二次函數專題訓練(菱形的存在性)含答案(共26頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，點C的坐標為（18，0）（1）求點B的坐標；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y正半軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由2如圖，拋物線y=ax2+bx2的對稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（2，0），點P為拋物線上的一個

2、動點，過點P作PDx軸于點D，交直線BC于點E（1）求拋物線解析式；（2）若點P在第一象限內，當OD=4PE時，求四邊形POBE的面積；（3）在（2）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由【溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便探究】3如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（2，0），點C（0，8），點D是拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點

3、E，第四象限的拋物線上有一點P，將EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標4如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，作直線BC，動點P從點C出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿CB向點B運動，運動時間為t秒，當點P與點B重合時停止運動（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，當t=1時，求SACP的面積；（3）如圖3，過點P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F

4、兩點求PF的長度關于t的函數表達式，并求出PF的長度的最大值；連接CF，將PCF沿CF折疊得到PCF，當t為何值時，四邊形PFPC是菱形？5如圖，已知已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D，直線y=2x1經過拋物線上一點B（2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F（1）求m的值及該拋物線的解析式（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點P的坐標（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱

5、形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由6如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側（1）求a的值及點A，B的坐標；（2）當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數表達式；（3）當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由7已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點坐標是（，

6、），對稱軸是；（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由8.(2016 山東省威海市)如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC，CD（1）求拋物線的函數表達式；（2）E是拋物線上的點，求滿足ECD=ACO的點E的坐標；（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內拋物線上一

7、點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長9. (2012 山東省煙臺市) 如圖， 在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點，以為頂點的拋物線過點，動點從點出發(fā)，沿線段向點運動同時動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，點的運動速度均為每秒1個單位運動時間為秒，過點作交于點（1）直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點作于，交拋物線于點，當為何值時，的面積最大？最大值為多少？（3）在動點運動的過程中，當何值時，在矩形內（包括邊界）存在點，使以為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出的值10.(2012 青海省) 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(

8、3，0)，與y軸交于點，點P是直線BC下方拋物線上的動點.（1）求這個二次函數表達式；（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對折，得到四邊形，那么是否存在點P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積. 二次函數之菱形的存在性 參考答案1如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，點C的坐標為（18，0）（1）求點B的坐標；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y正半軸于點E，且OE

9、=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）過點B作BFx軸于F，在RtBCF中BCO=45，BC=12 CF=BF=12 C 的坐標為（18，0）AB=OF=6點B的坐標為（6，12）（2）過點D作DGy軸于點G，ABDG，ODGOBA，=，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8，D（4，8），E（0，4）設直線DE解析式為y=kx+b（k0）；直線DE解析式為y=x+4（3）結論：存在設直線y=x+4分別與x軸、y軸

10、交于點E、點F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4如答圖2所示，有四個菱形滿足題意菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44易知P1NF為等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42；設P1Q1交x軸于點N，則NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2，又ON=OFNF=2，Q1（2，2）；菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊此時Q2與Q1關于原點對稱，Q2（2，2）；菱形OEQ3P3，此時OE為菱形一邊此時P3與點F重合，菱形OEQ3P3為正方形，Q3（4，4）；菱形OP4EQ4，此時OE為菱形對角線由菱形性質可知，P4Q4為O

11、E的垂直平分線，由OE=4，得P4縱坐標為2，代入直線解析式y(tǒng)=x+4得橫坐標為2，則P4（2，2），由菱形性質可知，P4、Q4關于OE或y軸對稱，Q4（2，2）綜上所述，存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形；點Q的坐標為：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）2如圖，拋物線y=ax2+bx2的對稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（2，0），點P為拋物線上的一個動點，過點P作PDx軸于點D，交直線BC于點E（1）求拋物線解析式；（2）若點P在第一象限內，當OD=4PE時，求四邊形POBE的面積；（3）在（2）的條件下，若點M

12、為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由【溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便探究】【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx2的對稱軸是直線x=1，A（2，0）在拋物線上，解得：，拋物線解析式為y=x2x2；（2）令y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，當x=0時，y=2，B（4，0），C（0，2），設BC的解析式為y=kx+b，則，解得：，y=x2，設D（m，0），DPy軸，E（m，m2），P（m，m2m2），OD=4PE，m=4（m2m2m+2）

