6-3-1_工程問(wèn)題(教師版)

1、工程問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1. 熟練掌握工程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；2. 工程問(wèn)題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會(huì)分段處理；3. 根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；4. 工程問(wèn)題中的常見(jiàn)解題方法以及工程問(wèn)題算術(shù)方法在其他類(lèi)型題目中的應(yīng)用知識(shí)精講工程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問(wèn)題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來(lái)比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一 工程問(wèn)題的基本概念定義 ： 工程問(wèn)題是指用分?jǐn)?shù)來(lái)解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效

2、率之間相互關(guān)系的問(wèn)題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作總量÷工作效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識(shí)，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； 在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用； 學(xué)會(huì)畫(huà)線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們?cè)趶?fù)雜的條件與問(wèn)題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷

3、和推理； 學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思考問(wèn)題的方法分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法因此，在解題過(guò)程中，要善于掌握對(duì)應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開(kāi)拓解題思路三、利用常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開(kāi)“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問(wèn)題答案一般情況下，工程問(wèn)題求的是時(shí)間例題精講模塊一、工程問(wèn)題基本題型【例 1】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，乙單獨(dú)做需要天時(shí)間，如果甲、乙合作需要多少時(shí)間？【解

4、析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的，乙每天完成總量的，兩人合作每天能完成總量的，所以兩人合作的話，需要天能夠完成【例 2】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，甲、乙合作需要天時(shí)間，如果乙單獨(dú)做需要多少時(shí)間？【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的，甲、乙合作每天完成總量的，乙單獨(dú)做每天能完成總量的，所以乙單獨(dú)做天能完成【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，甲、乙合作需要天時(shí)間，如果乙單獨(dú)做需要多少時(shí)間？【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的，甲、乙合作每天完成總量的，乙單獨(dú)做每天能完成總

5、量的，所以乙單獨(dú)做28天能完成【例 3】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)可以完成任務(wù)如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè)? 【解析】 乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做時(shí)所以乙每小時(shí)加工零件(個(gè))，則小時(shí)加工(個(gè))，所以乙一共加工零件420+60480(個(gè))【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】 共做了6天后，原來(lái)，甲做 24天，

6、乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是天如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是天；甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.【鞏固】 （難度等級(jí) ）某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？【解析】 先對(duì)比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的，甲先單

7、獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做天因此，乙還要做28+28= 56 （天），乙還需要做 56天.【例 4】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙單獨(dú)做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？【解析】 如果將整個(gè)工程的工作量看做單位“1”，從條件中我們很容易看出： 甲乙， 乙丙， 乙因此不難得到丙的工作效率為，因此三個(gè)人的工作效率之和為，也就是說(shuō)，三個(gè)人合作需要12天可以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效但是這樣做比較麻煩，事實(shí)上只要將甲乙工效和加上丙的工效就

8、可以了【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙單獨(dú)做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？【解析】 法一：和上題類(lèi)似，我們可以有：甲乙， 乙丙， 丙不難求得，乙的工作效率為，因此甲的工作效率為，從而甲丙合作的工作效率為，即甲丙合作12天能完成。法二：仍然觀察上面那三個(gè)等式，我們能否不求出每個(gè)人的工作效率，而同過(guò)整體的運(yùn)算直接得到“甲 +丙”的值呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：，也就是說(shuō)：，所以甲丙合作天能完成?！眷柟獭?（難度等級(jí) ）一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天

9、完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？【解析】 設(shè)這件工作的工作量是1。甲乙兩人合作每天完成，甲丙兩人合作每天完成，乙丙兩人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成，甲獨(dú)做需要天答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、.對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，甲、丁合作的工作效率為所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程【鞏固】 （難度

10、等級(jí) ）一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【解析】 方法一：對(duì)于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率為那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1÷=48天。方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=÷2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為那么丙單獨(dú)工作的工作效率為，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天【例 5】 （難度等級(jí) ）一池水，甲、乙兩

11、管同時(shí)開(kāi)，5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)灌滿現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能灌滿乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以灌滿？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)灌滿”，我們可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí)，第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開(kāi)，第二個(gè)2小時(shí)和丙同時(shí)開(kāi)，第三個(gè)2小時(shí)乙管單獨(dú)開(kāi)這樣就變成了甲、乙同時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙、丙同時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙單獨(dú)開(kāi)2小時(shí)，正好灌滿一池水可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為，所以乙的工作效率為：，所以整池水由乙管單獨(dú)灌水，需要（小時(shí)）【例 6】 （難度等級(jí) ）(2007年四中考題)某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水

12、，單開(kāi)甲管需12小時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需24小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，且甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)的時(shí)間盡量少，那么甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放 小時(shí)【解析】 要想同時(shí)開(kāi)的時(shí)間最小，則根據(jù)工效，讓甲“滿負(fù)荷”地做，才可能使得同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間最小所以，乙開(kāi)放的時(shí)間為(小時(shí))，即甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放4小時(shí)【例 7】 （難度等級(jí) ）一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi)8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？【解析】 先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4 × 60= 240（立

