隨機(jī)變量及其分布課件

1、隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布管理統(tǒng)計(jì)學(xué)管理統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布在概率的研究中為什么需要引入隨機(jī)變量？在概率的研究中為什么需要引入隨機(jī)變量？引入隨機(jī)變量是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的需引入隨機(jī)變量是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的需要。為了便于數(shù)學(xué)推理和計(jì)算，有必要將隨機(jī)試驗(yàn)要。為了便于數(shù)學(xué)推理和計(jì)算，有必要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論與方法來研究隨機(jī)試驗(yàn)，研究和分析其結(jié)果的規(guī)律與方法來研究隨機(jī)試驗(yàn)，研究和分析其結(jié)果的規(guī)

2、律性，因此，隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的重要而有效性，因此，隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的重要而有效的工具。的工具。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布如何引入隨機(jī)變量的概念？如何引入隨機(jī)變量的概念？為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將隨機(jī)試規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。 在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系，例在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系，例如在產(chǎn)品檢驗(yàn)問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的

3、廢品數(shù)；如在產(chǎn)品檢驗(yàn)問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時(shí)刻正在工作的車床數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時(shí)刻正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某段時(shí)間中的話務(wù)量，它與呼叫的次在電話問題中關(guān)心的是某段時(shí)間中的話務(wù)量，它與呼叫的次數(shù)及各次呼叫占用交換設(shè)備的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)。此外如測(cè)量時(shí)數(shù)及各次呼叫占用交換設(shè)備的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)。此外如測(cè)量時(shí)的誤差，氣體分子運(yùn)動(dòng)的速度，信號(hào)接收機(jī)所收到的信號(hào)的誤差，氣體分子運(yùn)動(dòng)的速度，信號(hào)接收機(jī)所收到的信號(hào)( (用電壓表示或數(shù)字表示用電壓表示或數(shù)字表示) )的大小，也都與數(shù)值有關(guān)。的大小，也都與數(shù)值有關(guān)。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量

4、及其分布例例1 1：將一枚硬幣拋擲：將一枚硬幣拋擲3 3次，我們感興趣的是三次投擲中，出現(xiàn)次，我們感興趣的是三次投擲中，出現(xiàn)H H的總次數(shù)，而對(duì)的總次數(shù)，而對(duì)H,TH,T出現(xiàn)的次序不關(guān)心。以出現(xiàn)的次序不關(guān)心。以X X記三次投擲中出記三次投擲中出現(xiàn)現(xiàn)H H的總次數(shù)，那么對(duì)于樣本空間的總次數(shù)，那么對(duì)于樣本空間S=eS=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e e，X X都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即有都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即有樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值的值3 2 2 2 1 1 1 0我們注意到，隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各我們注意到，隨機(jī)變

5、量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率。個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率。如，當(dāng)且僅當(dāng)事件如，當(dāng)且僅當(dāng)事件A=HHT,HTH,THHA=HHT,HTH,THH發(fā)生時(shí)有發(fā)生時(shí)有x=2,x=2,而且而且P(A)=3/8,P(A)=3/8,則則Px=2=3/8Px=2=3/8。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布如何引入隨機(jī)變量的概念？如何引入隨機(jī)變量的概念？ 有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述，例如在擲硬幣問題中，每次出現(xiàn)的結(jié)果為正面或值來描述，例如在擲硬幣問

6、題中，每次出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有關(guān)系，但是我們能用下面方法使它與數(shù)值反面，與數(shù)值沒有關(guān)系，但是我們能用下面方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來，當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)聯(lián)系起來，當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)“1 1”，而出現(xiàn)反面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)，而出現(xiàn)反面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)“0 0”，為了計(jì)算，為了計(jì)算n n次投擲中出現(xiàn)的正面數(shù)就只須計(jì)算其中次投擲中出現(xiàn)的正面數(shù)就只須計(jì)算其中“1 1”出現(xiàn)的次數(shù)了。出現(xiàn)的次數(shù)了。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布如何引入隨機(jī)變量的概念？如何引入隨機(jī)變量的概念？一般地，如果一般地，如果A A為某個(gè)隨機(jī)事件，則一定可以通過如下為某個(gè)隨機(jī)事件，則一定可以通過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：示性函數(shù)使它與

