數(shù)學抽象及其在教學中的運用

1、數(shù)學抽象及其在教學中的運用抽象性是數(shù)學的基本特點之一，所有的數(shù)學知識可以說都是經(jīng)過抽象得到的，小學數(shù)學中的知識和方法亦是如此。數(shù)學抽象也是一種基本的數(shù)學思想。學生學習數(shù)學，不僅是要學習那些由前人抽象概括形成的數(shù)學知識，同時還要學習形成知識的抽象概括的方法。了解數(shù)學抽象的特殊性以及如何在小學數(shù)學教學中有效應(yīng)用數(shù)學抽象方法就顯得十分必要。本文將在分析數(shù)學抽象的內(nèi)涵、分類、教育價值的基礎(chǔ)上，探討數(shù)學抽象在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用。一、數(shù)學抽象的內(nèi)涵和分類1.數(shù)學抽象的內(nèi)涵。“抽象”一詞源于拉丁語“abstracio”，其本意是排除、抽取的意思。現(xiàn)在人們對抽象的理解一般有兩種，一種是用來形容那種遠離具體經(jīng)

2、驗，因而不太容易理解的對象性質(zhì)的程度；另一種是指從具體事物中舍棄非本質(zhì)屬性而抽取本質(zhì)屬性的過程和方法。后者反映出抽象是一種思維活動。抽象性是數(shù)學的基本特點之一，抽象也是數(shù)學活動最基本的思維方法。作為方法的數(shù)學抽象抽取的是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式等方面本質(zhì)屬性，進而提煉數(shù)學概念，構(gòu)造數(shù)學模型，建立數(shù)學理論。2數(shù)學抽象的分類。數(shù)學的一切活動，從概念到方法，實質(zhì)上都是抽象的，大到組織一個數(shù)學體系所用的公理化方法，在實際應(yīng)用中的數(shù)學模型方法，小到一個概念的給出，一個計算過程的建立，一個證明技巧的發(fā)現(xiàn)，甚至于一個問題的表征都需要用到數(shù)學抽象。由此也可以看出數(shù)學抽象是多種多樣的，也是多層次的。了解數(shù)學抽象

3、的分類有助于我們在教學中抓住抽象的重點和關(guān)鍵。數(shù)學抽象根據(jù)抽象對象的性質(zhì)可以分為“表征型抽象”“原理型抽象”和“建構(gòu)型抽象”。對事物所表現(xiàn)出來的特征的抽象，稱為“表征型抽象”。例如三角形、正方形、圓、立方體、軸對稱等概念都是“表征型抽象”的結(jié)果。對事物內(nèi)在因果性、規(guī)律性、關(guān)系性的抽象，稱為“原理型抽象”。例如乘法分配律、三角形內(nèi)角和為180º等基本數(shù)學關(guān)系都是“原理型抽象”的結(jié)果。而建立在這些抽象基礎(chǔ)上的數(shù)學建構(gòu)性活動稱為“建構(gòu)型抽象”。如定義質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念的活動就是“建構(gòu)型抽象”。數(shù)學抽象還可以從抽象過程的特征上分為“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”和“強抽象”。理想化抽象是指

4、從數(shù)學研究的需要出發(fā)，人們構(gòu)造出一些理想化的對象的思維過程，理想化抽象得出的數(shù)學概念包含了對于真實事物或現(xiàn)象的簡化和完善化，因而這些概念與現(xiàn)實原型本身未必完全相符，如線段、射線、直線等概念都是理想化抽象的結(jié)果；又如，在解決實際問題的時候，往往用線段圖來表示題目中的數(shù)量關(guān)系，而線段圖也是理想化抽象的結(jié)果。理想化抽象也可以通過引進理想化元素來發(fā)現(xiàn)數(shù)學理論，如虛數(shù)概念的建立。等置抽象是指依據(jù)某種等價關(guān)系抽取一類對象共同特征的抽象方法。如從三個蘋果、三棵樹、三枚棋子這些在數(shù)量上具有共同特征的事物中抽取出“自然數(shù)3”這一概念，就是等置抽象。弱抽象也可以叫做概念“擴張式抽象”，即由原型中選取某一特征或側(cè)面