13、，m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四邊形POBE的面積=SOPDSEBD=51=；（3）存在，設M（n，n2），以BD為對角線，如圖1，四邊形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+，M（，），M，N關于x軸對稱，N（，）；以BD為邊，如圖2，四邊形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，過M作MHx軸于H，MH2+DH2=DM2，即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合題意），n2=5.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合題意，舍去），n2=4，N（5，），以BD為邊，如圖3，過M作MHx軸于H，MH2+BH2=B

14、M2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+，n2=4（不合題意，舍去），N（5+，），綜上所述，當N（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形3如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（2，0），點C（0，8），點D是拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一

15、點，當以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標【解答】解：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：a=1，c=8拋物線的解析式為y=x22x8y=（x1）29，D（1，9）（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x22x8=0，解得x=4或x=2，B（4，0）y=（x1）29，拋物線的對稱軸為x=1，E（1，0）將EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B落在拋物線的對稱軸上，EP為BEF的角平分線BEP=45設直線EP的解析式為y=x+b，將點E的坐標代入得：1+b=0，解得b=1，直線EP的解析式為y=x+1將y=x+1代入拋物線的解析式得：x+1=x22x8，

16、解得：x=或x=點P在第四象限，x=y=P（，）（3）設CD的解析式為y=kx8，將點D的坐標代入得：k8=9，解得k=1，直線CD的解析式為y=x8設直線CB的解析式為y=k2x8，將點B的坐標代入得：4k28=0，解得：k2=2直線BC的解析式為y=2x8將x=1代入直線BC的解析式得：y=6，F(xiàn)（1，6）設點M的坐標為（a，a8）當MF=MB時，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2，整理得：6a=75，解得：a=點M的坐標為（，）當FM=FB時，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2，整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5點M的坐標為（4，12）或（5，3

17、）綜上所述，點M的坐標為（，）或（4，12）或（5，3）4如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，作直線BC，動點P從點C出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿CB向點B運動，運動時間為t秒，當點P與點B重合時停止運動（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，當t=1時，求SACP的面積；（3）如圖3，過點P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點求PF的長度關于t的函數表達式，并求出PF的長度的最大值；連接CF，將PCF沿CF折疊得到PCF，當t為何值時，四邊形PFPC是菱形？【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx+4的圖象過A（1，0），B（4，0

18、）兩點，解得：拋物線的表達式為y=x2+3x+4（2）令x=0，則y=4，即點C的坐標為（0，4），BC=4設直線BC的解析式為y=kx+4，點B的坐標為（4，0），0=4k+4，解得k=1，直線BC的解析式為y=x+4當t=1時，CP=，點A（1，0）到直線BC的距離h=，SACP=CPh=（3）直線BC的解析式為y=x+4，CP=t，OE=t，設P（t，t+4），F(xiàn)（t，t2+3t+4），（0t4）PF=t2+3t+4（t+4）=t2+4t，（0t4）當t=2時，PF取最大值，最大值為4PCF沿CF折疊得到PCF，PC=PC，PF=PF，當四邊形PFPC是菱形時，只需PC=PFt=t2+4

19、t，解得：t1=0（舍去），t2=4故當t=4時，四邊形PFPC是菱形5如圖，已知已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D，直線y=2x1經過拋物線上一點B（2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F（1）求m的值及該拋物線的解析式（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點P的坐標（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由【解答】

20、解：（1）點B（2，m）在直線y=2x1上m=2（2）1=41=3，所以，點B（2，3），又拋物線經過原點O，設拋物線的解析式為y=ax2+bx，點B（2，3），A（4，0）在拋物線上，解得：拋物線的解析式為y=x2x；（2）P（x，y）是拋物線上的一點，P（x，x2x），若SADP=SADC，SADC=ADOC，SADP=AD|y|，又點C是直線y=2x1與y軸交點，C（0，1），OC=1，|x2x|=1，即x2x=1，或x2x=1，解得：x1=2+2，x2=22，x3=x4=2，點P的坐標為 P1（2+2，1）P2=（22，1），P3）2，1）；（3）結論：存在拋物線的解析式為y=x2x，

21、頂點E（2，1），對稱軸為x=2；點F是直線y=2x1與對稱軸x=2的交點，F(xiàn)（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：菱形AEM1Q1此時EM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此時DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此時EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M4Q4交于點H，則AEM4Q4，易知AEDM4EH，=，即=，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+