7、數(shù)值發(fā)生聯(lián)系： 如果如果A A發(fā)生發(fā)生 如果如果A A不發(fā)生不發(fā)生 這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)x來表示，這個(gè)數(shù)來表示，這個(gè)數(shù)x是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，這種量以后稱為隨機(jī)變量。下面我們就來考慮應(yīng)當(dāng)如函數(shù)，這種量以后稱為隨機(jī)變量。下面我們就來考慮應(yīng)當(dāng)如何給這種量以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。何給這種量以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。 , 0, 1AI隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布如何引入隨機(jī)變量的概念？如何引入隨機(jī)變量的概念？ 正如對(duì)隨機(jī)事件一樣，我們所關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會(huì)出正如對(duì)隨機(jī)事件一樣，我們所

8、關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)，現(xiàn)的結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)，也即對(duì)隨機(jī)變量我們不但要知道它取什么數(shù)值，而且要知道也即對(duì)隨機(jī)變量我們不但要知道它取什么數(shù)值，而且要知道它取這些數(shù)值的概率。它取這些數(shù)值的概率。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布本書約定本書約定:大寫字母,如:X, Y, Z, W等,表示隨機(jī)變量;小寫字母,如x, y, z, w等,表示實(shí)數(shù);隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=e, X=X(e

9、)是定義是定義在樣本空間在樣本空間S上的單值實(shí)函數(shù)，稱上的單值實(shí)函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 X X 取其各個(gè)可能值取其各個(gè)可能值x xk k( (k k1 1，2 2，) )的概率的概率P P X Xxk k pk k，稱為離散型隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量X X的概率函數(shù)的概率函數(shù)( (概率分布或分布概率分布或分布律律) )。分布率也可以用表格的形式來表示：。分布率也可以用表格的形式來表示：稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X X的分布律。的分布律。 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X X的取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則的取值是有限個(gè)或可列無限

10、多個(gè)，則稱稱X X為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量的概念Xx1 x2 xn pkp1 p2 pn 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布由概率的定義,pk滿足如下條件:(1)pk0;(1) (2)11kkp隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例2 2：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈，每組：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以信號(hào)燈以1/21/2的概率允許或禁止汽車通過。以的概率允許或禁止汽車通過。以X X表示汽車首次停表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的組數(shù)下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈

11、的組數(shù)( (設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的立的) )，求，求X X的分布律。的分布律。解解 以以p p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，易知表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，易知X X的分布律為的分布律為X 0 1 2 3 4pkp (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4X0 1 2 3 4pk0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625或?qū)懗?PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1-p)4以p=1/2代入得隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 (0 (0-1)1)分布的分布律也可寫成分布的分布律也可寫成（01）分

12、布）分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只可能取只可能取0 0與與1 1兩個(gè)值，它的分布律是兩個(gè)值，它的分布律是 P Xk pk(1-(1-p) )1-1-k，k0 0，1 (1 (0p1) )，則稱則稱X服從服從(0(0-1)1)分布或兩點(diǎn)分布。分布或兩點(diǎn)分布。X0 1pk1-p p 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布關(guān)于（關(guān)于（01）分布）分布 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即素，即S=eS=e1 1，e e2 2 ，我們總能在，我們總能在S S上定義一個(gè)服從上定義一個(gè)服從(0-1)(0-1)分分布的隨機(jī)變量布的隨機(jī)變量來描述這個(gè)隨機(jī)

13、試驗(yàn)的結(jié)果。來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。 例如，對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量例如，對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次是否合格，某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的討論過的“拋硬幣拋硬幣”試驗(yàn)等都可以用試驗(yàn)等都可以用(0(01)1)分布的隨機(jī)變分布的隨機(jī)變量來描述。量來描述。(0-1)(0-1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布。分布是經(jīng)常遇到的一種分布。 ., 1, 0)(21eeeeeXX當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn) 設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A及 ，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)。

14、 設(shè)P(A)p(0p1)，此時(shí)P( )1-p。將E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。 這里“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中P(A)p保持不變；“獨(dú)立是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即若以Ci記第i次試驗(yàn)的結(jié)果，Ci為A或 ，i1，2，n“獨(dú)立”是指 PC1C2CnP(C1)P(C2) P(Cn) n重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型它有廣泛的應(yīng)用，是研究最多的模型之一。n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn)AAA隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 例如，例如，E E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。A A表示得正表示得正面，這是一個(gè)伯努利試驗(yàn)如將硬幣拋面，這是

