抽象函數(shù)的應(yīng)用

1、專業(yè)word可編輯抽象函數(shù)的應(yīng)用抽象函數(shù)，是指沒有具體地給出解析式 ，只給出它的一些特征或性質(zhì)的函數(shù) ，抽象函數(shù)型綜 合問題，一般通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解和接受能力，考查對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學(xué)生對(duì)于一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，是考查學(xué)生能力的較好途徑。例 1:定義在 R 上的函數(shù)y =f (x), f (0) = 0,當(dāng)x 0時(shí)，f (x) .1，且對(duì)任意的a,b R，有f(a b) = f (a)f (b)，(1) 求證：f (0) = 1；(2) 求證：對(duì)任意的x R，恒有f (x) 0；(3) 證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4) 若f (

2、x) f (2x -x )1，求x的取值范圍。例 2 已知函數(shù)f(x),g(x)在 R 上有定義，對(duì)任意的x, y R有f (x-y) =f(x)g(y) -g(x)f(y)且f(1) = 0(1) 求證：f (x)為奇函數(shù)(2) 若f(1) = f (2)，求g(1) g(-1)的值專業(yè)word可編輯例 3 已知函數(shù) f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xy恒有 f(x+y) = f(x)+f(y)且當(dāng)x0,f (x)：:0.又又f-2.判斷 f (x)的奇偶性；求 f(x)在區(qū)間3,3上的最大值;1x + y例 4 已知 f(x)在(1 , 1)上有定義，f( ) = 1,且滿足 x, y ( 1 , 1)

3、有 f(x) + f(y) = f()21 + xy證明：f(x)在(1, 1)上為奇函數(shù) J(3)解關(guān)于x的不等式9f(ax ) -2f(x) f(ax) 4.專業(yè)word可編輯12x對(duì)數(shù)列 Xi=, Xn+1=,求 f(Xn)；21+Xn例 5 已知函數(shù)y = f (x), x N , f (x) N,滿足：對(duì)任意x1, x2 N , x1= x2,都有X-If (X1) X2f (X2)X-If (x2) X2f (x-i)；(1)試證明：f (X)為 N 上的單調(diào)增函數(shù)；(2)一n N，且f (0) =1，求證：f (n) -n 1；n1 1(3)若f (0) =1對(duì)任意,n N有f

4、(n f (m) = f (n) 1，證明：-，(3-1)2例 6 已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,11，且同時(shí)滿足:(1)對(duì)任意x 1.0,1丨，總有f(x)_2；f (1) =3若捲 一0兀-0且X1X2乞1，則有f(x1x2) - f (x1)f (x22.(I) 求f (0)的值；求證1 1f(Xi) f (X2)12n 5f (Xn)n 2專業(yè)word可編輯(II) 求f (x)的最大值；(III)設(shè)數(shù)列$n 的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn二一兮(寺一3),n N例 7 對(duì)于定義域?yàn)?.0,1 的函數(shù)f(X),如果同時(shí)滿足以下三條：對(duì)任意的0,11,總有f (x)一0:f(1)=1；若

5、Xi0,X20,XiX2叮，都有f(XiX2)一f (Xi) f (X2)成立，則稱函數(shù)f (X)為理想函數(shù)(1)若函數(shù)f (X)為理想函數(shù)，求f(0)的值；判斷函數(shù)g(x) =2X-1(X 0,1)是否為理想函數(shù)，并予以證明；(3)若函數(shù)f(X)為理想函數(shù)， 假定0,1，使得f(X)0,1丨，且f(f(x)=X0,求證f(X。)=X專業(yè)word可編輯例 8 已知定義在 R 上的單調(diào)函數(shù)f (x)，存在實(shí)數(shù)x0,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1, x，總有f(XXiXoX2)= f(Xo) f(Xi) f(X2)恒成立。(I)求Xo的值;1(n)若f(Xo)=i,且對(duì)任意正整數(shù)n,有an=f(n) 1,，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2(川)若數(shù)列bn滿足b2?ogian1,將數(shù)列bn的項(xiàng)重新組合成新數(shù)列：q/ ,具體法則如2下：Ci二 bi,C2=b2b3,C3=b4b5b6,C4 pb?bio,求證：1 1丄川工24。C,C2C3Cn24例 9 定義在 R 上的函數(shù) f (X)滿足珂r fX( ) fy( ),f ()- = 0,且X-時(shí),2 2f (x) 0 時(shí)，0f ( x) 1。(1)求證：f(0) =1，且當(dāng) x1 ；(2)求證:f(