13、方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來(lái)水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.所以打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54

14、分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.【例 8】 （難度等級(jí) ）有10根大小相同的進(jìn)水管給、兩個(gè)水池注水，原計(jì)劃用4根進(jìn)水管給水池注水，其余6根給水池注水，那么5小時(shí)可同時(shí)注滿因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根進(jìn)水管給水池注水，結(jié)果也是同時(shí)注滿(1)如果用10根進(jìn)水管給漏水的水池注水，需要多少分鐘注滿?(2)如果增加4根同樣的進(jìn)水管，水池仍然漏水，并且要求在注水過(guò)程中每個(gè)水池的進(jìn)水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個(gè)水池注滿最少需要多少分鐘?(結(jié)果四舍五入到個(gè)位)【解析】 設(shè)每只進(jìn)水管的工效為“1”，

15、那么A池容量為4×5=20，B池容量為6×5=30當(dāng)用5根進(jìn)水管給B池灌水時(shí)需30÷5=6小時(shí)，而在6小時(shí)內(nèi)5只其水管給A池也是灌有30的水，所以漏了3020=10，因此漏水的工效為(1)用10根進(jìn)水管給漏水的A池灌水，那么需 (2)設(shè)A池需根，那么B池需14根，有所以有化簡(jiǎn)解得所以A池用7根或6根進(jìn)水管，此時(shí)對(duì)應(yīng)所需時(shí)間，分別為：當(dāng)A池用7根進(jìn)水管時(shí)：A：7根水管，需時(shí)間小時(shí)=225分鐘；B：7根水管，需時(shí)間小時(shí)257分鐘此時(shí)要把兩個(gè)水池注滿最少需要257分鐘；當(dāng)A池用6根進(jìn)水管時(shí)：A：6根水管，需時(shí)間小時(shí)277分鐘；B：8根水管，需時(shí)間30÷8=小時(shí)

16、=225分鐘此時(shí)要把兩個(gè)水池注滿最少需要277分鐘所以，要把兩個(gè)水管都注滿，最少需257分鐘，7根水管注A池，7根水管注B池【例 9】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩輛清潔車(chē)執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)甲車(chē)單獨(dú)清掃需10小時(shí)，乙車(chē)單獨(dú)清掃需15小時(shí)，兩車(chē)同時(shí)從東、西城相向開(kāi)出，相遇時(shí)甲車(chē)比乙車(chē)多清掃12千米問(wèn)：東、西兩城相距多少千米？【解析】 法一：先求出甲、乙相遇的時(shí)間：小時(shí)；甲清掃全長(zhǎng)的，乙清掃了全部的；所以東、西兩城相距千米 法二：因?yàn)闀r(shí)間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時(shí)甲、乙清掃的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米【例 10】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要天，乙單獨(dú)

17、完成需要天若甲先做若干天后乙接著做，共用天完成，問(wèn)甲做了幾天？【解析】 根據(jù)題意可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，采用雞兔同籠問(wèn)題的假設(shè)法，可知甲做了天【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做天可以完成，甲隊(duì)做了天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做天完成問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？【解析】 方法一：甲的工作效率為，甲隊(duì)8天的工作量為，所以乙隊(duì)15天的工作量為，乙的工作效率為，所以乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要天方法二：此題可以用代換法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲的，乙獨(dú)做的時(shí)間為（天）。【例 11】 （難度等級(jí) ）（2009年十三分小升初入學(xué)測(cè)試題）一項(xiàng)

18、工程，甲單獨(dú)做40天完成，乙單獨(dú)做60天完成現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經(jīng)過(guò)了27天才完成問(wèn)甲休息了幾天？【解析】 法一：在整個(gè)過(guò)程中，乙沒(méi)有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的，還有是甲做的，所以甲干了（天），休息了（天）法二：假設(shè)中間甲沒(méi)有休息，則兩人合作27天，應(yīng)完成全部工程的，超過(guò)了單位“1”的，則甲休息了（天）【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做天完成，乙單獨(dú)做天完成甲、乙合作了幾天后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了天乙請(qǐng)假多少天？ 【解析】 法一：甲一共干了天，完成了全部工程的，還有是乙做的，所以乙干了(天)，休息了(天)，請(qǐng)假天數(shù)為：(天

19、) 法二：假設(shè)乙沒(méi)有請(qǐng)假，則兩人合作天，應(yīng)完成全部工程的，超過(guò)了單位“1”的，則乙請(qǐng)假(天)【鞏固】 （難度等級(jí) ）有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中途甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成?【解析】 甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為 6天完成的工程量為 ，而實(shí)際6天完成了的工程量為1，即甲隊(duì)少做了，甲隊(duì)完成超過(guò)單位“1”，甲沒(méi)有干的天數(shù)：，(天)，即當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又合修了6-1=5天【例 12】 （難度等級(jí) ）(2007年十一學(xué)?？碱})有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，