15、一個(gè)伯努利試驗(yàn)如將硬幣拋n n次，就是次，就是n n重伯努利重伯努利試驗(yàn)。又如拋一顆骰子，若試驗(yàn)。又如拋一顆骰子，若A A表示得到表示得到“1 1點(diǎn)點(diǎn)”， 表示得到表示得到“非非l l點(diǎn)點(diǎn)”。將骰子拋。將骰子拋n n次，就是次，就是n n重伯努利試驗(yàn)。再如在袋重伯努利試驗(yàn)。再如在袋中裝有中裝有a a只白球，只白球，b b只黑球。試驗(yàn)只黑球。試驗(yàn)E E是在袋中任取一只球，觀是在袋中任取一只球，觀察其顏色。以察其顏色。以A A表示表示“取到白球取到白球”，P(A)P(A)a a(a+b)(a+b)。若連。若連續(xù)取球續(xù)取球n n次作放回抽樣，這就是次作放回抽樣，這就是n n重伯努利試驗(yàn)。然而，若作重

16、伯努利試驗(yàn)。然而，若作不放回抽樣，則每次試驗(yàn)都有不放回抽樣，則每次試驗(yàn)都有P(A)P(A)a a(a+b)(a+b)，但各次試驗(yàn)，但各次試驗(yàn)不再相互獨(dú)立，因而不再是不再相互獨(dú)立，因而不再是n n重伯努利試驗(yàn)了。重伯努利試驗(yàn)了。n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn)A隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 考慮考慮n重伯努里試驗(yàn)中，事件重伯努里試驗(yàn)中，事件A恰出現(xiàn)恰出現(xiàn)k次的概率。以次的概率。以X表示表示n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，我們是一個(gè)隨機(jī)變量，我們來求它的分布律。來求它的分布律。X所有可能取的值為所有可能取的值為0，1，2，n由于由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立

17、的，故在各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，故在n次試驗(yàn)中，事件次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生發(fā)生k次的概次的概率為率為伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布00(1)1,0,1,2, .0,0,1,2, ;()kkn knkkn knnnkkn knnkkC ppqpP XkC p qknP XkknP XkC p qpq，記，即有顯然隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布1(),( ,)( ; ,).1,0,1.(01)( ; ,)0.55( ;kkn knknkkC p qpqpXn pXb n pXb k n pnP Xkp qknpb k n pppb k注意到剛好是二項(xiàng)式的展開式中出現(xiàn)的那一項(xiàng)，故我們稱隨機(jī)變

18、量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為或特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布化為這就是分布。二項(xiàng)分布有現(xiàn)成的表可查，這種表是對(duì)不同的 及 給出了的數(shù)值。另外二項(xiàng)分布表只對(duì)給出，因?yàn)榈母怕士赏ㄟ^123,)(; ,1)20,0.1,0.3,0.5n pb nk npnppp計(jì)算得到。這里給出了的二項(xiàng)分布數(shù)值表。伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 從圖中可以看出，對(duì)于固定的從圖中可以看出，對(duì)于固定的n n及及p p，當(dāng)，當(dāng)k k增加時(shí)，增加時(shí)，b(k;n,p)b(k;n,p)隨之增加并達(dá)到某極大值，以后又下降。此外，當(dāng)隨之增加并達(dá)到某極大值，以后又下降。此外，當(dāng)概率概率p p越與越與1/2

19、1/2接近時(shí)，分布越接近對(duì)稱。接近時(shí)，分布越接近對(duì)稱。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布固定n和p，當(dāng)k取何值時(shí)，b(n,p)取最大值？ 由于對(duì)由于對(duì)0p1,0p1,因此因此 當(dāng)當(dāng)k(n+1)pkb(k-1;n,p)b(k;n,p)b(k-1;n,p) 當(dāng)當(dāng)k=(n+1)pk=(n+1)p時(shí)，時(shí)，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)b(k;n,p)=b(k-1;n,p) 當(dāng)當(dāng)k(n+1)pk(n+1)p時(shí)，時(shí)，b(k;n,p)b(k-1;n,p)b(k;n,p)00是常數(shù)。則稱是常數(shù)。則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，記為的泊松分布，記為X X丌丌( ( ) ) 。,0,1,2,!k

