏ㄟ^證所 構造的三角形全等或相似來證明結論。分析:本題中,既有梯形對角線相等又有互 相垂直的條件,可過上底的一個端點添一對 角線的平行線,可得 ACE 是等腰直角三角 形,根據等腰三角形三線合一及直角三角形 斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,求得 AE 是 18,梯形的面積就能得解。四、在圓中常添弦心距在與圓有關的題目中,已知弦、弦所對的弧、圓心角、半徑等條件時, 常添加弦心距,利用垂徑定理或圓的有關性質解題。例 已知:以點 O 為圓心畫兩個不等的圓, 大圓的弦 AB 交小圓與 C

9、、 分析:A 與 C 分別在 ABO 和CDO 中,若通過直接證明這兩個三角形全等,根據已知條件顯然不夠,觀察已 知 條 件 中 的 四 條 邊 正 好 組 成ABD 和 CDB , 而 BD 正好又是兩個三角形的公共邊,發(fā)現只要證明ABD 和 CDB 全等,本題結論即可得證。例 已知 AB=CD, AD=BC,求證:A= C證明:連接 BD在 ABD 和 CDB 中, AB=CD(已知AD=CB (已知BD=DB(公共邊 ABD CDB (S 。 S 。 S A= C(全等三角形的對應角相等 證畢 A B C DD. 求證：AC=BD 分析： 線段 AC 與 BD 分別是大圓與小圓的 A E

10、 C O D B 弦，而且弦 AB 與 CD 所在的圓為同心圓，而且 兩條弦共線， 即可判定它們有公共的弦心距， 所 以本題可添弦心距， 利用垂徑定理即可解題， 證 明略。 五、 利用等腰三角形三線合一添高 在等腰或等邊三角形中，若已知三邊，求面 積或需證明底邊上的某些線段相等時， 常通過添底 邊上的高，利用等腰三角形三線合一的性質，可得 高把原來的三角形分成左右兩個全等的直角三角 形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形對應 邊、對應角相等的性質解題。 例 已知:點 D,E 在 BC 上， AB=AC,AD=AE B D H E C A 求證:BD=CE 分析：已知條件中有兩個等腰三角形，而所

11、證的兩條線斷正好位于底邊 上，通過添高利用等腰三角形三線合一的性質可得線段 BH=HC, DH=HE。 再根據等式性質，命題即可得證。 六、截長補短法 此法用于證明兩條線段之和或之差等于另一 條線段。截長法在較 長線段中截取一段等于圖中另一條線段；補短法延長一條線段，使延長 部分等于圖中另一條線段。 6 例 已知在 ABC 中， 平分 Ð BAC， Ð AD A 1 2 B=2 Ð C，求證：AB+BD=AC 證明：在 AC 上截取 AF=AB，連接 DF F B 在 D ABD 與 D AFD 中 Ð1=Ð2（已知） AB=AF AD=DA（

12、公共邊） C D E D ABD D AFD（S.A.S） ÐB=ÐAFD，BD=DF（全等三角形對應角，對應邊相等） 又 Ð B=2 Ð C ÐAFD=2ÐC 又 ÐAFD=ÐFDC+ÐC （在三角形中， 一個外角等于不相鄰的兩個內角和） ÐFDC=ÐC FD=FC（等角對等邊） 即 AB+BD=AC 注： 上題也可用補短法， 即延長 AB 到點 E， AE=AC， 使 只要證明 BE=BD 即可。 評注：在上述幾何題型中，通過透析題、圖的條件及待證結論特征，一 法補短，即延長 AB 到點 E，使 AE=AC。一法截長，在 AC 上截取