基本不等式解題方法

1、根本不等式應用1.假設，那么 (當且僅當時取“=;假設，那么 (當且僅當時取“=假設，那么 (當且僅當時取“=2.假設，那么 (當且僅當時取“=假設，那么 (當且僅當時取“=3.假設，那么當且僅當時取“=注：1當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大2求最值的條件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比擬大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例1：求以下函數(shù)的值域1y3x 2 2yx解：1y3x 22 值域為，+ 2當x0時，yx22；當x0時， yx= x2=2

2、值域為，22，+解題技巧：技巧一：湊項例1：，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。評注：此題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用根本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。評注：此題無法直接運用根本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用根本不等式求最大值。變式：設，求函數(shù)的最大值。解：當且僅當即時等號成立。技巧三

3、： 別離例3. 求的值域。解析一：此題看似無法運用根本不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項，再將其別離。當,即時,當且僅當x1時取“號。技巧四：換元解析二：此題看似無法運用根本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當,即t=時,當t=2即x1時取“號。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用根本不等式來求最值。技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，假設遇等號取不到的情況，應結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞

4、增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值. 1 2 (3) 2，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.假設實數(shù)滿足，那么的最小值是 .分析：“和到“積是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6變式：假設，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否那么就會出錯。2：，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用根本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條

5、件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用根本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： 1假設且，求的最小值(2)且，求的最小值技巧七、x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧八：a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或根

6、本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， ab·b 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u3 3，ab18，y點評：此題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：

7、1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假設直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：假設利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，此題很簡單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設法直接用根本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2 變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。 故。評注：此題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值，為利用根本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用根本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等，同時還要注意一些