20、eP Xkkk 易知，易知，PX=k)0PX=k)0，k=0k=0，1 1，2 2，且有，且有, 2 , 1 , 0, 1!000 keekekekXPkkkkk 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布關(guān)于泊松分布關(guān)于泊松分布 歷史上泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的，近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性，成了概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。 在實(shí)際應(yīng)用中許多隨機(jī)現(xiàn)象服從泊松分布。這種情況特別集中在兩個(gè)領(lǐng)域中。一是社會(huì)生活一是社會(huì)生活，對(duì)服務(wù)的各種要求：諸如電話交換臺(tái)中來到的呼叫數(shù)，公共汽車站來到的乘客數(shù)等等都近似地服從泊松分布，因此在運(yùn)籌學(xué)及管理科學(xué)中泊松分布占有很突出

21、的地位；另一領(lǐng)域是物理學(xué)另一領(lǐng)域是物理學(xué)，放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，熱電子的發(fā)射，顯微鏡下落在某區(qū)域中的血球或微生物的數(shù)目等等都服從泊松分布。 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例9 9 對(duì)上海某公共汽車站的客流進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了某天上午對(duì)上海某公共汽車站的客流進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了某天上午1010：3030至至1111：4747左右每隔左右每隔2020秒鐘來到的乘客批數(shù)秒鐘來到的乘客批數(shù)( (每批可能有數(shù)人每批可能有數(shù)人同時(shí)來到同時(shí)來到) )，共得，共得230230個(gè)記錄，我們分別計(jì)算了來到個(gè)記錄，我們分別計(jì)算了來到0 0批，批，1 1批，批，2 2批，批，3 3批，批，4 4批及批及4 4批以

22、上乘客的時(shí)間區(qū)間的頻數(shù)，結(jié)果列于批以上乘客的時(shí)間區(qū)間的頻數(shù)，結(jié)果列于下表中，其相應(yīng)的頻率與下表中，其相應(yīng)的頻率與 = =0.870.87的泊松分布符合得很好。的泊松分布符合得很好。 公共汽車客流統(tǒng)計(jì)公共汽車客流統(tǒng)計(jì)來到批數(shù)i01234總共頻數(shù)ni100813496230頻率fi=ni/n0.430.350.150.040.03Pi=ie-/i!0.420.360.160.050.01隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布二項(xiàng)分布的泊松二項(xiàng)分布的泊松(poisson)逼近（選讀）逼近（選讀） 在很多應(yīng)用問題中，我們常常這樣的貝努利試驗(yàn)，在很多應(yīng)用問題中，我們常常這樣的貝努利試驗(yàn)，其中，相對(duì)地說，其中，

23、相對(duì)地說，n大，大，p小，而乘積小，而乘積 = =np大小適中。大小適中。在這種情況下，有一個(gè)便于使用的近似公式。在這種情況下，有一個(gè)便于使用的近似公式。 定理定理 在貝努利試驗(yàn)中，以在貝努利試驗(yàn)中，以pn代表事件代表事件A A在試驗(yàn)中出在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，它與試驗(yàn)總數(shù)現(xiàn)的概率，它與試驗(yàn)總數(shù)n n有關(guān)，如果有關(guān)，如果npnpn n ，則當(dāng)，則當(dāng)n n 時(shí)，時(shí)， 在應(yīng)用中，當(dāng)在應(yīng)用中，當(dāng)p p相當(dāng)?。ㄒ话惝?dāng)相當(dāng)?。ㄒ话惝?dāng)p0.1)p0.1)時(shí)，我們用時(shí)，我們用下面近似公式下面近似公式 ekpnkbkn!),;(npkeknppnkb !)(),;(隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布證證 記記 n

