集智俱樂部熱力學(xué)與進(jìn)化論小組第五次活動總結(jié)

1、集智俱樂部“熱力學(xué)與進(jìn)化論”小組第五次活動總結(jié)地點：三號會所內(nèi)容：經(jīng)典熱力學(xué)回顧、卡諾熱機、柯勞修斯熵一、卡諾熱機與柯勞修斯熵經(jīng)典熱力學(xué)建立在經(jīng)典熱機的模型框架之下。1、 什么是熱機模型？一個熱機模型是一個工作在高溫?zé)嵩矗囟萒1）和低溫?zé)嵩矗囟萒2）之間的可以從高溫?zé)嵩刺崛崃縌1，并向低溫釋放熱量Q2，并從中提取有用功A=Q1-Q2的機器。高溫?zé)嵩碩1低溫?zé)嵩碩2吸熱Q1做功A=Q1-Q2放熱Q22、 卡諾熱機模型具體的熱機可以用下圖所示的理想氣體系統(tǒng)實現(xiàn)，在一個密閉的容器里面盛放著理想氣體，右側(cè)被活塞和外界隔開。氣體跟外界不能發(fā)生物質(zhì)交換，但可以傳遞熱量（通過加熱使得氣體溫度升高）?；?/p>

2、塞可以移動，氣體對活塞有壓強p。壓強p活塞氣體所謂的卡諾熱機，則是指一個理想的熱機，它滿足：（1）、系統(tǒng)的一切活動都在“準(zhǔn)靜態(tài)”過程下完成，即系統(tǒng)的加熱過程無限緩慢，使得氣體的升溫過程非常均勻；活塞的移動也無限緩慢，使得時刻處于壓強與外力之間的平衡；系統(tǒng)在整個運動過程中不存在由于摩擦產(chǎn)生的能量損失，所以系統(tǒng)每一步運動都是熱力學(xué)可逆的。注：幾個概念：a. 動力系統(tǒng)的可逆：如果一個動力系統(tǒng)x(t+1)=f(x(t)的映射函數(shù)f是可逆函數(shù)，則該系統(tǒng)可逆。這也是后來人們搞的可逆計算的基礎(chǔ)。b. 力學(xué)系統(tǒng)的可逆：力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間是，即，該力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程是=f()。如果映射函數(shù)f滿足：=f()=f

3、-1()，則稱該力學(xué)系統(tǒng)是可逆的。c. 熱力學(xué)的可逆：設(shè)熱力學(xué)系統(tǒng)+環(huán)境構(gòu)成一個動力系統(tǒng)的狀態(tài)空間，熱力學(xué)演化過程就是該系統(tǒng)的動力學(xué)映射f，即：=f()=。當(dāng)f1和f2都是可逆映射的時候，則稱該熱力學(xué)系統(tǒng)可逆。這個式子翻譯成人話就是：系統(tǒng)經(jīng)過一個可逆變換f1的同時也要讓環(huán)境經(jīng)歷可逆的變換f2?？梢宰C明：假如系統(tǒng)經(jīng)歷一系列熱力學(xué)過程：F=，系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)镾，環(huán)境狀態(tài)變?yōu)镋，則=F()。那么，如果S=S就必有E=E，即系統(tǒng)經(jīng)歷了一個可逆熱力學(xué)循環(huán)。有意思的是，這個定義本身已經(jīng)觸及到了觀察者的問題：即環(huán)境E應(yīng)包括觀察者的狀態(tài)，那么E=E就意味著觀察者在兩次的狀態(tài)應(yīng)該一模一樣，但是，如果這樣的話，觀察者