20、乙單獨(dú)做需要30天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天那么丙休息了 天【解析】 設(shè)甲、乙工作了天，丙工作了天，則有：，化簡(jiǎn)得由于和720都是15的倍數(shù)，所以也是15的倍數(shù)，而，所以，所以丙休息了天【例 13】 （難度等級(jí) ）一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=

21、6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。天說(shuō)明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成這項(xiàng)工作用了20天.解法二：本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了天?！纠?14】 (2007年人大附中考題)一些工人做一項(xiàng)工程，如果能調(diào)來(lái)16人，那么10天可以完成；如果只調(diào)來(lái)4人，就要20天才能完成，那么調(diào)走2人后，完成這項(xiàng)工程需要 天【解析】 設(shè)1個(gè)人做1天的量為1，設(shè)原來(lái)有人在做這項(xiàng)工程，得：，解得：如果調(diào)走2人，需要(天)模塊二

22、、工程問(wèn)題變速問(wèn)題【例 15】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元實(shí)際上從第5天開(kāi)始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得960元那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？【解析】 開(kāi)始時(shí)甲隊(duì)拿到元，甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比，即為；甲提高工效后，甲、乙總的工資及工效比為設(shè)甲開(kāi)始時(shí)的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高工效后還需天才能完成任務(wù)有，化簡(jiǎn)為，解得工程總量為，所以原計(jì)劃天完成【例 16】 （難度等級(jí) ）(人大附中考題)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高，乙的

23、工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高甲、乙兩人合作小時(shí)，完成全部工作的，第二天乙又單獨(dú)做了小時(shí)，還留下這件工作的尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？【解析】 乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，單獨(dú)由甲做需要：(小時(shí))【例 17】 （難度等級(jí) ）（2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題、2009年第七屆“希望杯”六年級(jí)第2試）甲、乙兩人合作清理400米環(huán)形跑道上的積雪，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向而行各自進(jìn)行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分鐘去換工具，而后工作效率比原來(lái)提高了一倍，結(jié)果從開(kāi)始算起，經(jīng)過(guò)1小時(shí)，就完成了清理積雪的工作，并且兩人清理的跑道一樣長(zhǎng)，問(wèn)乙換了工具后又工作

24、了多少分鐘？【解析】 法一：直接求首先求出甲的工作效率，甲個(gè)小時(shí)完成了米的工作量，因此每分鐘完成（米），開(kāi)始的時(shí)候甲的速度比乙快，也就是說(shuō)乙開(kāi)始每分鐘完成為（米），換工具之后，工作效率提高一倍，因此每分鐘完成（米），問(wèn)題就變成了，乙分鐘掃完了米的雪，前若干分鐘每分鐘完成米，換工具之后的時(shí)間每分鐘完成了米，求換工具之后的時(shí)間。這是一個(gè)雞兔同籠類(lèi)型的問(wèn)題，我們假設(shè)乙一直都是每分鐘掃米，那么分鐘應(yīng)該能掃（米），比實(shí)際少了（米），這是因?yàn)閾Q工具后每分鐘多掃了（米），因此換工具后的工作時(shí)間為（分鐘）.法二：其實(shí)這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中的米是一個(gè)多余條件，我們只需要根據(jù)甲乙兩人工作量相同和他們之間的工作效率之比就可以

25、求出這個(gè)問(wèn)題的答案。我們不妨設(shè)乙開(kāi)始每分鐘清理的量為，甲比他快，甲每分鐘可以清理，分鐘之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作總量相同，也是份，但是乙之前的工作效率為，換工具后的工作效率為，和（法一）相同的，利用雞兔同籠的思想，可以得到乙換工具后工作了分鐘?！纠?18】 （難度等級(jí) ）（2009年十三分小升初入學(xué)測(cè)試題）甲、乙兩人同時(shí)加工同樣多的零件，甲每小時(shí)加工40個(gè)，當(dāng)甲完成任務(wù)的時(shí)，乙完成了任務(wù)的還差40個(gè)這時(shí)乙開(kāi)始提高工作效率，又用了小時(shí)完成了全部加工任務(wù)這時(shí)甲還剩下20個(gè)零件沒(méi)完成求乙提高工效后每小時(shí)加工零件多少個(gè)？【解析】 當(dāng)甲完成任務(wù)的時(shí)，乙完成了任務(wù)的還差40個(gè)，這時(shí)乙比甲少