24、n=np=npn n，則，則二項(xiàng)分布的泊松二項(xiàng)分布的泊松(poisson)逼近逼近.!),;(lim1112111lim1lim,lim1112111!1!)1()1()1(),;( ekpnkbnknnenknnknnknnkknnnppknpnkbknnknnnkknnknnknknnknknnknn因因此此及及有有由由于于對(duì)對(duì)固固定定的的隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例10 10 假如生三胞胎的概率為假如生三胞胎的概率為1010-4-4，求在，求在100000100000次生育中，有次生育中，有0 0，1 1，2 2次生三胞胎的概率。次生三胞胎的概率。解解 這可以看作貝努利試驗(yàn)；這可

25、以看作貝努利試驗(yàn)；N=100000,P=0.0001,N=100000,P=0.0001,所求的概率所求的概率直接計(jì)算為直接計(jì)算為 b(0;100000,0.0001)=0.000045378b(0;100000,0.0001)=0.000045378 b(1;100000,0.0001)=0.00045382 b(1;100000,0.0001)=0.00045382 b(2;100000,0.0001)=0.0022693 b(2;100000,0.0001)=0.0022693 這時(shí)也可用泊松逼近，這時(shí)也可用泊松逼近， =np=10,=np=10,而而 p(0,10)=0.0000454

26、0p(0,10)=0.00004540 p(1,10)=0.0004540 p(1,10)=0.0004540 p(2,10)=0.002270 p(2,10)=0.002270隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 離散型隨機(jī)變量的可能取值可以一個(gè)個(gè)列出來離散型隨機(jī)變量的可能取值可以一個(gè)個(gè)列出來.但非離散型隨機(jī)變量卻不行但非離散型隨機(jī)變量卻不行,因此因此,描述非離散型隨描述非離散型隨機(jī)變量不能用機(jī)變量不能用“隨機(jī)變量的分布律隨機(jī)變量的分布律”來表示來表示. 另一方面另一方面,在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中,我們對(duì)某些隨機(jī)變量我們對(duì)某

27、些隨機(jī)變量(如如:誤差誤差)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間(范圍范圍)內(nèi)的概率更感興趣內(nèi)的概率更感興趣. 因此因此,我們需要研究隨機(jī)變量所取的值在某一區(qū)我們需要研究隨機(jī)變量所取的值在某一區(qū)間的概率間的概率.隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布由于Px1Xx2=PXx2-PXx1,因此,只需求出PXx2及PXx1即可.如:X1 2 3 4 5 6pk1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 由于P1X3=PX3-PX1 =1/2 -1/6 =1/3隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布定義定義: 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量, x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F(x)=PXx稱為X的分布函數(shù).隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布引入分布

28、函數(shù)后引入分布函數(shù)后,則有則有:Px1Xx2=PXx2-PXx1 =F(x2)- F(x1) (*)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)的基本性質(zhì)分布函數(shù)的基本性質(zhì)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)具有下列性質(zhì)具有下列性質(zhì): :F(x)F(x)是一個(gè)不減函數(shù)。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),有有 F(xF(x1 1) F(x) F(x2 2););F(x)F(x)是右連續(xù)的。即是右連續(xù)的。即F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x)()lim( )0,()lim( )1;xxFF xFF x 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其

29、分布為什么分布函數(shù)定義為右連續(xù)？為什么分布函數(shù)定義為右連續(xù)？ 定義左連續(xù)或者右連續(xù)只是一種習(xí)慣。目前，俄羅斯定義左連續(xù)或者右連續(xù)只是一種習(xí)慣。目前，俄羅斯和東歐國(guó)家一般定義左連續(xù)；西歐和美國(guó)一般定義右連續(xù)；和東歐國(guó)家一般定義左連續(xù)；西歐和美國(guó)一般定義右連續(xù)；我國(guó)的大多數(shù)書籍也采用右連續(xù)。左連續(xù)和右連續(xù)的區(qū)別我國(guó)的大多數(shù)書籍也采用右連續(xù)。左連續(xù)和右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算在于計(jì)算F( (x) )時(shí)，時(shí)，X= =x點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi)。對(duì)于連續(xù)點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi)。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，因?yàn)橐稽c(diǎn)上的概率等于零，定義左連續(xù)型隨機(jī)變量而言，因?yàn)橐稽c(diǎn)上的概率等于零，定義左連續(xù)和右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對(duì)于離散型

