平面幾何定理公理總結(jié)

1、平面幾何定理公理總結(jié)總 6 頁- 本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)請直接刪除即可 - 內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整適宜字體及大小 -平面幾何定理公理總結(jié)線與角1. 兩點(diǎn)之間，線段最短。線段的長叫兩點(diǎn)間的距離。2. 直線外一點(diǎn)到直線，垂線段最短，垂線段的長叫該點(diǎn)到直線的距離。3. 一組平行線中'一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫兩條平行線間的距離。4. 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線， 即兩點(diǎn)確定一條直線。 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)5. 兩直線相交，對(duì)頂角相等。6. 同角(或等角 ) 的余角相等；同角 (或等角) 的補(bǔ)角相等。7. 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行。8. 經(jīng)過直線外或直線上一

2、點(diǎn)，有且只有一條直線與直線垂直。9. 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。10. 如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。11. 平行線(1) 平行線的判定公理： 兩條直線被第三條直線所截， 如果同位角相等，那么這兩條直線平(2) 平行線的判定方法：(3) 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。(5) : 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。(6) )如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。(7) 平行線的性質(zhì)：(8) (D

3、 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(9) (2) 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。(10) ?兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。(11) ? 如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么這條直線也和另一條平行。(12) 如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直。(13) 平行線間的距離處處相等 ； 夾在兩條平行線間的平行線段相等。12. 平行線等分線段定理：(1) 定理：如果】組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也 等。(2) 推論丄：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，且與另一邊平行的直線必等分第三邊。(3) 推論 2 :經(jīng)過梯形一腰

4、的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線必等分另一腰。13. 平行線分線段成比例定理：(1) 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。(2) 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊 (或兩邊的延長線 ) 成比例。14. 線段的垂直平分線：(1) 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。(2) 判定：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。15. 角平分線 ：(1) 性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。(2) 判定：在角的內(nèi)部，且到此角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上三角形及多邊形1. 三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊2.

5、 三 角形 內(nèi)角 和定三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180% 四邊形內(nèi)角和等于360% n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)xl80。任意多邊形的 外角和等于 360%理3. 四 (1) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(2) 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。7. 三角形中位線定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于 第三邊，并且等于第三邊的一半。8. 等腰三角形的相關(guān)公理、定理：(1) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 ( “等邊對(duì)等角 )。(2) 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 ( “等角對(duì)等邊 ) 。 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的

6、中線和底邊上的高互相重合(“三線合一 o9. 等邊三角形的公理、定理：(1) 三個(gè)邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。(2) 有一個(gè)角為 60。的等腰三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角為60。的三角形是等邊三角形(3) 等邊三角形的三邊相等；等邊三角形的三角相等，且都等于60。(4) 等邊三角形三條角平分線、三條中線、三條高均交于同一點(diǎn)，該點(diǎn)是等邊三角形的中心。10. 直角三角形的公理、定理：(1) 直角三角形的兩銳角互余。(2) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； (斜邊是其外接圓直徑，斜邊上的中點(diǎn)是其 外 接圓圓心 ) 。(3) 假設(shè)三角形一邊的中線等于這邊的一半

7、，那此三角形為直角三角形。直角三角形中， 30。銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；(5) 直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那它所對(duì)的角等于30。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(7) 勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這 個(gè) 三角形是直角三角形。11. 三角形全等：(1) 性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等 判定：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (SSS);“1)兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)； 兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (ASA) ；(6) 兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (

8、AAS) ； 直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL) o12. 相似三角形的判定：(1) 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的 比 例叫做相似比 ( 或相似系數(shù) )。(2) 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 (或兩邊的延長線 ) 相交，所構(gòu)成的三 角形 于原三角形相似。判定： 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。(7) 引理：如果一條直線截三角形的兩邊 (或兩邊的延長線 ) 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么 這條 直線平行于三角形的第三邊。(8) 直角三角形相

9、似的判定：(9) 如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。(10) 如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么兩三角形相似。(11) 如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊于另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊成比 例， 那么兩三角形相似。13. 相似三角形的性質(zhì)定理：(1) 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 相似三角形周長的比等于相似比。 相似三角形面積比等于相似比的平方。(4) 相似三角形的外接圓、內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓、內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方。14. 直角三角形的射影定理： 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比

10、例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它在斜邊上的射影于斜邊的比例中項(xiàng)。15. 也可表述為： 直角三角形的直角頂點(diǎn)， 到斜邊端點(diǎn)和斜邊上高的垂足三點(diǎn)中其中一點(diǎn)的 距 離( 線段)，是該點(diǎn)到其它兩點(diǎn)的距離 ( 線段)的比例中項(xiàng)。16. 三角形垂直平分線的性質(zhì)： 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)， 且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn) 距 離相等，這點(diǎn)為三角形外接圓的圓心 ( 簡稱“外心° )。17. 三角形角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三邊距離相等，這 點(diǎn) 為三角形內(nèi)切圓的圓心 ( 簡稱“內(nèi)心 ") 。18. 三角形中線的性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。19. 三

