期末復習圓的方程直線和圓的位置關系3

1、期末復習：圓的方程、直線和圓的位置關系教學目標1掌握圓的標準方程的特點，能根據(jù)所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程，能運 用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導圓的標準方程。2、掌握圓的一般方程及一般方程的特點；能用配方法將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓 心的坐標和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程。3、理解并掌握直線與圓的三種位置關系，并能用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系。會求圓的 切線方程和弦長。知識要點一、圓的方程1. 圓的定義：平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓2. 求曲線方程的一般步驟為：(1) 建立適當

2、的坐標系，用有序實數(shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；(2) 寫出適合條件 P的點M的集合；(可以省略，直接列出曲線方程)(3 )用坐標表示條件 P ( M),列出方程f(X,y)=°；(4) 化方程f(x, y) =°為最簡形式；(5) 證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點-(可以省略不寫，如有特殊情況，可以適 當予以說明。)已知圓心為C(a,b)，半徑為r,如何求圓的方程？設M (x, y)是圓上任意一點，根據(jù)定義，點M到圓心C的距離等于r，所以圓C就是集合P= M| |MC| = r由兩點間的距離公式，點 M適合的條件可表示為：.(X -a)2 (y -b)2

3、二 r把上式兩邊平方得：(x a) 2+ (y b) 2 = r2r MC(a,b)(一) 圓的標準方程2 2 2(x-a) (y -b) =r這個方程叫做圓的標準方程。-說明：2 2 21、 若圓心在坐標原點上，這時 a二b二°，則圓的方程就是x y = r。2、圓的標準方程的兩個基本要素：圓心坐標和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確 定了圓，所以，只要 a，b，r三個量確定了且r >°，圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件-確定a,b,r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決。(二) 圓的一般方程將圓的標準方程(x-a)2 (

4、y-b)2 =r2展開可得x2 y2 - 2ax - 2by a2 b2 - r2 = °。可見，任何一個圓的方程都可以寫成2 2x y Dx Ey F = 022問題：形如x y Dx Ey0的方程的曲線是不是圓?2 2將方程x y Dx Ey F =o左邊配方得：D 2 E 2 (x 2)2 * 2)2.D2 E2 4F2（i）10 / 6（1）當D E 4F >o時，方程（1）與標準方程比較，方程(x y Dx Ey F =0表示以E）, D2 E2 -4F2）為圓心，以2為半徑的圓。(2)當D' + E、4F = 0時,方程+ya+Dx+Ey+F = 0只有實數(shù)

5、解x二y二-二 所以表示一個點卜? 二“2 2（3）當d2e2_4F V0時，方程x y Dx Ey F =0沒有實數(shù)解，因而它不表示任 何圖形。圓的一般方程的定義：2 2當D2 E2 -4F >0時，方程x y Dx Ey 0稱為圓的一般方程 圓的一般方程的特點：2 2（1）x和y的系數(shù)相同，不等于零；（2）沒有xy這樣的二次項。（三）直線與圓的位置關系1、直線與圓位置關系的種類位置相離相切相交1 位置相離相切相交d 與 r圖形d= rd<r©交點個2、直線與圓的位置關2系判斷方法:2個幾何方法。主要步驟：（1 ）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2）利

6、用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離（3） 作判斷：當d>r時，直線與圓相離；當 d = r時，直線與圓相切；當d<r時，直線與圓相交。 代數(shù)方法。主要步驟：(1 )把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組(2) 利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程(3) 求出其的值 比較與0的大?。?4) 當 <0時，直線與圓相離；當 = 0時，直線與圓相切 ；當 >0時，直線與圓相交?！镜湫屠}】例1 : 求圓心在直線 2x y 3= 0上，且過點(5, 2)和(3, 2)的圓的方程。 解：設圓方程為(x a) 2+( y b) 2 = r2依題意得廠2a b 3 = 0v ( 5

7、 a) 2+( 2 b) 2= r2 (3 a) 2+( 2b) 2= r2解之得 a= 2, b= 1, r2= 10,y 1) 2 = 10所求的圓方程為(x 2) 2 +例2 :下列方程表示什么圖形？22(1) X + y + 5x - 3y + 1 = 022(2) x + y + 4x + 4 = 022(3) x + y + x + 2 = 022(4) x + y + 2by = 0(_5 3)廂解：(1)表示以 2 2為圓心，以2為半徑的一個圓(2)表示一個點(-2, 0 )(3 )不表示任何圖形(4) 圓心為(0, b)，半徑為|b|,注意半徑不為b.例3 :求過三點O (0

8、, 0) , M (1, 1) , N (4, 2)的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。解：設圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，將三個點的坐標代入方程F =0* D +E +F +2 =0-4D +2E +F +2° =0斗 f = 0, D =弋，E = 6n 圓方程為：x2 + y2 弋x + 6y = 022配方：(x -4 )+( y + 3 )= 25 二圓心：(4,-3 ),半徑 r = 5例4:已知圓的方程是 x2 + y2 = 2,直線y = x + b,當b為何值時，圓與直線有兩個交點、 一個交點、沒有交點？2 2X +y =2解：由