26、完成40個(gè)；當(dāng)乙完成全部任務(wù)時(shí)，甲還剩下20個(gè)零件沒(méi)完成，這時(shí)乙比甲多完成20個(gè)；所以在后來(lái)的小時(shí)內(nèi)，乙比甲多完成了個(gè)，那么乙比甲每小時(shí)多完成個(gè)所以提高工效后乙每小時(shí)完成個(gè)【例 19】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來(lái)完成在晴天，一隊(duì)完成甲工作要12天，二隊(duì)完成乙工程要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下降，二隊(duì)的工作效率要下降結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成工作，問(wèn)工作時(shí)間內(nèi)下了多少天雨？【解析】 在晴天，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為和，一隊(duì)比二隊(duì)的工作效率高；在雨天，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為和，二隊(duì)的工作效率比一隊(duì)高由知，3個(gè)晴天5個(gè)雨天，兩個(gè)隊(duì)的工作進(jìn)程相同，此時(shí)完成了工程的，所以在施工期間，

27、共有6個(gè)晴天10個(gè)雨天方法二：本題可以用方程的方法，在方程解應(yīng)用題中會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)。【例 20】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原來(lái)的，乙只能完成原來(lái)的現(xiàn)在要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少天?【解析】 因?yàn)榧妆纫业墓ぷ餍矢?，又要求合做的天?shù)盡可能的少，所以除了兩人合作之外，其余工程應(yīng)由甲單獨(dú)完成現(xiàn)設(shè)兩人合作天，則甲單獨(dú)做8-天，于是得到方程(×80+×90) ×+×(8-)=l，解出=5.所以，在滿足條件下，兩人至少要合作5天【例 21】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)挖土

28、萬(wàn)工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，16天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要20天能完成現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)施工，工作效率提高20當(dāng)工程完成時(shí)，突然遇到了地下水，影響了施工進(jìn)度，使得每天少挖了47.25方土，結(jié)果共用了10天完成工程問(wèn)整工程要挖多少方土?【解析】 甲、乙合作時(shí)工作效率為(+)×(1+20%)=則的工程量需÷= (天)，則遇到地下水后，甲、乙兩隊(duì)又工作了10-=(天)則此時(shí)甲、乙合作的工作效率為÷=遇到地下水前后工作效率的差為: -=，則總工作量為47.25÷=1100方土.【例 22】 （難度等級(jí) ）（2009年第七屆“希望杯”六年級(jí)第1試）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別負(fù)責(zé)兩項(xiàng)

29、工程晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分別是晴天時(shí)的和實(shí)際情況是兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工、同時(shí)完工那么在施工期間，下雨的天數(shù)是 天【解析】 在晴天，甲、乙兩隊(duì)的工作效率分別為和，甲隊(duì)比乙隊(duì)的工作效率高； 在雨天，甲隊(duì)、乙隊(duì)的工作效率分別為和，乙隊(duì)的工作效率比甲隊(duì)高由于兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工、同時(shí)完工，完成工程所用的時(shí)間相同，所以整個(gè)施工期間，晴天與雨天的天數(shù)比為如果有8個(gè)晴天，則甲共完成工程的，而實(shí)際的工程量為1，所以在施工期間，共有個(gè)晴天，個(gè)雨天模塊三、工程問(wèn)題方法與技巧（一）整體分析法【例 23】 （難度等級(jí) ）甲、乙兩隊(duì)合作挖一條水渠要天完成，若甲隊(duì)先挖天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)

30、挖天，共挖了這條水渠的如果這條水渠由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)挖，各需要多少天？【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)甲隊(duì)先做天，比合作少了(天)；乙隊(duì)后做天，比合作多了(天)，所以甲隊(duì)做天相當(dāng)于乙隊(duì)做天，甲、乙兩隊(duì)工作效率的比是甲隊(duì)單獨(dú)工作需要：(天)；乙隊(duì)單獨(dú)工作需要：(天)。法二：我們知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而題目中給定的“甲隊(duì)先挖天，再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天”，相當(dāng)于甲乙兩隊(duì)先合作天，然后再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天，于是兩隊(duì)合作天，可以完成工程的，也就是說(shuō)乙隊(duì)天挖了，于是乙隊(duì)的工作效率為，那么甲隊(duì)的工作效率就是，即甲隊(duì)單獨(dú)做需要天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要天。工程問(wèn)題里面也經(jīng)常用到比例，是因?yàn)楣こ虇?wèn)題的

31、基本數(shù)量關(guān)系是乘法關(guān)系其實(shí)這一點(diǎn)是與工程習(xí)慣無(wú)關(guān)的【例 24】 （難度等級(jí) ）（2008年第六屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)第二試，第8題）甲、乙、丙三人生產(chǎn)一批玩具，甲生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是乙、丙二人生產(chǎn)個(gè)數(shù)之和的，乙生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是甲、丙兩人生產(chǎn)個(gè)數(shù)之和的，丙生產(chǎn)了50個(gè)。這批玩具共有_個(gè).【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之間的關(guān)系，可能會(huì)略顯復(fù)雜，我們需要引入一個(gè)中間量：甲乙丙三人生產(chǎn)玩具數(shù)量的總和。甲是乙丙和的，則總和為，甲占了份，甲占了總數(shù)的；乙是甲丙和的，同理可知乙占了總數(shù)的，那么可知丙生產(chǎn)的玩具占總數(shù)的，所以總數(shù)是（個(gè)）.【例 25】 （難度等級(jí) ）(2008年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題)幾個(gè)同學(xué)