4、應(yīng)不包括對整個過程f的記憶，也就是說觀察者將不會看到任何變化！（2）、卡諾熱機包含了四個理想化過程，如下圖所示：理想氣體系統(tǒng)的任意一個狀態(tài)（p,V,T）都可以用p-V圖上的一點來表示。卡諾熱機經(jīng)過四個過程：AB：等溫膨脹：從高溫?zé)嵩次鼰?，對外界做功，?nèi)能不變；BC：絕熱膨脹：系統(tǒng)自發(fā)降溫至低溫T2，對外界做功，內(nèi)能減少；CD：等溫壓縮：外界對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)往低溫?zé)嵩磁欧艧崃?，?nèi)能不變；DA：絕熱壓縮：外界繼續(xù)對系統(tǒng)做功，使得系統(tǒng)升溫至T1，內(nèi)能增加。總體來說，系統(tǒng)又回到原來狀態(tài)，并且保持環(huán)境不變，即是一個可逆熱力學(xué)過程。同時，整體系統(tǒng)內(nèi)能不變，對外界做凈功（紅色區(qū)域的面積）。可以證明，對于這樣

5、的卡諾熱機來說，它的效率： (1)即機械效率僅僅決定于高溫、低溫?zé)嵩吹臏囟取?、 柯勞修斯熵（1）、對于卡諾熱機柯勞修斯通過觀察卡諾熱機的效率公式（1）發(fā)現(xiàn)：規(guī)定系統(tǒng)放熱符號為+，吸熱為-，則上式為：這里Q1E1，所以，當(dāng)我們把兩個熱機合在一起構(gòu)成一個大的熱機的時候，那么這臺大熱機沒有從外界吸收功，它從低溫T2吸收了能量E2，向T1排出了凈能量：E1-E1，即自發(fā)從低溫源吸收熱量排給高溫源，這就與公理2矛盾了。所以假設(shè)不成立。事實上，公理2和定理1是歷史上兩種不同的熱力學(xué)第二定律的表述方法，它們彼此等價。定義4：廣義卡諾熱機：可以工作于熱源T1和T2之間的可逆的廣義熱機。這里面可逆的含義是這樣

6、的：假設(shè)熱機從T1吸收能量E1，輸出功A，向T2釋放能量E2，則當(dāng)我們給該熱機輸入同樣的功A的時候，它就能從T2吸收同樣的能量E2，并向T1釋放同樣的能量E1。換句話說，所謂的可逆廣義熱機就是指系統(tǒng)能原封不動的倒著轉(zhuǎn)。定義5：廣義熱機的效率：定理2：（卡諾定理）：一切廣義卡諾熱機的效率都相同。證明：利用反證法，假設(shè)存在著兩臺效率不同的廣義卡諾熱機R和R，它們的效率分別是和，不失一般性，假設(shè)：，則我們構(gòu)造下列一臺熱機：T1RT2E1E2-RE1AE2即把熱機R和逆轉(zhuǎn)運行的熱機-R同時并聯(lián)于兩個熱源之間。根據(jù)卡諾熱機的定義，逆轉(zhuǎn)運行的熱機-R應(yīng)該與熱機R有相同的效率，即：因為根據(jù)假設(shè)，所以E1E1

7、。根據(jù)公理1（能量守恒）：E2+A=E1 E1=E2+A所以：E20，而往高溫?zé)嵩瘁尫拍芰縀1-E10的能量，所以這與公理2相悖。于是，原假設(shè)不成立。所以，定理2得證。推論1：既然一切工作于溫度源T1和T2之間的卡諾熱機效率都相同，那么很顯然，一切卡諾熱機的效率就必然是溫度T1和T2的函數(shù)，即：推論2：設(shè)卡諾熱機R1工作于T1與T2之間，R2工作于T2與T3之間，則工作于T1與T3之間的卡諾熱機為R3，這三臺熱機的效率滿足；證明：設(shè)熱機R1在高溫T1吸收能量E1，釋放到低溫T2能量E2；又設(shè)熱機R2在低溫T2吸收同等的能量E2，往更低溫的熱源T3釋放能量E3。則把這兩臺熱機聯(lián)合起來看作一臺大熱