9、方程組 y =x+b = 2x2 + 2by + b2 -2 = 0 = -4 ( b + 2 ) ( b -2 )當厶>0時，即2 < b < 2 ,有兩交點當厶=0時，即b = -2,有一個交點當厶<0時，即b > 2或b < -2,沒有交點.例5:已知圓的方程是 x2 + y2 = 5,且圓的切線滿足下列條件，求圓的切線方程(1)過圓外一點 Q ( 3, 1 )(2)過圓上一點 P ( -2, 1 )解：(1)若直線不與x軸垂直時，設切線方程為 y -1 = k ( x -3 ),則圓心(0, 0 )到切線 的距離等于半徑i5卩刖5J即.k21:（ 1

10、 - 3k ） 2 = 5 （ k2 + 1 ）= k =2 , k = 2若直線與x軸垂直時，x= 3，與圓相離，不合題意；綜上所述，所求的切線方程是： x + 2y _5 = 0, 2x _y _5 = 0 說明：本小題的方法是求圓的切線方程的一般方法ki（2）2， ki= 一1，. k2 = 2.I的直線方程為y/ =2（x2）即y=2x+5xox + yoy歸納：過圓上一點P （xo,yo）、圓心在原點的圓x2+y2=r2的切線方程為:例6 :已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?解：半圓所在的方程為將 x

11、= 2.7 代入，得 y=、16 - 2.7 ”、8.71 ： 3 不能例7:求直線3x y + 2 解：/圓方程可化為：（圓心為（1， -2 ），即知圓的弦長I滿足：2|=0截圓x2 + y2 - 2x + 4y = 0所得的弦長。2 2x -1 )+( y + 2 )= 5|3+2+2|7怖半徑r =、5，圓心到直線的距離 d =>1010_d2 -5-49 =山山=1010 =所求弦長| =5【模擬試題】一、選擇題：2 2 2 21已知曲線X y -Dx Ey-F =0（D- E -4F 0）關于直線x + y= 0對稱，則（）A. D E = 0B. D + E= 0C. D +

12、 F= 0D. D + E + F= 0222.直線3x4y*6=0與圓（x2） +（y3） =4的位置關系是（）A.過圓心B.相切C.相離 D.相交但不過圓心2 23. 若直線x y 0與圓x y相切，則a為( )A. 0 或 2B. 2C. 2D.無解4. 以點(一3, 4)為圓心，且與X軸相切的圓的方程是()A (x3)2+(y+4)2 =16B. (x + 3)2+(y 4)2 =16C. (x3)2 (y 4)2 =9d. (x 3)2 (y -4)2 = 92 25. 已知半徑為1的動圓與圓(x-3 (yT6相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A. (x5)2 +(y+7)2 =25B

13、. (x5)2 +(y + 7)2 =17或(x_5)2 +(y + 7)2 =15C. (x5)2 (y 7)2 =9D. (x-5)2 +(y+7)2 =25或(x-5)2 +(y 十7)2 = 96.以M ( 4, 3)為圓心的圓與直線 2x y - 5 =0相離，那么圓M的半徑r的取值范圍是(A. 0 v r v 2B. 0 v r<5C. 0v r< 2 5D. 0 v r< 107.圓(x 3) 2+( y+ 2) 2= 13 的周長是()A. V1B. 2 山3兀C. 2兀D. 2J®8. 圓心在點C (3, 4),半徑是 5的圓的標準方程是(A. (

14、x3)2 +( y4)2 = 5B. (x+3)2 +( y+4)2 = 5C. (x3)2 +( y4)2 =5x 2y 3= 0被圓所截弦的中點，則該直徑所D. (x+3)2 +( y+4)2 =59. 已知圓(x 2) 2+( y+ 1) 2= 16的一條直徑通過直線 在的直線方程為()A. 2x + y 5= 0B. x 2y = 0C. 2x + y 3 = 0D. x 2y + 4 = 010.與兩圓 x2 + y2 + 4x 4y + 7 = 0 和 x2+ y2 4x 10y + 13= 0 都相切的直線有)A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條二、填空題：11. 圓心為M

15、(2, 3), 一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是 2 212. 斜率為3,且與圓x y二1。相切的直線的方程是 。2 213. 過點(5, 12)且與圓x y 169相切的直線的方程是 。2 214. 圓(X3) +(+0二1關于直線x+2y3 = 0對稱的圓的方程是 三、解答題：15.求過A (1 , 2)與B ( 3, 4)兩點，且在x軸上截得的弦長等于 6的圓的方程2y = 25上，求k的值16.直線x _2y _2k =0與2x _xy _k =0的交點在曲線17. 已知一曲線是與兩個定點 O (0, 0)、A (3, 0)距離的比為2的點的軌跡，求此曲線的方程，并

16、畫 出曲線.2 218. 求過點P (3, 6)與圓(x 2)' (y 一2)= 25相切的直線方程.2 219. 已知圓C:(XT)(2)2和點P ( 2, 1),過點P作圓C的切線，切點是A、B , (1)直線PA、PB的方程；(2)求直線AB的方程。【試題答案】、選擇題1、A2、A3、C4、D5、B6、C7、B8、A9、C10、C、填空題11、(x-2)2 (y 3)2 =1312、3x y±10=013、5x+12y-169=0/19 23.2.(x ) (y ) =114、55三、解答題2 215、x + y +12x-22y 十27 = 0或16、土 117、 解：在給定的坐標系里，設點M99y -8x _2y 7=0(x, y)是曲線上的任意一點，也就是點M屬于集合。|OM |1P =M |.| AM |2Jx2 + y2 =丄 由兩點間的距離公式，點 M