30、隨機(jī)變量，如果和右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果P X= =x00，則左連續(xù)和右連續(xù)時(shí)的，則左連續(xù)和右連續(xù)時(shí)的F( (x) )值就不相同了。值就不相同了。因此，在閱讀關(guān)于概率論的參考書時(shí)，要注意作者是定義因此，在閱讀關(guān)于概率論的參考書時(shí)，要注意作者是定義左連續(xù)還是右連續(xù)的，以免出錯(cuò)。左連續(xù)還是右連續(xù)的，以免出錯(cuò)。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算 有了分布律，可以通過下式求得分布函數(shù)有了分布律，可以通過下式求得分布函數(shù)顯然這時(shí)顯然這時(shí)F(x)F(x)是一個(gè)跳躍函數(shù)，我們可以用分布律或分布是一個(gè)跳躍函數(shù)，我們可以用分布律或分布函數(shù)

31、來描述離散型隨機(jī)變量。函數(shù)來描述離散型隨機(jī)變量。.)( xxkxxkkkPxXPxXPxF隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為求求X X的分布函數(shù)，并求的分布函數(shù)，并求PX1/2,P3/2PX1/2,P3/2X5/2,P2X3.X5/2,P2X3.解解X1 2 3pk1/4 1/2 1/4 0,1,1,12,( )12,23,1,3xP XxF xP XP Xxx 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 31, 3243, 2141, 1, 0)(xxxXxF，即即隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布F(X)的圖形如下的圖形如下 .432143122

32、332.21414323252523,412121 XPFFXPFFXPFXPF(x)O1-1321X X隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例2 2：一個(gè)靶子是半徑為：一個(gè)靶子是半徑為2 2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任意同心圓盤米的圓盤，設(shè)擊中靶上任意同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能擊中靶，上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能擊中靶，以以X表示彈著點(diǎn)于圓心的距離。試求隨機(jī)變量表示彈著點(diǎn)于圓心的距離。試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解解 若若X22，由題意，有，由題意，有 F( (x)=)=P Xx=1.=1.綜合上述，即得綜合上述，即得X X的分布函數(shù)為的分布函

33、數(shù)為隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布線線如如圖圖所所示示。它它的的圖圖形形是是一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲 2, 120 ,40, 0)(2xxxxxFO1321X X1/2F(x)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度考慮連續(xù)型隨機(jī)變量X落在區(qū)間(x,x+Dx)內(nèi)的概率P(xX0是區(qū)間長(zhǎng)度,比值()P xXxxx DD叫做隨機(jī)變量X在該區(qū)間上的平均概率密度.如果當(dāng)Dx0時(shí),上述比值的極限存在,則這個(gè)極限叫做隨機(jī)變量X在點(diǎn)x處的概率分布密度(或概率密度),記作f(x):0()( )limxP xXxxf xxD DD隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布由于

34、由于P(xXx+D Dx)=F(x+D Dx)-F(x), 并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知因此因此, ,隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概率密度的概率密度f( (x) )是分布函數(shù)是分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù); ;也也就是說就是說, ,分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)是密度函數(shù)是密度函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). .0()( )( )lim( )xF xxF xf xF xxD DD由分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義, ,并根據(jù)牛頓萊布尼茲公式得并根據(jù)牛頓萊布尼茲公式得: :( )()( )xF xPXxf t dt 所以所以, ,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)等于概率密

35、度等于概率密度f(x)在在區(qū)間區(qū)間(-,(-,x) )上的廣義積分上的廣義積分. .隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì) 由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)： (1)(1)f(x)0 0，函數(shù)曲線位于，函數(shù)曲線位于x軸上方；軸上方； ).()()()4(;)()3(1)()2(2121xfxFxxfdxxfxXxPdxxfxx 處處連連續(xù)續(xù)，則則在在點(diǎn)點(diǎn)若若 反之，對(duì)于定義在（反之，對(duì)于定義在（-, )-, )上的可積函數(shù)上的可積函數(shù)f(x), ,若它若它滿足性質(zhì)滿足性質(zhì)1 1和性質(zhì)和性質(zhì)2 2，則由它