32、去割兩塊草地的草，甲地面積是乙地面積的4倍，開(kāi)始他們一起在甲地割了半天，后來(lái)留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，這樣又割了半天，甲、乙兩地的草同時(shí)割完了，問(wèn)：共有多少名學(xué)生？【解析】 有12人全天都在甲地割草，設(shè)有人上午在甲地，下午在乙地割草由于這人在下午能割完乙地的草(甲地草的)，所以這些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割草為，全部的草為甲地草的，所以共有20名學(xué)生【鞏固】 （難度等級(jí) ）一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的倍，下午這批工人中有的人去甲工地其他工人到乙工地到傍晚時(shí)，甲工地的

33、工作已做完，乙工地的工作還需名工人再做天，那么這批工人有多少人？【解析】 根據(jù)題意，這批工人的人數(shù)是12的倍數(shù)，設(shè)這批工人有人那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地所以甲工地相當(dāng)于人做了一整天；乙工地相當(dāng)于人做了一整天由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，假設(shè)甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份人做一整天完成3份，那么人做一整天完成份，所以乙工地還剩下份這份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，可得，那么這批工人有(人)【例 26】 （難度等級(jí) ）（2009年第七屆“希望杯”六年級(jí)第2試）有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)，搬運(yùn)完其中一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲

34、需要6小時(shí)，乙需要7小時(shí)，丙需要14小時(shí)甲、乙同時(shí)開(kāi)始各搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，開(kāi)始時(shí)，丙先幫甲搬運(yùn)，后來(lái)又去幫乙搬運(yùn)，最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物同時(shí)搬完則丙幫甲 小時(shí)，幫乙 小時(shí)【解析】 整個(gè)搬運(yùn)的過(guò)程，就是甲、乙、丙三人同時(shí)開(kāi)始同時(shí)結(jié)束，共搬運(yùn)了兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，所以它們完成工作的總時(shí)間為小時(shí)在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙各自在某一個(gè)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)搬運(yùn)，丙則在兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)都搬運(yùn)過(guò)甲完成的工作量是，所以丙幫甲搬了的貨物，丙幫甲做的時(shí)間為小時(shí)，那么丙幫乙做的時(shí)間為小時(shí)【鞏固】 （難度等級(jí) ）搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需小時(shí)，乙需小時(shí)，丙需小時(shí)有同樣的倉(cāng)庫(kù)和，甲在倉(cāng)庫(kù)，乙在倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫乙搬運(yùn)，最后

35、同時(shí)搬完兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物丙幫助甲、乙各搬運(yùn)了幾小時(shí)？【解析】 甲、乙、丙搬完兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共用了：小時(shí)，丙幫助甲搬運(yùn)了小時(shí)，丙幫助乙搬運(yùn)了小時(shí)【例 27】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三隊(duì)要完成，兩項(xiàng)工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成工程所需要的時(shí)間分別是天，天，天現(xiàn)在讓甲隊(duì)做工程，乙隊(duì)做工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做工程若干天，然后再與甲隊(duì)合做工程若干天問(wèn)丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天？【解析】 這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中有兩個(gè)不同的工程，三個(gè)不同的人，因此顯得很難解決，數(shù)學(xué)中化歸的思想很重要，即以一個(gè)為基準(zhǔn)，把其他的量轉(zhuǎn)化為這個(gè)量，然后進(jìn)行計(jì)算，我們不妨設(shè)工程的工作總量為

36、單位“1”，那么工程的工作量就是“”，那么這個(gè)問(wèn)題就和例聯(lián)系到了一起了。三隊(duì)合作完成兩項(xiàng)工程所用的天數(shù)為：天。天里，乙隊(duì)一直在完成工作，因此乙的工作量為，剩下的工作量應(yīng)該是由丙完成，因此丙在工程上用了天也就是說(shuō)兩隊(duì)合作了天。解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率工作時(shí)間工作總量，表示出各個(gè)工程隊(duì)(人員)或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率【例 28】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三人同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量相同的倉(cāng)庫(kù)工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí)第二天三人又到兩個(gè)大倉(cāng)庫(kù)工作，這兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作量相同甲在倉(cāng)庫(kù)，乙在倉(cāng)庫(kù)，丙先幫甲后幫乙，用了16個(gè)小時(shí)將兩個(gè)倉(cāng)