5、加以抽象，從而形成比原型更為一般的概念或理論。如對于長方形的概念來講，如果只保留“兩組對邊分別相等”的屬性，而舍棄“角”方面的特征，則可抽象出“平行四邊形”的概念，這個過程就是弱抽象。強抽象也可以叫做“強化結(jié)構(gòu)式抽象”，即通過把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象過程。如在一般三角形概念上引入“兩條邊相等”，就抽象出特殊的“等腰三角形”這一概念，這個過程就是強抽象。從思維過程上來看，弱抽象是“特殊到一般”的歸納推理過程，這個過程比較直觀，比較貼近學生的思維水平，有利于學生的理解，適合學生自主學習；強抽象則是“一般到特殊”的演繹推理過程，這個過程比較直接，但是不易理解，對學生的思維水平

6、要求較高，需要教師進行講解指導。二、數(shù)學抽象的教育價值 數(shù)學抽象由于抽象的對象（概念、模型、理論體系等）和過程的不同，體現(xiàn)出不同的層次性，例如自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)等概念的抽象性，幾乎是逐步提高的。一般說來抽象水平越高，反映出人們抽象思維能水平也越高，相應(yīng)的民族文化發(fā)展水平也越高。因此，對教師而言，引導并訓練學生逐步從初級的經(jīng)驗水平轉(zhuǎn)向高級的科學水平的抽象，提高他們的思維水平，促進他們智慧發(fā)展，是數(shù)學教育的重要任務(wù)。1數(shù)學抽象可以幫助學生更好地體會數(shù)學的本質(zhì)。數(shù)學抽象方法雖然多，但是這些方法實質(zhì)上都是一種構(gòu)造活動，是借助于定義和推理進行的邏輯建構(gòu)。這里的邏輯建構(gòu)是借助于明確的定義邏輯

7、地構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學對象，這樣的方法使得數(shù)學對象能夠由內(nèi)在的思維活動轉(zhuǎn)化為外在的獨立存在，從而形成為一種“客觀的”知識。例如，倍數(shù)和因數(shù)是兩個整數(shù)在有整除關(guān)系的基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的概念。通過數(shù)學抽象這一構(gòu)造活動，不僅可以讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識產(chǎn)生的過程，還有助于讓學生體會數(shù)學知識本身的量化、形式化、模式化和理想化的特點，逐步形成“數(shù)學是關(guān)于模式的科學”的數(shù)學觀和初步的“模型思想”。2數(shù)學抽象可以幫助學生體會數(shù)學知識之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律。 通過數(shù)學抽象可以幫助我們找出數(shù)學概念和定理的原型，真正弄懂它們的含義，掌握數(shù)學知識的來龍去脈，并洞察知識形成過程的全貌，這有助于我們了解概念層次結(jié)構(gòu)中各步驟的難易程度

8、，看清概念的結(jié)構(gòu)，從而進一步理解這些數(shù)學知識之間的關(guān)系及其抽象的過程。例如，從因數(shù)到最大公因數(shù)這是一個強抽象的過程；2、3、5的倍數(shù)的特征是原理型抽象的結(jié)果。 一般來說，人們先認識的一些較為具體直觀的事物對象，如果其內(nèi)涵豐富，往往會成為弱抽象的原型；反之，如果內(nèi)涵非常貧乏或者不夠豐富，則會成為強抽象的出發(fā)點。當我們認識到這一規(guī)律后，在今后的學習中遇到一個概念，可以就其性質(zhì)特征加以追問、反思和抽象，提高抽象思維的水平。例如當學生學習平行四邊形時，我們可以追問“四條邊都相等的平行四邊形是什么圖形？（菱形）四個角都是直角的平行四邊形是什么圖形？（長方形）”這樣的過程實質(zhì)上就是強抽象的過程。3數(shù)學抽象

9、有利于培養(yǎng)學生的抽象概括能力，發(fā)展思維能力。思維最顯著的特征就是概括性。思維之所以能揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律性的關(guān)系，主要來自抽象和概括，對事物的認識只有經(jīng)過抽象概括才能由感性上升到理性。概括是指從某類事物中的個別對象具有某種特有屬性推廣到該類事物的全體對象具有這種特有屬性的思維過程。例如，從下面的圖片中排除顏色、大小等非本質(zhì)屬性，取出事物中的空間形式這是抽象，然后根據(jù)抽象出的不同大小的圖形，再找出其共同的屬性，建立梯形概念，這個過程就是概括。由此可見，在數(shù)學抽象的過程中，概括也起著至關(guān)重要的作用?？梢赃@樣說，數(shù)學中的任何一類數(shù)、一種運算、一個概念、一個法則，都是抽象概括共同作用的結(jié)果。如果說

