2014年高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專(zhuān)題習(xí)題

1、2014高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專(zhuān)題習(xí)題高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專(zhuān)題特殊模型和抽象函數(shù)特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx(k#0)f(x+y尸f(x)+f(y)哥函數(shù)f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或f(.)黑指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a?1)f(x+y尸f(x)f(y)或f(xy)f(x)f(y)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a?1)f(xy尸f(x)+f(y)x或f()f(x)f(y)y正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx一、f(x)f(y)f(xy)1f(x)f(y)余切函數(shù)f(x)=cotx-11f(

2、x)f(y)f(xy)f(x)f(y)一.定義域問(wèn)題多為簡(jiǎn)單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y=f(x)的定義域是2,2,則函數(shù)y=f(x+1)+f(x-1)的定義域?yàn)榫毩?xí)：已知函數(shù)f(x)的定義域是1,2,求函數(shù)flogi3x的定義域。2例2:已知函數(shù)flog3x的定義域?yàn)?,11,求函數(shù)f(x)的定義域練習(xí)：定義在3,8上的函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2,若它的反函數(shù)為f-1(x),則y=f-1(2-3x)的定義域?yàn)?值域?yàn)?。二、求值?wèn)題-抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決。例3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,均滿(mǎn)足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)#

3、0,則f(2001)=R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x)，由丫=祇+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù)，貝Uf(2009)=.例4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1,且對(duì)任意x6R者B有f(x+5)>f(x)+5,f(x+1)wf(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2002)=.練習(xí):2則四)也蟠),f(1)f(3) f(5)22f2(3) f(6)f2(4)f(8)f(5)”7)3的值是 f(2001)1 .f(x)的定義域?yàn)?0,),對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy尸f(x)+f(y)且f(4)=2,則(2)2 .如果f(xy)f(x)f(y),

4、且f(1)22f2(1)f(2)f2(2)f(4)f(1)f(3)3、對(duì)任意整數(shù)x,y函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足：f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(1)1,則f(8)(A.-1B.1C.19D.434、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2,則f(2005)=()A.2005B.2C.1D.05、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f-1(x),又Y=f(x)過(guò)點(diǎn)(2,1),Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x),則Y=f-1(16)為()1 1A)1B)-1C)8D)16816156、已知a為實(shí)數(shù)，且0a1,f(x)是定義在0,1上的函數(shù)，滿(mǎn)

5、足f(0)0,f(1)1,對(duì)所有xy,均有f(xy)(1a)f(x)af(y)1，(1)求a的值(2)求f(彳)的值三、值域問(wèn)題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,f(x+y尸f(x)f(y)總成立,且存在X1x2,使得f(x1)f(x2),求函數(shù)f(x)的值域。四、求解析式問(wèn)題(換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法,區(qū)間轉(zhuǎn)移法,例5.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)例6、設(shè)對(duì)滿(mǎn)足k0,x#1的所有實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿(mǎn)足,fx,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否

6、存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列三個(gè)條件：f(n)>0,n6N;f(ni+n2)=f(ni)f(n2),ni,n26N*;f(2)=4同時(shí)成立?若存在，求出函數(shù)f(x)的解析式；若不存在，說(shuō)明理由.例9、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x-)f(x3恒成立，當(dāng)x2,3時(shí)，22f(x)x,則x(2,0)時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式為()A.x2B.x4C.2x1D.3x1練習(xí)：1 、設(shè)yf(x)是實(shí)數(shù)函數(shù)(即x,f(x)為實(shí)數(shù)),Hf(x)2f(1)x,求證：|f(x)|-V2.x32 .(重慶)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(I)若f(2

7、)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(II)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x。,使得f(xo)=xo,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式。3、函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0,(1)求f(0)的值；對(duì)任意的xi(0,1),X2(0,1),都有f(Xi)+2<lOgaX2成立時(shí),22求a的取值范圍.五、單調(diào)性問(wèn)題(抽象函數(shù)的單調(diào)性多用定義法解決)例10設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(x+y尸f(x)+f(y),若x>0時(shí)f(x)<0,且f(1)二-2,求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.練習(xí)：設(shè)f(x)定義于實(shí)

8、數(shù)集上，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求證：f(x)在R上為增函數(shù)。例11、已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x?0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意Xi,X2都有f(XiX2)f(Xi)f(X2),且當(dāng)X1時(shí)f(x)0,f(2)1,(1)f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)；(2)解不等式f(2X21)2練習(xí)：已知函數(shù)f(X)的定義域?yàn)镽,且對(duì)m、n6R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(1尸。,當(dāng)x>1時(shí)，f(X)>0.求證：f(X)是單調(diào)遞增函數(shù)；例12、定義在R+上的函數(shù)f(X)滿(mǎn)足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(Xm)=m

