微分差分方程習(xí)題

1、微分方程和差分方程作業(yè)題參考答案 一、微分方程初值問(wèn)題( 步長(zhǎng) h 取 0.1) ，求然后利用畫(huà)圖來(lái)比擬( 1)用四階 Runge-Kutta 法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解 解范圍為區(qū)間 0,3 (2)用 ode45 方法常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解 (近似解 )， 兩者間的差異解(1)代碼clearf=sym( y-exp(x)*cos(x) );a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f, x ,y ,x,y);l2=subs(f, x ,y ,x+h/2,y+

2、l1*h/2);l3=subs(f, x ,y ,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f, x ,y ,x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2),dg- );(2)代碼fun=inline( y-exp(x)*cos(x) , x , y );x,y=ode45(fun,0,3,1)兩個(gè)圖放在一起比擬如下：結(jié)論：通過(guò)對(duì)這個(gè)微分方程的兩種不同方法的求解，從圖形中可以看出，兩種方法 所得到的數(shù)值解大致重合，因此可以得出對(duì)于這個(gè)微分方程，用這兩種方法的效果 大致一樣

3、。二、設(shè)初始時(shí)容器里盛放著含凈鹽 10 千克的鹽水 100 升， 現(xiàn)對(duì)其以每分鐘 3 升的速率注入清水，容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅時(shí)攪拌均勻，并同時(shí)以每分鐘 2 升的速 率放出鹽水，求1小時(shí)后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽?解：分析和建模設(shè)t時(shí)刻(單位為分鐘)容器中每升鹽水中所含凈鹽的百分比為x(t),考慮時(shí)間區(qū)間t,tt，并利用質(zhì)量守恒定律；t,t t內(nèi)容器中凈鹽量的變化等于注入清水所含的凈鹽量減去放出鹽水中的凈鹽量。用數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)就是：于是，令t 0，得:得到解為：(K 1)x(t) c(V t)這就是t時(shí)刻容器中凈鹽的百分比。因?yàn)閂=100 升, K=2升/分鐘，當(dāng)t=0時(shí),x(0)

4、x0 =0.1，因此 c=1000003得到：x(t) 10A5*一小時(shí)(t=60)后容器中的鹽水中含有的凈鹽為：(100+60)*x(60)=10A5*(100+60)A(-2)= 3.90625 千克所以1小時(shí)后容器里的鹽水中還含有3.90625千克凈鹽。三. 早期腫瘤的體積增長(zhǎng)滿(mǎn)足 Malthus模型(dV V,其中入為常數(shù))，(1)求腫 dt瘤的增倍時(shí)間c。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，一般有(7,465)(單位為天)，肺部惡性腫瘤的增倍時(shí)間大多大于 70天而小于465天開(kāi)展太快與太慢一般都不是惡性腫瘤， 故c是確定腫瘤性質(zhì)的重要參數(shù)之一2為方便起見(jiàn)，醫(yī)生通常用腫瘤直徑來(lái)表示t腫瘤的大小，試推出醫(yī)生用

5、來(lái)預(yù)測(cè)病人腫瘤直徑增大速度的公式D D02丁. 3正常人身上也有癌細(xì)胞，一個(gè)癌細(xì)胞直徑約為10卩m,重約0.001卩g.,當(dāng)患者被查出患有癌癥時(shí)，通常直徑已有1cm以上即已增大1000倍，由此容易算出癌細(xì)胞轉(zhuǎn)入活動(dòng)期已有30 c天，故如何在早期發(fā)現(xiàn)癌癥是攻克癌癥的關(guān)鍵之一。手術(shù)治療常 不能割去所有癌細(xì)胞，故有時(shí)需進(jìn)行放射療法。射線(xiàn)強(qiáng)度太小無(wú)法殺死癌細(xì)胞，太 強(qiáng)病人身體又吃不消且會(huì)使病人免疫功能下降。一次照射不可能殺死全部癌細(xì)胞， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)可行的治療方案醫(yī)生認(rèn)為當(dāng)體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)小于105個(gè)時(shí)即可憑借體內(nèi)免疫系統(tǒng)殺滅。解: 1 dV VdtV= e t *c其中c為常數(shù)當(dāng)t=0時(shí)V=VV= e t