11、角形高的性質(zhì)：三角形的三條高交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。三、多邊形20. 四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于 360%21. 多邊形內(nèi)角和定理： n 邊形的內(nèi)角和等于 (n-2)xl80 o°22. 多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于 360%平矩形邊對(duì)的線相相等23. 如果圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱，那么連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分1. 平行四邊形的性質(zhì)：(1) 平行四邊形的對(duì)角相等。(3) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊 形。兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊對(duì)角線四.特殊四邊形相5.菱形的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊相等。(2)菱形的對(duì)角線互相

12、垂直，并且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角6.菱形的判定：(1)四邊都相等的四邊形是菱形。( 2)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。(3) 鄰邊相等的平行四邊形是菱形。( 4)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ;(5) 兩條對(duì)角線分別平分兩組對(duì)角的四邊形是菱形。(6) 有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形。7. 正方形的性質(zhì)：(1) 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等(2) 鄰邊相等且垂直的是正方形；對(duì)角線垂直且相等的平(3) 正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。8. 正方形的判定：對(duì)角(1)鄰邊相等的矩形是正方形。 線互相垂(3)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； (

13、4)(5)鄰邊相等且垂直的是平行四邊形正方形。 對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。9. 等腰梯形的性質(zhì)：(2) 等(1) 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等 ;腰梯10. 等腰梯形的判定：(1) 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯( 2)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。形；11. 梯形的中位線定理：梯形兩腰中點(diǎn)的連線叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于梯形的 兩 底邊，并且等于兩底和的一半。五、圓1. 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡 ( 集合) ，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半 徑 的圓。2. 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 有關(guān)圓周角、圓心角的定理和性質(zhì)：(1) 圓心角定

14、理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。(2) 圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。(3) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心 距 相等。(4) 推論 4 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都等于該弧所對(duì)的圓心角的一 半； 相等的圓周角所對(duì)的弧相等。(5) 統(tǒng)一推論：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角 (圓周角 ) 、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦的弦心 距， 只要有一組量相等，那么其余對(duì)應(yīng)的各組量均相等。(6) 推論 2：半圓( 或直徑 )所對(duì)的圓周角是直角； 90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所對(duì)的弧 是 半圓。4. 垂徑定理：垂直于

15、弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(1) 推論 4平分弦(不是直徑 )的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧。(2) 推論 2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 , 并且平分這條弦所對(duì)的弧。(3) 推論 3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦， 并且平分這條弦所對(duì)的另一條弧。 推 論：一條直線，只要滿足以下中的 2 條作為條件就可以推知其他 3 條，知二推三。 (1)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧； ( 2)平分弦所對(duì)的劣??； (即：平分弦所對(duì)的兩條弧 ) ； 平分不是直徑的弦； ( 4)垂直于弦； ( 5)經(jīng)過圓心。(4) 在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。(5) 兩條相等的弧兩個(gè)外端

16、點(diǎn)的連線于兩個(gè)內(nèi)端點(diǎn)的連線平行。5. 關(guān)于兩圓及其連心線的性質(zhì)與定理：(1) 兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓連心線過切點(diǎn)且與公切線垂直。(2) 推論：兩圓相切時(shí)，以下 4 條，知二推二：過一圓圓心； ( 2)過另一圓圓心； ( 3)過兩圓切點(diǎn)； ( 4)公切線垂直。兩圓相交時(shí)，兩圓的連心線垂直平分公共弦。(5) 推論：兩圓相交時(shí)，以下 4 條，知二推二：過一圓圓心；(2)過另一圓圓心； 過公共弦中點(diǎn)；(4)垂直公共弦。(7) 兩圓相切時(shí)，兩圓的連心線過切點(diǎn)且與一條公切線垂直。(8) 推論：兩圓相切時(shí)，以下 4條，知二推二： 過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點(diǎn)； 內(nèi)公切線垂直。(10) 兩圓相離時(shí)，兩圓的連心線過內(nèi)公切線交點(diǎn)，且平分內(nèi)公切線所成夾角。(11) 推論：兩圓相切時(shí)，以下 4 條，知二推二：(12) (1)過一圓圓心 ( 2)過另一圓圓心； ( 3)過內(nèi)公切線交點(diǎn)； ( 4)平分內(nèi)公切線所成夾角。(13) 注：滿足條件時(shí)，已經(jīng)滿足 條件，故知(2)其中兩條可推知其它兩條，知可 推知。(2) 任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等 (都是旋轉(zhuǎn)角