22、DF=+5=，t4=綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=6如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側（1）求a的值及點A，B的坐標；（2）當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數表達式；（3）當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不

23、能，請說明理由【解答】解：（1）拋物線與y軸交于點C（0，）a3=，解得：a=，y=（x+1）23當y=0時，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四邊形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=33+（+3）1+2=10從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：當直線l邊AD相交與點M1時，則S=10=3，3（y）=3y=2，點M1（2，2），過點H（1，0）和M1（2，2）的直線l的解析式為y=2x+2當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2（，2），過點H（1，0）和M2（

24、，2）的直線l的解析式為y=x綜上所述：直線l的函數表達式為y=2x+2或y=x（3）設P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過點H（1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，點M是線段PQ的中點，由中點坐標公式的點M（k1，k2）假設存在這樣的N點如圖，直線DNPQ，設直線DN的解析式為y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四邊形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k2

25、4=0， 解得k=，k0，k=，P（31，6），M（1，2），N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四邊形DMPN是平行四邊形，DM=DN，四邊形DMPN為菱形，以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為（21，1）7已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點坐標是（0，1），對稱軸是x=0（或y軸）；（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由【

26、解答】解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）（2）PAB是等邊三角形，ABO=9060=30AB=20A=4PB=4解法一：把y=4代入y=x2+1，得 x=2P1（2，4），P2（2，4） 解法二：OB=2 P1（2，4） 根據拋物線的對稱性，得P2（2，4） （3）點A的坐標為（0，2），點P的坐標為（2，4）設線段AP所在直線的解析式為y=kx+b 解得：解析式為：y=x+2設存在點N使得OAMN是菱形，點M在直線AP上，設點M的坐標為：（m，m+2）如圖，作MQy軸于點Q，則MQ=m，AQ=OQOA=m+22=m四邊形OAMN為菱形，AM=AO=2，在直角三角形AMQ

27、中，AQ2+MQ2=AM2，即：m2+（m）2=22 解得：m=代入直線AP的解析式求得y=3或1，當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：當N在右圖1位置時，OA=MN，MN=2，又M點坐標為（，3），N點坐標為（，1），即N1坐標為（，1）當N在右圖2位置時，MN=OA=2，M點坐標為（，1），N點坐標為（，1），即N2坐標為（，1）當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（，1）；第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（，1）存在N1（，1），N2（，1）N3（，1），N4（，1）使得四邊形OAMN是菱形

28、8.(2016 山東省威海市)如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（2，0），點B（4，0），點D（2，4），與y軸交于點C，作直線BC，連接AC，CD（1）求拋物線的函數表達式；（2）E是拋物線上的點，求滿足ECD=ACO的點E的坐標；（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內拋物線上一點，若以點C，M，N，P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長分析（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可（2）分點E在直線CD上方的拋物線上和點E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數求解即可；（3）分CM為菱形的邊和CM為菱形的對角線，用菱形的性質進行計算；解：（1）拋

29、物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（2，0），點B（4，0），點D（2，4），設拋物線解析式為y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，拋物線解析式為y=（x+2）（x4）=x2+x+4；（2）如圖1，點E在直線CD上方的拋物線上，記E，連接CE，過E作EFCD，垂足為F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，設線段EF=h，則CF=2h，點E（2h，h+4）點E在拋物線上，（2h）2+2h+4=h+4，h=0（舍）h=E（1，），點E在直線CD下方的拋物線上，記E，同的方法得，E（3，），點E的坐標為（1，），（3，）（3）CM為菱形的邊，如圖2，在第一象

30、限內取點P，過點P作PNy軸，交BC于N，過點P作PMBC，交y軸于M，四邊形CMPN是平行四邊形，四邊形CMPN是菱形，PM=PN，過點P作PQy軸，垂足為Q，OC=OB，BOC=90，OCB=45，PMC=45，設點P（m， m2+m+4），在RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0），C（0，4），直線BC的解析式為y=x+4，PNy軸，N（m，m+4），PN=m2+m+4（m+4）=m2+2m，m=m2+2m，m=0（舍）或m=42，菱形CMPN的邊長為（42）=44CM為菱形的對角線，如圖3，在第一象限內拋物線上取點P，過點P作PMBC，交y軸于點M，連接CP，過點M作MNCP，交BC于N，四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q，四邊形CPMN是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45，NCQ=45，PCQ=45，CPQ=PCQ=45，PQ=CQ，設點P（n， n