8、機R3，即從高溫T1吸收能量E1，釋放到低溫T3上去，那么這臺大熱機R3的效率為：推論得證這個函數(shù)方程意味著：這樣才會使得成立。也就是說存在著一個與溫度T呈單調(diào)關(guān)系的函數(shù)。因此，我們可以通過對溫度重新標(biāo)度，即使得：這就是熱力學(xué)溫度的卡爾文溫標(biāo)。在這里，可以通過調(diào)整廣義溫度的定義，使得該等式成立。所以，廣義卡諾熱機的效率就都是：定理3：一切廣義熱機的效率都必須大于廣義卡諾熱機的效率。采用與定理2類似的方法可證明。于是按照第1節(jié)的討論，我們也就可以定義廣義的柯勞修斯熵。這樣，整個經(jīng)典熱力學(xué)的框架就可以擴展到一切系統(tǒng)中了。從這個不算嚴(yán)格的公理化體系中，我們看到熱力學(xué)其實討論的是一類系統(tǒng)的性質(zhì)，它不僅

9、僅局限于描述熱物理系統(tǒng)，也很有可能描述類似經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、水流系統(tǒng)等其他系統(tǒng)。但是，這種擴展中有一個致命的弱點就是公理2對于其他的廣義系統(tǒng)來說并不都成立。然而，即使這樣，我們也能清楚地看到整個熱力學(xué)的框架。尤其是第一、第二定律的公理作用。還有卡諾熱機就等價于可逆熱機的重要性！三、模擬卡諾熱機按照上一節(jié)的討論，熱力學(xué)框架完全可以廣義化，因此，我們做了一個特定的與經(jīng)典熱力學(xué)“神似”的模擬系統(tǒng)：模擬卡諾熱機。如下圖所示：這是一個用Netlogo做的模擬系統(tǒng)。其中黑色的區(qū)域為自由空間，彩色的小圓球為隨機運動的粒子，紅色的區(qū)域為模擬卡諾熱機的活塞，粒子可以與紅色區(qū)域發(fā)生特定作用。綠色的區(qū)域為圍墻，粒子不能通過

10、。左上角的矩形區(qū)域為高溫?zé)嵩?，底下的長條黑色區(qū)域+紅色區(qū)域為卡諾熱機。右上角的矩形區(qū)域為低溫?zé)嵩?。這是一個廣義的熱力學(xué)系統(tǒng)，其中：廣義能量：某一個系統(tǒng)中粒子數(shù)目廣義溫度：某一區(qū)域中平均粒子密度（粒子數(shù)/區(qū)域面積）該系統(tǒng)滿足：公理1：粒子在轉(zhuǎn)移的過程中守恒（廣義能量守恒）公理2：粒子會自發(fā)從高溫區(qū)域流向低溫區(qū)域整個模擬系統(tǒng)運作分成4個階段，與真實的卡諾熱機相仿1、 等溫膨脹熱機與高溫?zé)嵩窗l(fā)生熱接觸，粒子可以自由流進(jìn)熱機，熱機的粒子也可以自由流到熱源中。熱源始終保持溫度不變，即如果熱源處的粒子濃度過高，則刪除一些粒子，如果過低，則添加一些粒子。粒子在運行過程中可以與下面的紅色物質(zhì)發(fā)生相互作用，相互

11、作用規(guī)則是：l 當(dāng)某個粒子與一個方格的紅色物質(zhì)碰撞，則：a) 該粒子被紅色物質(zhì)當(dāng)作有用功吸收b) 紅色物質(zhì)減少一個方格，表示氣體膨脹，空間增加l 當(dāng)多個粒子同時與一個方格的紅色物質(zhì)碰撞，則：a) 所有這些粒子被當(dāng)作有用功吸收b) 紅色物質(zhì)僅減少一個方格c) 這種情況模擬了真實卡諾熱機增加氣體壓強的情況，即大量粒子的同步性就是壓強。l 所有吸收的粒子存儲到一個虛擬的庫：Absorbed之中，表示整個能量守恒。2、 絕熱膨脹當(dāng)紅色的物質(zhì)減少到一定程度之后，系統(tǒng)進(jìn)入第二個階段：絕熱膨脹。這個時候，熱機首先產(chǎn)生一個隔離帶把自己和高溫?zé)嵩锤艚^開，使得高溫?zé)嵩磁c熱機之間不能傳遞能量（粒子），如下圖：其次，