6、 *V0當(dāng)V=2 V。時(shí)c =ln2/ 入cr =ln2/ 入因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)D=D(3)假設(shè)，不考慮每次放射性射線(xiàn)殺死的免疫細(xì)胞從而影響人體免疫系統(tǒng)功能的前 提下，有一位癌癥病人的癌細(xì)胞的直徑為1cm,此癌癥病人的體內(nèi)含有的癌細(xì)胞的含量為106個(gè)，現(xiàn)在醫(yī)院要對(duì)病人進(jìn)行治療，打算用 17/2 a天使癌癥病人的體內(nèi)的 癌細(xì)胞數(shù)目從原來(lái)的106個(gè)減少到體內(nèi)免疫細(xì)胞可殺死的水平，每?jī)纱畏派湫灾委煹臅r(shí)間間隔為1/2 a。決定用9次級(jí)放射性治療來(lái)使病人的癌細(xì)胞得到控制，為到達(dá) 此目的每次治療要用射線(xiàn)治療的射線(xiàn)強(qiáng)度為殺死癌細(xì)胞的x所需的射線(xiàn)量。根據(jù)假設(shè)條件，編寫(xiě) matlab程序 clear;clc;for

7、 x=1:900000 k=1000000-x;for i=1:9k=sqrt(2)*k-x;endif k=100000breakend end x= 301006得出結(jié)論，病人每隔1/2 a天進(jìn)行一次放射性治療，每一次進(jìn)行放射性治療所用的 射線(xiàn)量時(shí)殺死301006個(gè)癌細(xì)胞的射線(xiàn)量四. 一種昆蟲(chóng)每?jī)芍墚a(chǎn)卵一次，六周以后死亡給除了變化過(guò)程的根本規(guī)律。孵化后的幼蟲(chóng)2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲(chóng)平均產(chǎn)卵 150個(gè)。假設(shè) 每個(gè)卵發(fā)育成2周齡成蟲(chóng)的概率為0.09，稱(chēng)為成活率，2周齡成蟲(chóng)發(fā)育成4周齡 成蟲(chóng)的概率為0.2 o1假設(shè)幵始時(shí)，02，24, 46周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目相同，計(jì)算 2周、4周、

8、6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目;(2) 討論這種昆蟲(chóng)各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的演變趨勢(shì)：各周齡的昆蟲(chóng)比例是否有一個(gè) 穩(wěn)定值？昆蟲(chóng)是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡？(3) 假設(shè)使用了除蟲(chóng)劑，使用了除蟲(chóng)劑后各周齡的成活率減半，問(wèn)這種除蟲(chóng)劑是否有效？由題目的意思，分別設(shè) 2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的數(shù)目為一個(gè)單位所以2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的初值分別為1，1，1設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè) x：(n1,2,3)表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立函數(shù)模型：(1) 計(jì)算計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的matlab程序clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150；0.09 0 0；0 0.2

9、0;x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2;x1;x2;x3得出一個(gè)單位下個(gè)蟲(chóng)分布蟲(chóng)周齡2周齡蟲(chóng)4周齡蟲(chóng)6周齡蟲(chóng)兩周后2500.090.2四周后3922.50.02六周后2252.73.514.5(2) 各周齡的昆蟲(chóng)比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值為簡(jiǎn)化計(jì)算，令z在比例中的值為1用matlab編程求出個(gè)周齡在90100這個(gè)時(shí)間段的值以z的值為一個(gè)單位，求x, y的和z的比、用matlab編程擬合此蟲(chóng)的數(shù)目比clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:1001X=L*

10、X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endfor i=100:200x(i)/z(i),y(i)/z(i) end得出的結(jié)果大都分布在m =547.7538 15.6954所以三種蟲(chóng)的比值為 547.75 : 15.7 : 1為恒定的值用matlab編程擬合此蟲(chóng)的數(shù)目演變趨勢(shì)clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=xO;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endt=0:10;figureplo

