多元函數(shù)微積分學ppt課件

1、第八章第八章 多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)微積分學8.1 8.1 預備知識預備知識8.2 8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 8.3 偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分8.5 8.5 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值8.6 8.6 二重積分二重積分8.4 8.4 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 區(qū)域區(qū)域（1鄰域鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域（2 2區(qū)域區(qū)域8.1 8.1 預備知識預備知識平面方程平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程球面方程標準式：

2、一般式：2222000(xx )(yy )(zz )R222xyzAxByCzD0練練 習習 一一例例1 1：已知平面與：已知平面與 軸、軸、 軸、軸、 軸的截距依次軸的截距依次為為3，4，5，則平面方程為，則平面方程為。xyz例例2: 2: 球心為球心為3 3，4 4，5 5半徑為半徑為6 6的球面方的球面方程為程為。8.2 多元函數(shù)的概念一、 多元函數(shù)的定義二、 二元函數(shù)的極限 三、二元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的定義一、多元函數(shù)的定義定義定義當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)1.求下列函數(shù)的定義域練練 習

3、習 二二xyyxyxf2),(22 )3, 2(f, 那么那么2. 設設_.二、二元函數(shù)的極限說明：說明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似定義定義 . 設二元函數(shù)設二元函數(shù)( )f P定義在定義在 D 上上,00lim()()PPf Pf P 0( )f PP在在點點如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù)上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否則稱為

4、不連續(xù)否則稱為不連續(xù),0P此時此時稱為間斷點稱為間斷點 .則稱則稱 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 三、二元函數(shù)的連續(xù)性 8.3 偏導數(shù)與全微分一、 偏導數(shù)二、 全微分一、偏導數(shù)重點）一、偏導數(shù)重點）1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy(1,2)例例1 求求 在點在點處的偏導數(shù)處的偏導數(shù). yzx )1, 0( xx例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)的偏導數(shù)的偏導數(shù).解解 xz,1 yyx yzln .yxx2 2、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù)),(

5、22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義定義 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)導數(shù).解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx13323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3設設求求例4. 求函數(shù)2xyze 解解 :zx

6、22zx zy 2 zx y 2xye 22xye 2xye 22xye 的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù). 2 zy x 22xye 22zy 24xye 二、全微分概念二、全微分概念例5. 計算函數(shù)在點在點 (2,1) 處的全微分處的全微分. x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze d xe d y 例例6. 計算函數(shù)計算函數(shù)的全微分的全微分. sin2yzyuxezy ,x yyex yxe2(2)ed xd y解解: du 1(cos )d22yzyzey 1 dx dyzyez 練練 習習 三三,xyze ,zy ,zx xyz 222,zx

7、求求1 1、設、設3ln()zxy 11( , ).dz2 2、知、知,zy ,zx 求求arctan,yzx 2,.zzxx y 3 3、求求設設22,zy 考慮：多元函數(shù)連續(xù)、可導、可考慮：多元函數(shù)連續(xù)、可導、可 微三者之間的關系？微三者之間的關系？多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導 8.4 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、 鏈鎖法則 二、 隱函數(shù)求導法則一、復合函數(shù)求導法則鏈式法則）（重點）一、復合函數(shù)求導法則鏈式法則）（重點）以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù)稱為全導數(shù).dtdzzvutt

8、解解dzz duz dvdtu dtvdt sintveutcossinttetet (cossin ).tettzvuttzuvyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例9. 設 sin ,zuvt .dzdtztvuttdzdttv e (cossin )costettt z duu dt z dvvdt zt 求全導數(shù)求全導數(shù),tue cos ,vt 解解:sinut cost 練練 習習 四四練習四答案練習四答案0),()1( yxF隱函數(shù)的

9、求導公式隱函數(shù)的求導公式二、隱函數(shù)的求導法則重點）二、隱函數(shù)的求導法則重點）解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),()2( zyxF解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx .2yzFzyyFz 22arctanyxyx dydx1、設、設, 求求練練 習習 四四,.zzxy2、求由方程、求由方程 0zexyz確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)的偏導數(shù) 8.5 多元函數(shù)的極值與最值 一、 多元函數(shù)的極值與最值 二、無條件極

10、值 （重點） 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于有定義，對于該鄰域內異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .一、多元函數(shù)的極值與最值一、多元

11、函數(shù)的極值與最值(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件例例如如, 點點)0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：注意：又又

12、0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，練 習 五1、33( , )3f x yxyxy 求求的的極極值值。3、最值應用問題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內部最值存在當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個極值點且只有一個極值點P 時時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)根據(jù) 二、條件極值極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制練 習 六例1、設某廠生產兩產品，產量為 總利潤為