36、定義的，則由它定義的F(x)是一個(gè)分布函數(shù)，是一個(gè)分布函數(shù)，即它滿足分布函數(shù)所必須具備的三個(gè)性質(zhì)。即它滿足分布函數(shù)所必須具備的三個(gè)性質(zhì)。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布由性質(zhì)2知道介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1.隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布由性質(zhì)3知,隨機(jī)變量X落在區(qū)間(x1,x2的概率P(x1x0 0，則由，則由 Xa a- -D DxXa 得得 00P XaP a- -D DxXa F( (a) )一一F( (a- -D Dx) )。在上述不等式中令在上述不等式中令D Dx00，并注意到，并注意到X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)其分布函數(shù)F( (x) )是

37、連續(xù)的。即得是連續(xù)的。即得 P Xa=0=0隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 注意注意 在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有 PaXbPaXb=PaXb。 在這里，事件在這里，事件X=a并非不可能事件，但有并非不可能事件，但有P X= =a=0=0 也就是說，若也就是說，若A是不可能事件，則有是不可能事件，則有P( (A)=0)=0； 反之反之, ,若若P( (A) )0 0，并不一定意味著，并不一定意味著A是不可能事件。是不可能事件。 以后當(dāng)

38、我們提到一個(gè)隨機(jī)變量以后當(dāng)我們提到一個(gè)隨機(jī)變量X的的“概率分布概率分布”時(shí)，指的是時(shí)，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時(shí)指的是它的概率密度，當(dāng)是連續(xù)型時(shí)指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時(shí)指的是它的分布律。是離散型時(shí)指的是它的分布律。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的連續(xù)型隨機(jī)變量的f(x)D Dx在概率中的含義在概率中的含義 由概率密度由概率密度f(x)的性質(zhì)的性質(zhì)4 4，有，有 若不計(jì)高階無窮小，有若不計(jì)高階無窮小，有 P xXx+ +D Dx f(x)D Dx這表示這表示X落在小區(qū)間（落在小區(qū)間（x, ,x+ +D Dx 上的概率近似地等上的概率近

39、似地等f(x)D Dx 。.lim)()(lim)(00 xxxXxPxxFxxFxfxxD DD D D D D D D DD D隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度確定常數(shù)確定常數(shù)k；求；求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)；求；求P1 10 0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。 ., 0, 0,1)(其其它它xexfx 相應(yīng)的分布函數(shù)為：相應(yīng)的分布函數(shù)為：分布函數(shù)分布函數(shù).,0,0,1)(其其它它 xexFx 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布指數(shù)分布的無記憶性指數(shù)分布的無記憶性., 0,tXPsXts

40、XPts 有有對(duì)對(duì)于于任任意意P Xst Xs證()()PXstXsP Xs1()1( )P XstF stP XsF s()/s ttseee1( ).F tP Xt 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其中其中 , , ( ( 0)0)為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , , 的正態(tài)分的正態(tài)分布或高斯布或高斯(Gauss)分布，記為分布，記為XN( ( , , 2 2) )。,21)(222)( xexfx p p相應(yīng)的分布函數(shù)為：相應(yīng)的分布函數(shù)為：分布函數(shù)分布函數(shù).21)(222)( xtdtexF p

41、p隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布)( xfx o 性質(zhì)：性質(zhì)：1.1.曲線關(guān)于曲線關(guān)于x= = 對(duì)稱。對(duì)稱。 2.2.當(dāng)當(dāng)x= = 時(shí)取到最大值。時(shí)取到最大值。 3.3.固定固定 , ,改變改變 ，曲線沿，曲線沿OxOx軸平移；固定軸平移；固定 , ,改變改變 ( (越小越小) )，曲線變得越尖，因而，曲線變得越尖，因而X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。正態(tài)分布密度函數(shù)圖示正態(tài)分布密度函數(shù)圖示隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布)( xFx o15 .0正態(tài)分布分布函數(shù)圖示正態(tài)分布分布函數(shù)圖示隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布如前所述如前所述,對(duì)于概率密度有對(duì)于概率密度有1)(dxxf對(duì)

42、于正態(tài)分布來說對(duì)于正態(tài)分布來說,22()21( )2xf xep2222222()222200()21( )212222112xtttxxf xdxedxtedtedtedtedxppppp作積分變換利用廣義積分得隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)當(dāng) =0,=0, =1=1時(shí)稱時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0,1)(0,1)。其概率密度和分布函數(shù)分別用其概率密度和分布函數(shù)分別用 (x), , (x)表示，即有表示，即有.21)(,21)(2222 xtxdtexexp pp p 顯然顯然 (-x-x)=1- =1- (x)另外，有另外，有 (x