37、庫(kù)同時(shí)搬完丙在倉(cāng)庫(kù)搬了多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】 因?yàn)?、兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一個(gè)大倉(cāng)庫(kù)工作，那么8小時(shí)可以搬完因?yàn)榧?、乙、丙三人每小時(shí)的工作量的比是，所以甲每小時(shí)可以完成大倉(cāng)庫(kù)工作量的，丙每小時(shí)可以完成大倉(cāng)庫(kù)工作量的那么甲16小時(shí)完成了倉(cāng)庫(kù)的，丙在倉(cāng)庫(kù)搬了小時(shí)【例 29】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用半天完工問(wèn)：甲單獨(dú)做需要幾天？【解析】 甲、乙輪流做，如果是偶數(shù)天完成，那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成，且等于甲、乙輪流做的天數(shù)

38、，與題意不符；所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲輪流做比甲、乙輪流做多用半天，這半天是甲做的如果設(shè)甲、乙工作效率分別為和，那么，所以，乙單獨(dú)做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲單獨(dú)做需要天【例 30】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，兩人如此交替工作，請(qǐng)問(wèn)：完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？【解析】 若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？ （小時(shí)） 甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？ 余下的由甲獨(dú)做需要多少小時(shí)？ （小時(shí)） 共用了多少小時(shí)？ （小時(shí)）在工程問(wèn)題中，轉(zhuǎn)換條件是常用手法本

39、題中，甲做1小時(shí)，乙做1小時(shí)，相當(dāng)于他們合作1小時(shí)，也就是每2小時(shí)，相當(dāng)于兩人合做1小時(shí)這樣先算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小時(shí)，余下部分問(wèn)題就好解決了【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工程，甲單獨(dú)做要小時(shí)，乙單獨(dú)做要小時(shí)，如果接甲、乙、甲、乙順序交替工作，每次小時(shí)，那么需要多長(zhǎng)時(shí)間完成？【解析】 甲小時(shí)完成整個(gè)工程的，乙小時(shí)完成整個(gè)工程的，交替干活時(shí)兩個(gè)小時(shí)完成整個(gè)工程的，甲、乙各干小時(shí)后完成整個(gè)工程的，還剩下，甲再干小時(shí)完成整個(gè)工程的，還剩下，乙花小時(shí)即分鐘即可完成所以需要小時(shí)分鐘來(lái)完成整個(gè)工程【鞏固】 （難度等級(jí) ）規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后

40、再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？【解析】 根據(jù)題意，有：，可知，甲做小時(shí)與乙做小時(shí)的工作量相等，故甲工作2小時(shí)，相當(dāng)于乙1小時(shí)的工作量所以，乙單獨(dú)工作需要小時(shí)【鞏固】 （難度等級(jí) ）蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管要灌滿一池水，單開(kāi)進(jìn)水管需小時(shí)；排光一池水，單開(kāi)排水管需小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，排水，進(jìn)水，排水的順序輪流各開(kāi)小時(shí)問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排完？(精確到分鐘)【解析】 法一：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多，說(shuō)明排水開(kāi)了小時(shí)后（實(shí)際加上進(jìn)水3小時(shí)，

41、已經(jīng)過(guò)去小時(shí)了），水池還剩一池子水的，再過(guò)小時(shí)，水池里的水為一池子水的，把這些水排完需要小時(shí)，不到1小時(shí)，所以共需要 小時(shí)小時(shí)分法二：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多，說(shuō)明小時(shí)以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，排一池子需要小時(shí)，排一池子水的需要小時(shí)，所以實(shí)際需要小時(shí)小時(shí)分【鞏固】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙合作小時(shí)可以完成，若第小時(shí)甲做，第小時(shí)乙做，這樣交替輪流做，恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第小時(shí)乙做，第小時(shí)甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多小時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成？【解析】 若第一種做法的最后一小時(shí)是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個(gè)小時(shí)，那么第二種做法中甲、乙用的時(shí)

42、間應(yīng)與第一種做法相同，不會(huì)多小時(shí)，與題意不符所以第一種做法的最后一小時(shí)是甲做的，第二種做法中最后小時(shí)是甲做的，而這小時(shí)之前的一小時(shí)是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲甲、乙工作效率之和為：，甲的工作效率為：， 所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為(小時(shí))【例 31】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙3隊(duì)要完成A，B兩項(xiàng)工程B工程的工作量比A工程的工作量多甲、乙、丙3隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天.為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)共同做B工程；經(jīng)過(guò)幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A工程那么，丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天?【解析】 設(shè)A項(xiàng)工程的工程總量為“1”，那么B工程的工程總量為，A、B兩項(xiàng)