12、粒子與紅色物質(zhì)的作用規(guī)則仍然保持不變。但是由于粒子撞擊紅色物質(zhì)會被吸收，而熱源不能再補充新的粒子給熱機，所以熱機中的粒子數(shù)在減少，同時體積在膨脹，所以總體的溫度會降低。3、 等溫壓縮當(dāng)熱機內(nèi)的溫度降低達(dá)到與低溫?zé)嵩吹臏囟认嗟鹊臅r候，進(jìn)入等溫壓縮的階段。如下圖，熱機開始與低溫?zé)嵩唇佑|，低溫?zé)嵩磁c高溫?zé)嵩聪嗤?，始終保持溫度不變。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入這個狀態(tài)之后，紅色物質(zhì)開始變成黃色物質(zhì)。粒子與黃色方格交互的規(guī)則為：l 當(dāng)一個粒子與一個黃色方格碰撞：n 粒子被彈回，而不會被吸收n 黃色方格增加一個單位n 一個Absorbed庫中的粒子會從該方格發(fā)射出去l 當(dāng)n個粒子與一個黃色方格同時碰撞：n n個粒子都被彈回

13、n 黃色方格增加一個單位n n個粒子從Absorbed庫中發(fā)射出來進(jìn)入熱機系統(tǒng)這個階段過程模擬了外界系統(tǒng)對氣體做功的過程。其中做功的量等于pdV，這里壓強p就反映了與一個方格同時發(fā)生碰撞的粒子數(shù)目。dV就表示方格數(shù)量的增加。4、 絕熱壓縮當(dāng)黃色方格增長達(dá)到某一個閾值V0，V0是根據(jù)后面的過程計算的，系統(tǒng)就從等溫壓縮進(jìn)入絕熱壓縮階段，熱機的頂部再次產(chǎn)生一個絕熱壁將熱機與熱源隔絕，它們彼此不再發(fā)生粒子交換。粒子與黃色物質(zhì)發(fā)生交互的規(guī)則不變。黃色方格一直增長，粒子數(shù)目也一直增加。所以系統(tǒng)的溫度相應(yīng)升高。5、回復(fù)到第一階段當(dāng)黃色的方格數(shù)目長到剛好與最開始的紅色物質(zhì)所占方格數(shù)相同的時候，這個時候熱機中的溫度應(yīng)該剛好等于高溫?zé)嵩吹臏囟龋梢酝ㄟ^調(diào)節(jié)上一階段所說的V0，使得系統(tǒng)能滿足該條件），熱機開始轉(zhuǎn)入第一個階段，即再次進(jìn)行等溫膨脹，之后重復(fù)上面的動作。6、系統(tǒng)總的運行圖下圖是整個運行過程中熱機中的溫度隨時間的變化我們看到它有一個降溫等溫升溫的過程，并且最后升溫達(dá)到的頂點與系統(tǒng)溫度的初始點很相似，這保證了系統(tǒng)可以回到初始狀態(tài)下的溫度。下面是熱機吸收的粒子數(shù)（Absorbed庫中的粒子數(shù)），也相當(dāng)于熱機對外界輸出的總的凈功隨時間變化的情況：我們看到熱機往外界輸送有用功先增加，之后開始減少，但是沒有完全減到0，系統(tǒng)已經(jīng)完成了一個熱力學(xué)循環(huán)，此時還剩下的粒子就是作為凈輸出功輸出的能量總量。另外