9、f(X);f(2)=1。(1)求證:f(Xy)=f(X)+f(y)對(duì)任意正數(shù)X,y都成立；(2)證明f(X)是R+上的單調(diào)增函數(shù)；(3)若f(X)+f(X-3)&2,求乂的取值范圍.練習(xí)1定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)#0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,且對(duì)任意的a、b6R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求證：f(0)=1;求證：Xt任意的x6R,恒有f(x)>0;(3)求證:f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)f(2xx2)>1,求x的取值范圍.練習(xí)2、已知函數(shù)f(x)對(duì)任何正數(shù)x,y都有f(xy尸f(x)f(y),且f(x)#0,當(dāng)x>

10、;1時(shí),f(x)<1試判斷f(x)在(0,+s)上的單調(diào)性。六、奇偶性問(wèn)題例13.(1)已知函數(shù)f(x)(x?0的實(shí)數(shù))對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy尸f(x)+f(y),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。例14:已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且滿(mǎn)足1f(xy)f(x)f(y)1,(2)f(y)f(x)存在正常數(shù)a,使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數(shù)。例15:設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(，0)上是增函數(shù)，又f(2a2a1)f(3a22a1)。求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例16:定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)=log23且對(duì)任意x,yR都有f(x+y尸f(x)+f(

11、y).(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意xGR恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.練習(xí)：1、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的函數(shù)a,b都滿(mǎn)足f(ab尸af(b)+bf(a).求f(0),9)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)若f(2)=2,un=f(2n)(nN*),求證:Un+i>Un(nN*).2.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y尸f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0恒成立.判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)

12、；若函數(shù)f(x)在-3,3)上總有f(x)w6成立，試確定f(1)應(yīng)滿(mǎn)足的條件；1。1。(3)解關(guān)于x的不等式一f(ax)f(x)-f(ax)f(a),(n是一個(gè)給te的自然數(shù)，a0)nn3、已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a,b61,1,a+b?0時(shí)，有f(a)f(b)>0.ab(1)判斷函數(shù)f(x)在1,1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)解不等式：f(x+1)<f();2x1(3)若f(x)Wm22pm+1對(duì)所有x61,1,p61,1(p是常數(shù))恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.七、周期性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題（由恒等式簡(jiǎn)單判斷：同號(hào)看周期，異號(hào)看對(duì)稱(chēng)）編

13、號(hào)周期性對(duì)稱(chēng)性1fxafxafxafxa7對(duì)稱(chēng)軸xayfxa是偶函數(shù)；fxafxa7對(duì)稱(chēng)中心(a,0)yfxa是奇函數(shù)T=2|；a2faxfbxT=bafaxfbx7對(duì)稱(chēng)軸x-a2b;faxfbx對(duì)稱(chēng)中心(,0),3f(x)=-f(x+aT=2e)-af(x)=-f(-x+a)一對(duì)稱(chēng)中心-1,04faxfbxT=2ba.，一,、abfaxfbx一對(duì)稱(chēng)中心,025f(x)=士，-T=2afxf(x)=b-f(-x+a)-對(duì)稱(chēng)中心-,2261f(x)=1-f(x)0ffxaT=3結(jié)論：(1)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線(xiàn)x=a,x=b對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b|(2) 函數(shù)圖象關(guān)于

14、點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b|(3) 函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a,及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4|a-b|(4)應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的區(qū)別：y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于xb-2對(duì)稱(chēng)；y=f(a+x)與y=-f(b-x)關(guān)于點(diǎn)(»2,0)對(duì)稱(chēng)例17:已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為()A.-1B.0C.1D.2函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x者B有f(1+2x)=f(1-2x),則f(2x)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)。例18.已知函數(shù)y=f(x)

15、滿(mǎn)足f(x)f(x)2002，求f1xf12002x的值。例19.奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T>0，恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間0,2T上，方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為()3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)練習(xí)1、函數(shù)yf(x1)是偶函數(shù)，則yf(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)。12、函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(x3),且f(3)1,則f(2010)。f(x)7113、函數(shù)f(x)是定乂在R上的奇函數(shù)，且f(-x)f(-x),則f(1)f(2)f(3)ff(5)4、已知函數(shù)yf(2x1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)yg(x)是yf(x)的反函數(shù)，若xx2。則g(x)g(x2)()A)2B)0C)1D)-25 .設(shè)f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)=f(x)，當(dāng)0WxW1,時(shí),f(x)=x，則f(7.5)=-0.56 .定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)+f(x)=3,則f-1(x)+f-1(3-x)=.7、f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是()A.4B.5C.6D.78、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)，已知當(dāng)x2,3時(shí)f(x)=/2x,求當(dāng)x1,2時(shí),f(x)的解析式.9、(山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿(mǎn)足f(x4)f(x)，且在區(qū)間