43、)的函數(shù)表可查。的函數(shù)表可查。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2( ,)(0,1).XXNZN 引理若，則222()221,21( ),2(0,1).txuxXZXP ZxPxP XxedttuP ZxeduxXZN pp 證的分布函數(shù)為令，得由此可知隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 設(shè)設(shè)XN( ( , , 2 2) )，由，由 ( (x) )的函數(shù)表得到：的函數(shù)表得到： P - - X + + = (1)-(1)- (-1)=2(-1)=2 (1)-1=68.26(1)-1=68.26 P -2-2 X +2+2 = (2)-(2)- (-2)=2(-2)=2 (2)-1=95.44(2)-

44、1=95.44 P -3-3 X +3+3 = (3)-(3)- (-3)=2(-3)=2 (3)-1=99.74(3)-1=99.74可見，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量雖然取值在可見，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量雖然取值在(-(-，+)+)，但，但其值落在其值落在( ( -3-3 ， +3+3 ) )內(nèi)幾乎是可以肯定的。內(nèi)幾乎是可以肯定的。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布例例3 3 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲(chǔ)著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲(chǔ)著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器定在定在d d，液體的溫度，液體的溫度X（以（以計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且X XN N( (d d,0.5

45、,0.52 2) )。(1)(1)若若d d=90=90，求，求X X8989的概率；的概率；(2)(2)若要求保持液體若要求保持液體的溫度至少為的溫度至少為8080的概率不低于的概率不低于0.990.99，問，問d d至少為多少？至少為多少？9089900.50.5XP189P X 解 （ ）所求概率為89900.5 ( 2)1(2)10.97720.0228. 89900.5 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布(2)若要求保持液體的溫度至少為若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于的概率不低于0.99，問，問d至少為多少？至少為多少？800.50.5XddP0.9980P X解：按題意需求

46、解：按題意需求d滿足滿足80800.50.5XddP XP8080110.50.50.5XdddP 8010.991(2.327)( 2.327)0.5802.3270.581.1635ddd 即亦即故需隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布設(shè)隨機(jī)變量XN(,2), 則隨增大,概率P|x-| 應(yīng)( )(A)單調(diào)增大 (B)單調(diào)減少(C)保持不變 (D)增減不定隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布設(shè)XN(,2), F(x)為其分布函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,有F(+a)+F(-a)=? 解: 因?yàn)閄N(,2),由正態(tài)分布的性質(zhì)知:) 1 , 0( NX從而有:()()FaFaXaXaPP11aaaa XaXaP

47、PP XaP Xa隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布為什么說正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？為什么說正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？ 正態(tài)分布表現(xiàn)為其取值具有對(duì)稱性，極大部分取值集中在以對(duì)稱點(diǎn)為中心的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，只有少量取值落在區(qū)間外。在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。如人的身體特征指標(biāo)(身高、體重)，學(xué)習(xí)成績(jī)，產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)等等都服從正態(tài)分布。許多較復(fù)雜的指標(biāo)，只要在受到的大量因素作用下每個(gè)因素的影響都不顯著，且因素相互獨(dú)立，也可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。又如二項(xiàng)分二項(xiàng)分布、泊松分布在布、泊松分布在n n很

48、大時(shí)，也以正態(tài)分布為極限分布。很大時(shí)，也以正態(tài)分布為極限分布。因此，可以說正態(tài)分布是最重要的分布。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布為什么要討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布？為什么要討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布？ 在實(shí)際中，我們常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。興趣。例如，在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測(cè)量得到，而它卻是某個(gè)能直接測(cè)量的隨機(jī)變量的函數(shù)。比如我們能測(cè)量圓軸截面的直徑d，而關(guān)心的卻是截面面積Apd2/4。這里，隨機(jī)變量A是隨機(jī)變量d的函數(shù)。我們將討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X) (g()是已知的連續(xù)函數(shù))的概率分布。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布離散性隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散性隨機(jī)變量函數(shù)的分布若X是離散型隨機(jī)變量，其分布列為則Y=g(x)仍為離散型隨機(jī)變量，其分布律為yi有相同值時(shí)，要合并為一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)