10、抽象重在分析、提煉，那么概括則側(cè)重于歸納、綜合?？梢姡橄笫歉爬ǖ幕A(chǔ)，沒有抽象就不可能有概括，而概括有有助于抽象，它能使抽象而來的特有屬性推廣到研究對象的整個類中去。當抽象概括水平越高，知識系統(tǒng)性就越強，遷移就越靈活，一個人的智力和思維能力就越發(fā)展。三、數(shù)學抽象在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用小學數(shù)學中的概念、運算、性質(zhì)和法則等都是通過數(shù)學抽象逐步在學生的頭腦中建構(gòu)起來的，因此，提高數(shù)學抽象方法使用的有效性，讓學生能夠通過數(shù)學抽象建立正確的數(shù)學知識就顯得尤為重要，下面來談?wù)剶?shù)學抽象在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用。1.數(shù)學抽象時要充分發(fā)揮表象的作用。表象是感性認識的一種高級形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和

11、橋梁，因此在概念形成、計算法則和公式的推導過程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常關(guān)鍵的，這為進一步高水平的抽象概括提供了基礎(chǔ)。例如，在認識平行四邊形的時候，為了便于抽象概括出其“兩組對邊相等”“兩組對邊分別平行”等本質(zhì)特征，可以提供給學生如下典型圖形充分感知、觀察比較后，思考這些圖形共同之處，然后再抽象概括。這里典型圖形不一定只有一種，可以是多種多樣的，這樣有助于讓學生建立比較豐富的平行四邊形的表象。但是目前的大多數(shù)小學數(shù)學教材中認識平行四邊形一課中所呈現(xiàn)的素材中并沒有給出長方形和正方形（可能考慮到學生認知規(guī)律的原因），因此常導致學生產(chǎn)生片面認識，即平行四邊形的四個角不能是直角，這正是提供

12、的表象不全面導致的。為了避免這樣的問題產(chǎn)生，在選取表象的時候，一定要考慮全面。2數(shù)學抽象要把握時機，及時抽象概括。 在對具體事物充分感知，形成表象后，就要把握好時機，及時抽象概括了，這樣才能使感性認識上升到理性認識，提高學生的思維能力。試想，如果不及時抽象概括，那么學生的思維水平必然停留在表面的、膚淺的、零碎的外部現(xiàn)象上，對事物的認識就不能夠深入下去。例如，在認識線段的時候，先讓學生“把線拉直”，發(fā)現(xiàn)毛線兩頭拉緊后，中間一段是直直的。然后引導學生在不看實物的情景下，想象出拉直后毛線的狀態(tài)，并把頭腦中形成的圖像畫下來，以此抽象出線段的概念。這里的抽象概括是建立在學生充分操作、想象的基礎(chǔ)上的，時機

13、是恰當，也是及時的。3.數(shù)學抽象要注意層次性。小學生的抽象能力是隨著年齡的增長而逐步發(fā)展著的，是從抽取事物外部特征逐步發(fā)展到抽取事物本質(zhì)特征的，是從借助于具體事物進行較低層次的抽象，發(fā)展到借助于表象或者數(shù)學概念的較高層次的抽象，這種發(fā)展需要教師的指導和點撥。例如，研究軸對稱圖形時，教師先通過一些具體的軸對稱物體抽象為軸對稱圖案，再抽象為具體的軸對稱圖形，最后抽象出“對折之后完全重合的圖形叫做軸對稱圖形”這一概念，其中的層次性顯而易見。又如，加法交換律的教學，教師先從具體情境“朝三暮四”的故事中抽象出數(shù)量關(guān)系“3+4=4+3”，再通過一組這樣的等式抽象概括出“交換加數(shù)的位置和不變”這一結(jié)論，最后用抽象的字母表示為“a+b=b+a”。這種抽象的層次性符合學生認知從具體到抽象、特殊到一般的發(fā)展規(guī)律，便于學生理解和接受。4.重視語言在數(shù)學抽象過程中的作用。數(shù)學抽象的結(jié)果是形式化的，多數(shù)是用詞、詞組和句子來表達的，任何一個數(shù)學概念、法則的推導過程也是要借助于語言的指導和幫助的，因此要重視語言在數(shù)學抽象過程中的作用。在數(shù)學抽象過程中使用語言，一般有兩個作用，一是加工調(diào)節(jié)作用，通過語言表達，讓感知對象的特征更加清晰，表象更加明確精細，這樣有利于后續(xù)的抽象。二是概括作