43、工程的工程總量為1+=而甲、乙、丙合作時(shí)的工作效率為+=，甲、乙、丙始終在同時(shí)工作，所以兩項(xiàng)工程同時(shí)完成時(shí)所需的時(shí)間為÷=18(天)在這18天，乙完成18×=的工程量，則B工程中剩下的-=的工程量是由丙幫助完成，即÷=15(天)即丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了15天【例 32】 （難度等級(jí) ）蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需小時(shí)，單開(kāi)丙管需要小時(shí)，要排光一池水，單開(kāi)乙管需要小時(shí)，單開(kāi)丁管需要小時(shí)，現(xiàn)在池內(nèi)有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的順序輪流打開(kāi)小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？【解析】 甲乙丙丁順序循環(huán)各開(kāi)小時(shí)可進(jìn)水：，循環(huán)次

44、后水池還空：，的工作量由甲管注水需要：(小時(shí))，所以經(jīng)過(guò)小時(shí)后水開(kāi)始溢出水池【例 33】 （難度等級(jí) ）一件工程甲單獨(dú)做小時(shí)完成，乙單獨(dú)做小時(shí)完成現(xiàn)在甲先做小時(shí)，然后乙做小時(shí)，再由甲做小時(shí)，接著乙做小時(shí)兩人如此交替工作，完成任務(wù)共需多少小時(shí)？【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分別為：，此時(shí)剩下的工作量為還需甲做(小時(shí))，所以共需(小時(shí))【例 34】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做完，若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則也比原計(jì)劃多用半天已知甲單獨(dú)做完這件工作要天，且三個(gè)人的工作效

45、率各不相同，那么這項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【解析】 首先應(yīng)確定按每一種順序去做的時(shí)候最后一天由誰(shuí)來(lái)完成如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的順序和丙、甲、乙的順序去做時(shí)用的天數(shù)將都與按甲、乙、丙的順序做用的天數(shù)相同，這與題意不符；如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的順序去做，最后由甲做了半天來(lái)完成，這樣有，可得；而按丙、甲、乙的順序去做，最后由乙做了半天來(lái)完成，這樣有，可得那么，即甲、乙的工作效率相同，也與題意不合所以按甲、乙、丙的順序去做，最后一天是由甲完成的那么有，可得，這項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要用天【

46、例 35】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三人完成一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用天；若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用天已知甲單獨(dú)完成這件工作需天問(wèn)：甲、乙、丙一起做這件工作，完成工作要用多少天？【解析】 以甲、乙、丙各工作一天為一個(gè)周期，即3天一個(gè)周期容易知道，第一種情況下一定不是完整周期內(nèi)完成，但是在本題中，有兩種可能，第一種可能是完整周期天，第二種可能是完整周期天如果是第一種可能，有，得然而此時(shí)甲、乙、丙的效率和為，經(jīng)過(guò)4個(gè)周期后完成，還剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即

47、所得到的結(jié)果與假設(shè)不符，所以假設(shè)不成立再看第二種可能：完整周期不完整周期完成總工程量第一種情況個(gè)周期甲1天，乙1天“1”第二種情況個(gè)周期乙1天，丙1天，甲天“1”第三種情況個(gè)周期丙1天，甲1天，乙天“1”可得，所以，因?yàn)榧讍为?dú)做需天，所以工作效率為，于是乙的工作效率為，丙的工作效率為于是，一個(gè)周期內(nèi)他們完成的工程量為則需個(gè)完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成所以第二種可能是符合題意的于是，根據(jù)第二種可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天（二）等量代換法【例 36】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要

48、多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？【解析】 丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要天【例 37】 （難度等級(jí) ）抄一份書(shū)稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成

49、書(shū)稿的，又已知甲每天抄寫(xiě)量等于乙、丙兩人每天抄寫(xiě)量之和，因此甲兩天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即甲每天抄寫(xiě)書(shū)稿的；由于丙抄寫(xiě)5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫(xiě)書(shū)稿的，即丙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的；于是可知乙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的-.所以乙一人單獨(dú)抄寫(xiě)需要1÷=24天才能完成【例 38】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做天完成，甲天的工作量，乙要天完成兩隊(duì)合做天后由乙隊(duì)獨(dú)做，還要幾天才能完成？【解析】 法一：我們把工程看作兩個(gè)人分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整個(gè)工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的，因此甲4天完成的量，乙需要天完成，

50、除去與甲合作的2天以外，乙還要做天。法二：甲的工作效率為，所以乙的工作效率為兩隊(duì)合作2天后乙隊(duì)獨(dú)做還要天才能完成【例 39】 （難度等級(jí) ）打印一份書(shū)稿，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成甲、乙兩人合做需要幾天完成？【解析】 根據(jù)“甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成這項(xiàng)工作甲、乙所用的時(shí)間比是另外，由于甲、乙單獨(dú)做，乙用的時(shí)間比甲多天，所以乙獨(dú)做需要的天數(shù)是：(天)，甲獨(dú)做需