11、t(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t ,z, g:)由此程序的到蟲(chóng)演變開(kāi)展趨勢(shì)的折線(xiàn)圖產(chǎn)生的結(jié)果如以下三幅圖二周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖四周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖六周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖由以上三幅圖，可以觀察得出昆蟲(chóng)無(wú)限增長(zhǎng)。(3) 如果使用了殺蟲(chóng)劑，那么各周齡的昆蟲(chóng)成活率減為原來(lái)的一半設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè) X：(n 1,2,3)表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立函數(shù)模型變?yōu)椋焊鶕?jù)題意編寫(xiě)matlab程序得出三幅昆蟲(chóng)演變趨勢(shì)圖clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150；0.0045 0 0；0 0.1 0；X=xO

12、;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endt=0:10;figure plot(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t ,z, g：)得到下面三幅圖片二周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖四周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖六周齡蟲(chóng)的演變開(kāi)展趨勢(shì)見(jiàn)下列圖 五購(gòu)房貸款問(wèn)題李四夫婦方案貸款 30 萬(wàn)元購(gòu)置一套房子， 他們打算用 20 年的時(shí)間還清貸款。 目 前，銀行的貸款利率是 0.6%月。他們采用等額本息還款的方式即每月的還款額 相同歸還貸款。1. 在上述條件

13、下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計(jì)需要付多少利息？2. 在貸款 10年零 7 個(gè)月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額， 打算提 前還貸， 那么他們?cè)谝阎Ц?10 年零 7 個(gè)月的還款額后的某天， 應(yīng)一次付給銀行多少 錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？3. 如果在第 4 年初，銀行的貸款利率由 0.6%月調(diào)到 0.5%月，他們?nèi)匀徊捎?等額還款的方式，在余下的 17年內(nèi)將貸款還清，那么在第 3 年后，每月的還款額應(yīng) 是多少？4. 又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由 0.5%月調(diào)到 0.8%月， 他們?nèi)匀徊?用等額還款的方式，在余下的 13 年內(nèi)將貸款還清，那么在第 7 年后，每月的還款額

14、 應(yīng)是多少？5. 銀行調(diào)整利率以后， 在貸款 10年零 7 個(gè)月時(shí)，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完 余下的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)谝阎Ц?10 年零 7 個(gè)月的還款額后的某天， 應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？6. 李四夫婦發(fā)現(xiàn)銀行提供了 6 種不同的還款方式 等額本息還款法 : 是指在貸款期內(nèi)每月以相等的金額平均歸還貸款本息的還款 方法； 等額本金遞減法 : 是指在貸款期內(nèi)每月等額歸還本金，貸款利息隨本金逐月遞 減的還款方法； 等額遞增還款法 : 是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi) 每期還款額有一個(gè)固定增加額，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法； 等額

15、遞減還款法 : 是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi)每期還款額有一個(gè)固定減少額，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法； 等比遞增還款法 : 是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi) 每期還款額呈一固定比例遞增，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法； 等比遞減還款法 : 是指在貸款期的后一時(shí)間段內(nèi)每期還款額相對(duì)前一時(shí)間段內(nèi) 每期還款額呈一固定比例遞減，同一時(shí)間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法。李四夫婦認(rèn)為，隨著他們工作經(jīng)歷的增長(zhǎng)，家庭收入也會(huì)隨著增長(zhǎng)，因此，打算采用等額遞增還款法的還款方式來(lái)歸還貸款，具體的方法是：每5年為一個(gè)時(shí)間段，后一個(gè)時(shí)間段比前一個(gè)時(shí)間段每月多

