知識講解直線與拋物線的位置關(guān)系基礎(chǔ)

1、直線與拋物線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求拋物線的方程；2. 能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn)線）解決相關(guān)問題；3. 能夠把直線與拋物線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題 【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點F叫做拋物線的焦點，定直線F和一條定直線I（ I不經(jīng)過點F ）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點I叫做拋物線的準(zhǔn)線.要點詮釋：上述定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點，一定點 F （即焦點），一定直線（即準(zhǔn)線） 定值1 （即動點M到定點F的距離與定直線I的距離之比）.要點二

2、、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：2 2 2 2y 2px, y 2px , x 2py , x 2py （p 0）要點詮釋：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考“定形”是指以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)拋物線方程的具體形式；“定值”是指用定義法或待定系數(shù)法確定p的值要點三、拋物線的幾何性質(zhì)范圍：xx 0， y y R，2拋物線y =2px (p 0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)(x, y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x0;當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界

3、曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px( p0)關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標(biāo)原點拋物線y2=2px (p0)和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標(biāo)是(0, 0)。離心率：e 1 .2拋物線y=2px ( p 0) 上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e表示，e=1 o拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。要點三、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程y kx m與拋物線的方程 y2=2px (p 0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或

4、y的一元二次方程，其判別式為 .2ky 2 py 2 pm 0若k 0，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點;若k 0 厶0直線和拋物線相交，有兩個交點； 厶二0 直線和拋物線相切，有一個公共點； 0)或24512，52y = 2px(p0),則(耳，空)在拋物線上,55方程為 x248y或y2524m=56x53p=5【變式2】已知定點F(0,2)，若動點Mx, y)滿足IMF = y + 2,則點M的軌跡方程為 .【答案】由已知得點M到點F的距離等于點 M到直線y=- 2的距離，故點 M的軌跡方程為x2= 8y.類型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例2.過定點F(0,2)作直線

5、I，使I與拋物線y2= 4x有且只有一個公共點，這樣的直線l共有 條.x軸平行的【答案】3【解析】如圖，過點 P與拋物線y2= 4x僅有一個公共點的直線有三條：二條切線、一條與直線.【總結(jié)升華】直線與拋物線只有一個公共點時要考慮相交于一點的情況，不要漏掉舉一反三：【變式】已知F是拋物線y2= x的焦點，A, B是該拋物線上的兩點，|AF + I BF = 3,則線段AB的中點 到y(tǒng)軸的距離為.1【答案】T| AF + I BF = xa+ XB+ 丄=3,25-Xa+ Xb=.2線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為獨上 524類型三：拋物線的弦例3.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線

6、相交于點A B,求線段 A B的長.【解析】如圖8-3- 1, y2=4x的焦點為F (1 , 0)，則I的方程為y=x 1.y24X由 y消去y得X2 6x+1=0.y x 1設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2)則 x計X2=6.又A、B兩點到準(zhǔn)線的距離為 A , B，則AABBX11X21X1X22628【總結(jié)升華】拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。 舉一反三：【變式】頂點在原點，焦點在 X軸的拋物線截直線 y = 2x 1所得的弦長| AB = 5.3，求拋物線的方程.【答案】y2= 20x或y2= 12x.例4.若直線I : y = kx

7、2交拋物線y2 = 8x于A B兩點，且AB的中點為 M2 , yo)，求yo及弦AB的長.【解析】把 y = kx 2 代入 y2= 8x，得 k2x2 (4 k + 8) x + 4= 0.設(shè) A(X1, yj , B( X2, y2). AB中點 M2 , y。),4k 8k2=4,解得k= 2或k= 1.2 2又= 16k + 64k+ 64 16k 0,-k 1，k = 2,此時直線方程為y = 2x2, M2 , yo)在直線上， yo= 2, I AB =77* xj 75J42 4 2 2屆.【總結(jié)升華】拋物線弦的中點坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關(guān)鍵，方程的

8、思想也是解析幾何的核心思想.舉一反三：【變式】過拋物線y2= 4x的焦點作直線I交拋物線于 A B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則| AB| 等于.【答案】8【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=- 1,則AB中點到準(zhǔn)線的距離為 3-( - 1) = 4.由拋物線的定義得| AB =8.類型四：拋物線的綜合問題2例5.過拋物線y =2px(p0)的焦點F的直線與拋物線相交于P(xi, yi)、Q(X2, y2)兩點，求證：2y2 p ；【解析】證明：由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)為F (衛(wèi),0)。2(1)當(dāng)直線PQ斜率存在時，過焦點的直線方程可設(shè)為y k(x -),2由y k(x子)2小y 2px

9、22消去 x 得：ky 2py kp =0(探)當(dāng)k=0時，方程(探)只有一解， kz0, 由韋達定理得：y1y= p2。當(dāng)直線PQ斜率不存在時，得兩交點坐標(biāo)為(*,卩),(號，p),2y y=p。綜上兩種情況：總有 y1y2=p2?！究偨Y(jié)升華】韋達定理在解決拋物線綜合問題中有著非常重要的作用，注意它的合理應(yīng)用舉一反三：【變式1】 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線 y2=x上移動，AB的中點為 M求點M到y(tǒng)軸的最短 距離，并求此時點 M的坐標(biāo)【答案】如圖，設(shè) A(x1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y),則x=卷 立，y= 乜、2 2又設(shè)點A, B, M在準(zhǔn)線I :x= 1/4

10、上的射影分別為 A/,B/,M/, MM，與y軸的交點為N,11則 |AF|=|AA /|=x 計 ,|BF|=|BB /|=x 2+,441 11115 x= (X1+X2)=(|AF|+|BF| )?(|AB| )=2 22224等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k(x 丄)4, y k(x 9則| PM = d,又 | PA + d=| PA + | PF| 1 AF = 5,所以 | PA + I PM- 故選 C.12 222由4 得 16k x 8(k +2)x+k =02y x1 k 依題意 |AB|=1 k |x 1X|=1 k X 2 = 廠=3,16k k k2=1/2,8(k22) = 52 16k241此匕時 x=(x 1+X2)=225. 25y=即 M( ,), N(,2424【變式2】已