51、要(天)，甲、乙合做需要(天)【例 40】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可以完成如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【解析】 本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需要(天)完成，即乙的工作效率是又因?yàn)橐夜ぷ?天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，為，那么甲、乙合作完成這一工程需要的時(shí)間

52、為(天)【鞏固】 （難度等級(jí) ）一件工作甲先做小時(shí)，乙接著做小時(shí)可以完成；甲先做小時(shí)，乙接著做小時(shí)也可以完成如果甲做小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？【解析】 根據(jù)題意可知，甲做小時(shí)的工作量等于乙做小時(shí)的工作量， 可見(jiàn)甲做1小時(shí)的工作量等于乙做3小時(shí)的工作量那么可以用乙做3小時(shí)來(lái)代換甲做1小時(shí)，可知乙完成全部工作需要小時(shí)，甲先做的3小時(shí)相當(dāng)于乙做了9小時(shí)，所以乙還需要小時(shí)【鞏固】 （難度等級(jí) ）一份文件，如果甲抄10小時(shí)，乙抄10小時(shí)可以抄完；如果甲抄8小時(shí)，乙抄13小時(shí)也可以抄完現(xiàn)在甲先抄2小時(shí)，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時(shí)才能完成？【解析】 由題意可知，甲、乙合作的效率為；將甲抄8小

53、時(shí)，乙抄13小時(shí)，轉(zhuǎn)化為甲乙和抄8小時(shí)，乙單獨(dú)抄5小時(shí)，則乙單獨(dú)工作的效率為， 所以甲單獨(dú)工作的效率甲、乙兩人的工作效率之比為甲先抄2小時(shí)，這2小時(shí)的工作量如果兩人合作，需要小時(shí)，所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要小時(shí)【例 41】 （難度等級(jí) ）(2008年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)一項(xiàng)工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成時(shí)前來(lái)幫忙，待工程完成時(shí)離去，結(jié)果恰按計(jì)劃完成任務(wù)，其中乙做了工程總量的一半如果沒(méi)有丙的參與，僅由乙接替甲后一直做下去，將比計(jì)劃推遲天完成；如果全由甲單獨(dú)做，則可比計(jì)劃提前天完成還知道乙的工作效率是丙的倍，問(wèn)：計(jì)劃規(guī)定的工期是多少天？【解析】 丙在工程完成一半

54、時(shí)前來(lái)幫忙，待工程完成時(shí)離去，所以乙、丙合做了全部工程的；如果丙不來(lái)幫忙，這的工程由乙獨(dú)做，那么乙完成這的工程時(shí)間將比乙、丙合做多用天由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和為乙獨(dú)做的倍，那么乙獨(dú)做所用的時(shí)間為乙、丙合做所用時(shí)間的倍，所以乙、丙合做這的工程所用的時(shí)間為天那么乙的工效為由于在丙來(lái)幫忙的情況下乙共做了工程總量的一半，所以乙工作的天數(shù)為天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后兩段)乙一個(gè)人獨(dú)做那么乙、丙共完成了全部工程的，根據(jù)題意，這的工程如果由甲獨(dú)做，只需要天，那么甲的工效為甲完成全部工程需要24天由于全部由甲獨(dú)做可比計(jì)劃提前6天完成，所以原計(jì)劃工期是天（

55、三）比例法【例 42】 （難度等級(jí) ）一批零件平均分給甲、乙兩人同時(shí)加工，兩人工作小時(shí)，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時(shí)才能完成分配的任務(wù)？【解析】 乙小時(shí)完成總工作量的；乙每小時(shí)完成總工作量的；乙需要完成的總工作量為；乙要完成這個(gè)任務(wù)還需要的時(shí)間：（小時(shí)）【例 43】 （難度等級(jí) ）一項(xiàng)工程，甲15天做了后，乙加入進(jìn)來(lái)，甲、乙一起又做了，這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個(gè)過(guò)程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1，問(wèn)題中情形下做完整個(gè)工程需多少天? 【解析】 方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：；且易知甲的工作效率為又乙、丙工作的天數(shù)

56、之比為(+)：=2：1，所以有階段和階段所需的時(shí)間相等即甲、乙合作完成的的工程與甲、乙、丙合作完成的工程所需的時(shí)間相等所以對(duì)于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比為3：5易知乙的工作效率為丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.方法二：顯然甲的工作效率為設(shè)乙的工作效率為，那么丙的工作效率為所以有乙工作的天數(shù)為丙工作的天數(shù)為且有即解得所以乙的工作效率為丙的工作效率為高那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.【例 44】 （難度等級(jí) ）甲、乙、丙三村準(zhǔn)備合作修筑一條公路，他們?cè)?jì)劃按派工，后因丙村不出工，將他承擔(dān)的任務(wù)由甲、乙兩村分擔(dān)，由丙村出工資360元，結(jié)果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路