16、還 400 元。在此情況下，如果貸款利率還 是 0.6%月，那么，第 1 個(gè)時(shí)間段的每月還款額是多少？以后各時(shí)間段的每月還款 額又是多少？共計(jì)付了多少利息？在貸款 10年零 7 個(gè)月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)谝阎Ц?0年零7個(gè)月的還款額后的 某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？7. 在6提出的等額遞增還款法方式下，在第 4年初，銀行的貸款利率由0.6%/月調(diào)到0.5%/月，又如果在第8年初，銀行的貸款利率由 0.5%/月調(diào)到0.8% /月，那么以后各時(shí)間段的每月還款額分別是多少？在貸款 10年零7個(gè)月后，他們 認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下

17、的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)谝阎Ц?0年零7個(gè)月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？8. 綜合上述問(wèn)題，請(qǐng)你們?yōu)槔钏姆驄D實(shí)際上是打算貸款購(gòu)房的人寫(xiě)一 份短文，幫助他們分析各種方法的利弊1建立模型，每月還款的數(shù)額為 x,設(shè)在t t=1到240月欠銀行的錢(qián)為kt， 那么在t+1月，欠銀行的錢(qián)為kt+1 =kt x 1.006-x，依照題目的意思，x應(yīng)該是在1000 30000中的一個(gè)數(shù)值，依照題意，當(dāng) t=240時(shí)kt的值為0,根據(jù)分析，編出Matlab 程序：clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:239k=1.

18、006*k-x;endif k=0breakendend得出x = 2348(2)根據(jù)上一問(wèn)得出的結(jié)果x=2348，計(jì)算當(dāng)每月還2348元時(shí),10年7個(gè)月后，還欠銀行的錢(qián)數(shù)即可clear;clc;x=2348;k=300000-x;for i=1:126k=1.006*k-x; kend得出結(jié)果：k =192266.63過(guò)了 10年7個(gè)月后，還欠銀行的錢(qián)數(shù)為192266.63元，所以在這時(shí)，他要還銀行的錢(qián)數(shù)為192266.633在4月初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的20年分成兩個(gè)時(shí)間段，第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，后一個(gè)時(shí)間段為后面的 204個(gè)月，在求出每月需要還的錢(qián)數(shù)x即可根據(jù)前面的描述，

19、以 matlab程序來(lái)求x的值clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:204k=1.005*k-x;endif k=0breakend endx = 2205所以當(dāng)利率在第四年初出作出調(diào)整時(shí)，每月應(yīng)還的錢(qián)數(shù)是2205(4) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的 20年分成三個(gè)時(shí) 間段，第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，第二個(gè)時(shí)間段為后面的47年，其余為第三部分，在求出每月需要還的錢(qián)數(shù) x即可根據(jù)前面的描述，以 matlab程序來(lái)求x的值clear;clc;for x=1000:30000

20、k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:156k=1.008*k-x;endend求出x的值為:x = 2424(5) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調(diào)整，只需把還款的 20年分成三個(gè)時(shí) 間段，第一個(gè)時(shí)間段為最初的三年，第二個(gè)時(shí)間段為后面的47年，其余為第三部分,根據(jù)上一問(wèn)得出的結(jié)果 x=2424，計(jì)算當(dāng)每月還2348元時(shí)，過(guò)了 10年7個(gè)月后, 還欠銀行的錢(qián)數(shù)k即可clear;clc;x=2424;k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k

21、=1.005*k-x;endfor i=1:43k=1.008*k-x;endk得出結(jié)果:k = 179662.665s為所需支付的(6) 1 .根據(jù)提議用每月遞增的方法還錢(qián)，以五年為一個(gè)周期，設(shè)利息，s=總還錢(qián)數(shù)-30萬(wàn)，m是以400為公差的項(xiàng)數(shù)為4的等差數(shù)列根據(jù)題目編寫(xiě)程序clear;clc;for m=0:30000x=m;s=0;k=300000/1.006;for n=1:4x=x+400;for i=1:60k=1.006*k-x;s=s+x;endendif k=0breakendends=s-300000for i=0:3m=x-i*400ends =305280x =3122 2722 2322 19222.假設(shè)在10年7個(gè)月還欠款kclear;clc;k=300000/1.006;x=1922,2322,2722,3122;for n=1:4for i=1:6